一元函数与多元函数的差异与统一

1、安庆师范学院数学与计算科学学院2010届毕业论文一元函数与多元函数的差异与统一作者:蔡平梅指导老师:杨翠摘要 本文通过对一元函数到多元函数的基本性质的分析，以二元函数为例，与一元函数进行比较，再推 广到多元函数的方法，具体讨论了在某些特定条件下一元函数与多元函数的统一性，并且较为系统的比较 了二者在极限，连续，微分，积分等方面的差异 .归纳了一元函数中表达概念间的关系的命题的正确性在多 元函数中能否得以保持的规律.关键词极限连续微分积分统一差异1引言有关函数的概念， 我们已经有了较深刻的认识，首先我们来回顾一下函数的定义：给定两个实数集D和M，若有对应法则f，使对D内每一个数x，都有唯一的一个

2、数 y M与 它相对应，则称f是定义在数集D上的函数其中x为自变量，y为因变量.一元函数就是 自变量只有一个的函数，有两个或两个以上的自变量的就叫多元函数一元函数是两个数集之间的关系，而多元函数则是有序数组（二元数组，三元数组，”，n元数组）的集合与数集之间的函数关系.多元函数是一元函数的推广，因此它保留着一元函数的许多性质，但也由于自变量的变化范围由一维空间扩展到了n维空间（n M2 ），是研究问题更加复杂化，研究方法更加多样化在研究多元函数的内容时，需要经常与一元函数相关内容做比较，即比较两者之间的差异与统一 由已知一元函数的某些概念、 公式引出多元函数的相关内容 在实际中，有时也可 以正

3、好相反，可以把多元函数的某些概念、性质应用到一元函数中而这些都是在两者相互比较中实现的比如，多元复合函数的偏导数的链法则，就可以应用到一元函数中进而在极值、极限、微分、积分等方面就一元函数与多元函数的差异与统一展开详述，以使得在以后数学分析与高等代数的学习过程中更好的区分这两类函数，才能加深在数学分析与高等代数的学习中对这两类函数的极限、微分、积分等方面性质的理解，掌握以及运用目前，关于一元函数与多元函数的差异与统一性的研究都已经取得了较为丰富的结果，然而在大学的数学分析或高等数学的教材中，只是做了简单的叙述对于二者的差异与统一问题，我们还要进行具体系统的讨论本文通过对一元函数到多元函数的基本

4、性质的分析，以二元函数为例，与一元函数进行比较，再推广到多元函数的方法，具体讨论在某些特定条件下一元函数与多元函数的统一性， 并且比较二者在极限，连续，微分，积分等方面的差异进而归纳一元函数中表达概念间的关系的命题的正确性在多元函数中能否得以保持的规律.2 一元函数与多元函数的统一性多元函数是一元函数的推广，因此它保留着一元函数的许多性质， 但也由于自变量的变 化范围由一维空间扩展到了 n维空间（n启2），是研究问题更加复杂化.下面我们具体讨论 论二者的统一性.2.1极限与连续的关系由多元函数的连续和有极限的定义中我们可以看出，这两个概念都是用多元法给出的.这样,元函数f x y M在点xo处

5、连续的表达式lim f x = f x0，就可以换成多兀函x Mo第10页共16页1安庆师范学院数学与计算科学学院2010届毕业论文第10页共16页2安庆师范学院数学与计算科学学院2010届毕业论文lim f P = fPo .从而就PTo数f P在点Po处的表达式（点 P和点R为多维空间的点）=有极限”的使得一元函数在一点连续则有极限的结论在多元函数中仍然成立，即“连续关系在多元函数中依然成立2.2关于微分（1）“可微=可导”的关系在多元函数中仍然成立在多元函数中，由于可微这一概念是用多元法给出的，f x,y在点x0,y0处可微，即有 2 = AAx +BAy +o（ P）（其中p = x

6、） +（iy ）2）成立.再由偏导数的定义，我们 有如下定理.定理 2.2.1（可微的必要条件）若二元函数 f在其定义域内一点x0,y0处可微，则f在该点关于每个自变量的偏导数都存在，且A = fx x0, y0 , B = fy x0, y0 .由上述定理我们很容易发现，“可微=可导”的关系在多元函数中也成立.（2 ）二者可微性之间的关系多元函数微分学中很重要的一个内容，就是弄清多元函数与一元函数在极限，连续，微分等问题上的关系.关于连续，极限的问题，我们在之前已经讨论过.现在，我们讨论一元函数可微性与多元函数可微性之间的关系.下面以二元函数为代表，再推广到多元函数中去.定理2.2.2 一元

7、函数F （x ）= f （x,y卜对XXy壬U茴。）（某个60 > o）， F （x ） 在x = x0可微（F y=f xy对- xU x0;.， F y在y=y0可微），一元函数G y =f x°,y 在 y=y° 可微（G x = f x y在x 7 可微）；且fx x, y （或 fy x, y ）在x°,y°连续，则二元函数 f x, y在x。，y。可微.证明：不妨设fx x, y在x°,y°连续.而对- yU 丫0；、1 0 ，F x = f x,y 在x =x°可微则有 f x . x,y - f x&#

8、176;, y = fx x°,y x - o x ，y可改记为y = y厂=y厶y| ；：訂，贝V fxx, y°：y fx°,y°：y二fxx°,y°：yx o x又G y = f x°,y在y二y°可微，同理f X0,y° ：y - f x°, y° = fx x°, y° y o y而f x° 小-x, y°jfx°,y°=fx°小=x, y°： =yf-f x°,y0：=y- f X0,

9、y0：=yjf X0,y°二 fx x°,y。p 匚x o：x - fy x°,y° 匚y ofyfx x, y 在 x°, y°连续，故fx x0, y 在y 连续则 fx x°,y° Uyjufx X°,y° 广很，其中 l.iy ° =0.f X。=x, y° Ly - f Xo,yo-ILfx xo,y。 )+ a "(心x + fy (X。，y。Qy + o(Ax ) + o(Ay )，其中 lim 口 = 0-y：0fx x°,y°

10、. ：x fy x°,y° . ：y o x o . ：y 厂：:现只需证明o ;二x 亠 o ;二y 亠:八x = o( ：?):-2 2Ax 亠<y事实上,lxd lim. limp' 0八0 p显然,o :y=oT .：- -p.o ; =x r：； o ; =y: . ：x = o（） T - 0I 27.fX。*lx, y。 Ly - fX。，y。=fxx°, y。二x- fyx°,y。二y o ：? = _ 匕x 亠、y-f x, y 在 x°,y。可微由上述定理我们可以看出，在一定条件下，一元函数与二元函数的可微性是

11、统一的接下来我们把定理2.2推广到n元函数定理 2.2,3一 元函数 F Xi 二 f Xi,X2，Xn ，对 - x2u X2。，-：。，X3 UX3。，：。，Xn UXn。，-：。，-p 0， FX1在X=X10 可微，Gi x 亍 f, iX, 2人，裁 _X3 XU X3°,、0 , ,Xn U X，。，G1 X2 在x2 =x2° 可微，Gn/ Xn 丄二 f X, , X?。，X. 4, X.对一 XU 乂.。，'：。，Gn 二 X. 在可微，Gn（Xj=f AqX；,在 X X/可微，fX1，fx；/,f s 在x/, x/ /' Xn,Xn&

12、#176; 连续，则 n 元函数 f X1, X2 / , Xn 在 x/, x/' Xn J , x/ 可微.这样，在特定的的条件下，我们就把一元函数与多元函数的可微性统一了2.3二者在极值与极值判别法上的统一（1 ）可导函数“极值点必为驻点”均成立首先，我们看一个关于一元函数的定理.定理 2.3.1（费马定理）设函数f在点x0的某邻域内有定义，且在点x0可导.若点x0为f的极值点，则必有 f' X。；=0 .我们称满足方程f' X =0的点为驻点那么，从上述定理中可以得出 “可导函数的极值 点必为驻点”这一命题.而这一命题的正确性在多元函数中是否继续保持呢，我们看下

13、面的 定理定理 2.3.2 （极值的必要条件）若函数 f在点Po Xo, yo存在偏导数，且在 Po取得极值，则有 fx x°,y° = 0， fy x°,y° = 0（ 1）若函数f在点p0满足（1）式，则称P0为f的稳定点（驻点）.可见，对于二元函数来说，“可导函数的极值点必为驻点”这一命题依然成立.对于n n _3元函数来说，只要把P0点换为n维，（1 ）式变为fxi xw X0，,xn0，fx2X10，X20，Xn°=0, , ,fxn心，X?。，X.。=0.即可发现，这一命题的正确性继续保持.从而一元函数与多元函数在这性质上是统一的（

14、2）无条件极值判别法的统一性正定二次型法设n元函数F P二f X-X2，Xn在p0 x10,x20/' xnA0,xn 0点具有二阶连续偏导f x1 x 1fx 1x 2fx 1n数，则称矩阵H=fx2x1fx2x2fx 2n为函数F （P ）= f（x_X2，xn ）在P0点的I ff f1 xnx 11 xnx 21 xnxn苗cfgradf (P )=,<cx1 cX2Hesinn矩阵.由对二阶偏导数的连续性可知，H是实对称阵.记梯度 ，称满足gradf （P）=0的点P（X1,X2，,Xn ）为n元函数 &nF P的驻点.分别称文献1的二元函数极值存在的充分条件，

15、一元函数极值的第一和第二 充分条件为引理 1,引理2和引理3.定理2.3.3 （必要条件）设n元函数f P = f x1,x2/ ,xn在点P0（x；,x 2xn_）具有偏导数并取得极值，则gradf （P0）=0.定理2.3.4 （充分条件）设函数f P = f x1,x2/ ,xn n 一3在点P0 （ X0, x； ,n x0的某邻域内具有一阶及二阶连续偏导数，又gradf （P° ）=0，贝y1）当H是正定矩阵时，函数 f P在点R取得极小值；2) 当H是负定矩阵时，函数f P在点F0取得极大值;3) 当H是不定矩阵时，函数f F在点F0不取得极值推论2.3.3 当n = 2

16、时，定理3.4与引理1等价；当n =1时，定理2.3.4与引理3等价.证明：对于二元函数 f x, y ，_fxxfxy A Blffyx yyiB cjy 0= 0, f y X0 , y0= 0令H二2, 二 AC B则 gradfP。=0二 fx x。.H正定二A >0, :>0，此时f (P )在P。取极小值;同理，H负定u A ：0,厶.0,此时f P在P0取极大值.由上可见，定理 2.3.4与引理1等价.对于一元函数 f (x 卜 H=f"(x)l，当 gradf (P° )= f'(X。)=0 时，H正定：=f x ,0，此时，f x在x0

17、取极小值；H负定二f x ：: 0 ,此时，f x在x0取极大值.由上可见，定理 2.3.4与引理3等价.由推论3.3可见，二次型正定性法对 n n _1元函数情形均成立，并且在函数具有二阶连续偏导数的条件下，引理1和引理3为定理2.3.4的特例，三者可统一由定理2.3.4表述.由极值存在的充要条件可知，在定义域内求n元函数f P的极值可按下述步骤进行：1) 求出驻点；2) 求出f P在点P0点的Hesinn矩阵H，判定H的正定或负定性.而H的正定性通常是由矩阵 H的所有主子式符号来判定的，因此，定理5.1.2得到下述推论应用更方便.推论2.3.4 (雅可比行列式法)设点P0 x；,x20/&

18、#39; ,xn0为f P二f ex?，&的驻点，且f P在驻点的邻域内有二阶连续偏导数.记P0驻点处的雅可比行列式为fx1x 1.JDi_ fxix 1x2x1xix 2x xi 2xixi,i =1,2，nx xi 1 I证明：由矩阵正定的充要条件【10】，当Di 0时，定理2.3.4中的H正定，f P在点P0取极小值，当Dj满足2）中条件时，H负定，P0为极大值点二次行正定法和雅可比行列式法都可以方便解决大部分多元函数的极值问题，但也有定的局限性充分条件对H或Di的要求很严格，当 H半正（负）定时，此法无效对于H半正（负）定，且函数又有两个以上驻点的极值问题，情况比较复杂，目前还

19、没有很好的解决办法，但有些问题可以用下面的梯度一内积法求解（0梯度一内积法定理2.3.5（充分条件）设f X是：n：的一个映射-宀，2,n为驻点,B :，:是的一个邻域若f X在B :- _ 上连续，在B0 :- _内可微，则有第10页共16页9安庆师范学院数学与计算科学学院2010届毕业论文第10页共16页#安庆师范学院数学与计算科学学院2010届毕业论文1）当- xB很，、；，有x -：gradfX ： 0 ,则fX在点取得极大值；2）当-B戸，、；，有x -：gradfX ，0，则fX在点取得极小值.其中,（戲gradf （X ）=0n中的一般内积推论 2.3.5 当 f x, y i=

20、g u x, y , v x, y时,1）当 x -a, y b -eg；:u ；:gr ;:v;:x;:v;:x:g;:u；:u ；:g;:v:0 时，f X, y 在 a,b第10页共16页#安庆师范学院数学与计算科学学院2010届毕业论文第10页共16页#安庆师范学院数学与计算科学学院2010届毕业论文取极大值;2）当（xa,yb）：:g;:u;:x.:g：v：v：x：:g;:u；:u-:y：g:vcvcy j-0 时，f x, y 在 a ,b第10页共16页#安庆师范学院数学与计算科学学院2010届毕业论文第10页共16页#安庆师范学院数学与计算科学学院2010届毕业论文取极小值.2

21、.3.5与引理2等价，当n =2时，定理2.3.5与二元函数极推论2.3.6 当n=1时，定理值定义等价.证明：设一元函数 f x的驻点为x0，贝V x - gradf X = x x0对一X U X。" |X = X°,、.0 ,条件 X I gradf X : 0 与 x - x° , f x异号等价，由定理2.3.5与引理2，均可得x0为f x的极小值点.对于二元函数f x,y，设驻点为P° by。,则 x ：； gradf X 二 fx x -x° 目乂 ，而丄z = fx：x fy：y - o（） 其中0（）为： X 亠2的高阶无穷小

22、，若 x -二：gradf X . 0，则.：z . 0 ,即 f x, y . f x0, y0由定理2.3.5和二元函数的极值定义，P0 x0, y0为极小值点同理，若xgradf X ： 0 ,则P° x°, y°为极大值点.由上述定理，推论表明，在函数可微的条件下，梯度一内积法是一元函数和多元函数极 值的统一判别法.2 2例：求f x, y = x -1 亠y -1 的极值.解：由题可得jfx=2x-1 = 0 x=1=，从而1,1为f x, y的驻点fy =2 y - 1产 0 y "2 2x -1,y -1fx, fy 1=2 x -12 y

23、 -1 0从而1,1为极小值点，且极小值为0.3 一元函数与多元函数的差异性3.1极限、导数与微分的相关命题（1 ）关于极限在一元函数极限论中有定理：lim f x = A ：= lim f x = A = lim f x .xT0x°十兀FXT。一兀*但是，在多元函数（此处我们以二元函数为例）的极限论中，即使当动点P x,y沿过点P。x°,y°的任何射线趋向于P。x°,y°时，f x, y都趋于同一极限，也不能断言lim f x, y存在只有当动点P x, y沿任意路线趋向于P0 x0, y0时，f x, y都趋x,y i汽皿于同一极限，才能

24、说 lim f x, y存在.（x,y 冗0，yo）' f2例1:设f x, y =斗 J，定点P 0, 0 ，求证：（1）f x, y沿着任何方向cos , cos :x + y的方向极限都存在.（2）二重极限 lim f x , y不存在.（x，y 总00）1X = t cos «c证明：（1）任取过原点（0,0 ）的一条射线丨：其中G ,B为常数，t=OM|n0y = t cos :为变量，点M x, y为射线l上的动点,则limx, y =0,0x, y = lim f t cos- ,t cos 1= lim丿 t爭32t cos :- cos -2242t t C

25、OS ：£ 亠 cos -23x yx(2lim -2 =lim2 = °xT x + yxT x +xy _x24由x yx而 lim 42 = lim 4x2 xyx0 2xy =x从而二重极限lim f x, y不存在x,y ；广00此外，累次极限，混合偏导数，累次积分是多元函数极限论中与一元函数极限论相比较而言 的特殊点，从原则上讲是一个新概念，它在一元函数极限论终是没有的，所以是一个本质差异.（2 ）关于导数, dy dy du在一元复合函数 y二f u ,u二 x的求导定理中有，在反函数存在的dx du dx条件下有空.叫.竺=1，但多元函数的偏导数理论中没有类

26、似结果du dx dy例2:已知理想气体的状态方程 PV = RT，可证 配 卫 2! J_1，此例说明0丿0八即丿了王V.汀.:：P（3）可导与连续的关系在一元函数理论中有定理【"“若f x在点x0处可导，则f x在点x0处连续” 但在 多元函数中“偏导数存在=连续”的结论不一定成立例如，在二元函数中，f x, y在点x°,y°处的偏导数是由一元函数中的导数推广来的，而偏导数远不及导数的功能丰富因为fxX0,y°和fyX0,y°只是分别表示f x, y在点X0,y°处沿平行于x轴和y轴的变化率，它们的存在只能保证点x,y分别沿这两个

27、特殊方向趋于x°,y°时，函数值f x,y趋于f x°,y°，但不能保证点x, y以任何方式，任何路径趋于x°,y°时，函数值都趋于例 3:设 f(x,y+ yxy2- xy = O，证明(1) fx 0,0 二 fy 0,0 =0；(2) f x,yxy =0在点0,0处不连续.证明：(1) fx 0,0 i0卫f x,0 一f 0,000二 lim0 ,'x-°x同理 fy 0,0=0kx2k显然，极限不存在1 k从而f x, y在点0,0处不连续此外，“f x,y在点x°,y。处连续=偏导数存在”也不

28、一定成立f x, y = x? y2，证明(1) f x, y 在点 0, 0 处连续；(2) f x, y 在点0, 0处关于x及y的偏导数都不存在.证明：(1)令 x = r cos v, y = r sin v r . 0贝U lim f x, y = lim rf,y y0 Q )%#一2 cos v r2sin n - l叫 r = 0 = f 0, 01.：x 0=彳-1 x ：: 0从而f x, y在点0,0处连续(2)匚 0,0"im f Z f °,°=lim.oLxL0 Lx所以fx 0, 0不存在，同理fy 0,0不存在(4) 可导与可微的关

29、系在一元函数微分学中关于可微和可导之间的关系有如下定理定理1函数f在点x0可微的充要条件是函数f在点x0可导.但是在多元函数微分学中有：f X,y在点x0, y0处可微=x Xo,y。及 fyX。，y。第10页共16页12安庆师范学院数学与计算科学学院2010届毕业论文第10页共16页#安庆师范学院数学与计算科学学院2010届毕业论文存在；反之,fx x°,y°及fy x°,y°存在却不能推出f x, y在点x°,y°处可微.x y 例5:设f x, yI1xy = 0，证明(1) fx(0,0)=fy(0,0)=1 ；(2) f(x

30、,y) xy =0在点0, 0处不可微.证明:X =1丄#f fAx, 0f f 0, 0 (1)由题 fx 0,0 = limlim -=2Ax2 Ax二 lim y = 1f (0, Ayf (0,0 )fy °,° 叽（2） f 0,0=0，而 lim f x, y =1.Xy =o,o所以，f x, y在点0,0处不连续，显然不可微3.2极值与最值问题在求一元可微函数y = f x在la,b 上的最大值和最小值时，只考虑两个端点和几个 极值点即可.即若y二f x在lab 内有稳定点Xj i =1,2，n，则max ： f x a _ x _ b / = max If

31、 a , f b , f , f xn；min If x a _ x _ b f = min If a , f b , f Xt , f xn jj但是，在求可微函数 u = f x, y在二维有界区域 D上的最大值和最小值时，就要考虑 无穷多个边界点.例6 :试求f x, y = ax亠2bxy亠cy?在x亠y ? _ 1上的最大值和最小值（设b ac 叮 0, a, b, c - 0）.解：（1）先求函数在区域内部2 2x y <1的可疑点,令 fx = fylax by =0得Ibx - cy=0，又=0第10页共16页13安庆师范学院数学与计算科学学院2010届毕业论文第10页共

32、16页#安庆师范学院数学与计算科学学院2010届毕业论文因而方程组只有唯一解0, 0 ， f 0,0 =0（2）再求边界x2 - y1上的可疑点设 L =ax? - 2bxy ' cy 咒泳？ - y2 -1，令LxLy=0得*bx(1)第10页共16页#安庆师范学院数学与计算科学学院2010届毕业论文第10页共16页14安庆师范学院数学与计算科学学院2010届毕业论文必要b而在x2 - y2 -1上x, y y 0, 0，所以，要使此方程有非零解,第10页共16页#安庆师范学院数学与计算科学学院2010届毕业论文第10页共16页15安庆师范学院数学与计算科学学院2010届毕业论文a

33、c 二a -c亠(1) x (2) y得ax 22-2bxy - cy(3)将上面求出的可疑值进行比较，可得最大，最小值分别为max f x = max ;0,、a +c + J(a c)+4b?.；“2 J2m inx = min ：0,匕 a+c J(ac)+4b2第10页共16页#安庆师范学院数学与计算科学学院2010届毕业论文第10页共16页#安庆师范学院数学与计算科学学院2010届毕业论文一元函数与多元函数不仅在极值点的范围上有差异，多元函数在一元函数的极值点处也不一定取得极值，我们以二元函数为例定理2若二元函数z二f x, y在点x0, y0处取得极值，则一元函数z = f x0,

34、 y及 z = f x, y°在点X0,y°处取得极值，但反之不一定成立证明：若二元函数z=f x, y在点x°,y°处取得极小值，则在x°,y°的某一去心邻域中的一切点x,y均满足f x, y f x°,y° ，因而有 f x°, y f x°, y° 或 f x, y > f x°, y° 成立所以，一元函数z = f x0, y与z = f x, y0也在x0, y0处取得极小值若z二f x, y在点x°, y°处取得极大值，则同理可

35、证反之，若一元函数z = f x0, y及z = f x, y°在点x。处取得极小值，且可导,则有 zx x。，y。二 limfXT0f x,y°- f X0,y°X X0f I x0, y - f x0, y0,zy x0,y0 = lim= 0，即使这两个等式成立，z = f x, y在点Toy _ y°X0, y°处也不一定取得极小值.4422如 z 二 f x, y 二 x y 4x y_44一元函数z = f x, 0二x与z=f 0, y二y都在点0,0处取得极小值，且乙(0 , 0)= 0 zy (0, 0 ) =0 ,但z= f

36、 (x, y )在点(0, 0 )处不能取得极小值.因为在 y2 =x2 上，在点 X=0 的去心邻域内 f x,x - -2x4 : 0, f x, -x - -2x4 : 0，说明在两个方向上， 二元函数z = f x, y 在点 0,0处都不能取极小值 同理说明z = f （x, y）在点（x0, y0 ）处不一定取得极大值.以上说明了一元函数在点x°,y°处取得极值，但二元函数在该点不一定取得极值，因此，二元函数的极值不能用一元函数的极值来判定3.3积分与广义积分（1）关于定积分与重积分在定积分的计算中，分割对象是有限区间，分割方式只有一种，即在区间内任意插入有 限

37、个分点，分割的任意性只体现在这些分点的自由选择上但在二重积分的定义中，分割对象是平面上的有界闭区域，分割方式多种多样，千变万化，从理论上讲甚至有无穷多种.如直角坐标网分割，极坐标网分割，以及任意曲线坐标网分割等.因此给重积分的计算方法和技巧带来多样化.这是二者的又一差异.一元函数与多元函数的积分换元公式上也有差异，我们比较重积分与定积分的换元公 式.P 汽）0 _ ndudv:f xdx =： ft dtI u, vII f x, y dxdy 二 f |x u,v ,y u,vDxyDxy'_I比较以上二式，定积分换元公式中，（t ）无绝对值，而在二重积分换元公式中巩XI ）c（u,

38、v ）带有绝对值.原因在于定积分是在有向线段 la,b 上取的，而二重积分是在无向区域D上取的，因而要加绝对值.（2）在广义积分上的差异一元函数与多元函数的积分性质有许多相似，但一元函数与多元函数的广义积分却存在显著差别.一元函数的收敛性并不蕴含其绝对收敛性，反之，对多元函数则不然.多于函数的广义积分的收敛性本身蕴含其绝对收敛性，也就是说多元函数的广义积分收敛性与其绝对收敛性等价.3.3.1 一元函数广义积分的收敛（条件收敛）不能保证其绝对收敛性讨论一元函数广义积分的收敛性往往需要区别对待它的绝对收敛性与收敛性，因为收敛性仅指条件收敛，而条件收敛与绝对收敛是两个完全不同的概念例7:证明（1）收

39、敛；（2）发散.'0 XX、十卄” Ssin xJ sin x” in x证明：（1）dxdxdx = I 勺 T 2七 XXA Xsin x对于11 ， lim=1 从而11为正常积分XT X对于12 , s i nx d < 2 单调下降且趋于0占-x由Dirichlet判别法知i2是收敛的综上所述,rsin xdx收敛xcos 2xdx = J J2x由Dirichlet判别法知C°S "dx是收敛的，而l12xdx发散，从而2x综上所述,3.2.2多元函数广义积分的收敛性与其绝对收敛性等价定理 3.1 函数f x, y在无界区域D上的反常二重积分收敛的

40、充要条件是f (x, y )在D上的反常二重积分收敛为了证明定理的必要性，我们有一个引理引理3.1 若函数f x,y在无界区域D上非负，且f x, y在D的任意有界闭子区域上R可积，并且存在有界子区域列:D，满足D二D2二*二Dn二儿一；门，则11 f x, y dxdy = lim f x y dxdy .rn 七 L LDDn下面我们来证明定理 3.1.证明：(充分性)由IfDf (x,y)dxdy收敛，为此给出f ( x,y )的正部，负部函数.“(X,y),f(X,y円f-f(X, y),f(x,y)兰 0u(x, y )=<x,y )<,f _(x, y )=iI0 ,f

41、(0i0,f(x, y)A0所以有0兰f虽x, yf (x,yf_(x,y 声f(X,yjf x, y 二 fjx,y fx,y,f x, y 二 fjx,y f_Jx,y所以！r x, y dxdy , !f_ x,y dxdy均收敛DD从而广义二重积分iif x, y dxdy 二 fjx,y dxdy iif_x,y dxdy 存在且有限DDD(必要性)使用反证法证明，假设f x, y dxdy存在且有限，而DM f (x, y)dxdy 发散，由引理3.1，存在有界闭子区域列 2鳥，满足Dt二D2二 二D则有不等式 口 f (x,y)dxdy >3 JJ f(x,y jdxdyD

42、 n 1 .D n记、：n =Dn 1 - Dn，有 f x,y dxdy 2 f x, y dxdy - 2nnD n又 f X, y dxdy = f. x,y dxdy _ f _ x, y dxdyn所以f . x, y , f _ x,y中至少有一个，不妨设为f _ x, y，使得DnU fx,y Jdxdy > 口 f (x, y)dxdy +n J由f _ X, y得积分定义，存在J.n的一个分割，使得Z mf ©C )> f (x, y jdxdy，其中 是区域 dn 分割的部分，mj 是 f (x, y )Dn在召 C 上的下确界.令 6= Y 

43、7;(n )mj >0 ,则在 d/上 f (X, y )= _f_(x, y )< 0，从而 _f _(x, y )dxdy £ - f (x, y ) dxdy nDn此外显然有口 f(X,Dny)dxdy Z jj f ( x, y jdxdyDn那么 JJ f (x,y )dxdyDn< JJ f (x, y )dxdy + Jjj f (x, y )dxdy < -n t 亍Dn于是此即表明，f x,y在D上的广义二重积分也发散，这与题设相矛盾.同样对于无界函数广义二重积分仍然有相仿结果引理3.2 若f x,y在有界闭区域D上除A x°,y

44、°点外有定义，f x, y - 0，A x0, y0是其奇点，贝UII f x, y dxdy攵敛的充要 条件是存在 M 0 ,使得对任意的DA x°,y°的邻域汨我:二D , f x, y于D 一6 上 R 可积，且 JJ f (x, y Jdxdy < M .引理3.3若f x,y在有界闭区域 D上除A x°,y°点外有定义，f x, y -0 ,A x°, y°是其奇点，':是A人，y°的任意邻域且 f x, y于D -：'上R可积，并存在A x°,y° 的邻域序列

45、C:-J n =1,2，满足n -；，dn > 0 n；心,则第10页共16页20安庆师范学院数学与计算科学学院2010届毕业论文有 f X, y pxdy = lim y f (x, y pxdy 7飞定理 3.2若在在有界闭区域D上,f x, y有定义，且 A x0, y0是其奇点，则第10页共16页21安庆师范学院数学与计算科学学院2010届毕业论文第10页共16页#安庆师范学院数学与计算科学学院2010届毕业论文f （x, y j在 D上广义二重积分收敛的充要条件是f （x, y）在D上的广义二重积分收敛.以上我们看到一元函数与多元函数在广义积分上的差异，必须正确的区分函数的这两

46、类广义积分，才能更好的加深对函数积分的了理，解掌握及运用4关于曲线积分虽然f x, y沿平面曲线Lab上的第一型曲线积分l f x, y ds的定义与f x在la,b 上的定积分的定义完全类似，几何意义类似，而且还有许多类似性质Pa但是： l f x,yds = L f x, y ds，而 f xdx=_：f x dx另一方面，f x,y沿平面曲线lab上的第二型曲线积分l f x,y dx的定义一般情况下与f x在la,b 上的定积分定义不相同（当 lab为x轴上的直线段时，二者才相同， 即曲线积分是第二型平面曲线积分的特例）4综合分析与结语4.1出现差异的原因（1） 空间结构发生变化.从一

47、元到多元，函数的变化范围由一维空间扩展到n n_2维空间， 发生了空间结构变化， 使研究的问题更加复杂化， 研究方法更加多样化， 思维方式更加灵活（2） 研究问题的方法发生变化.在研究多元函数时我们采用了两种思想方法.一种是在多个自变量同时变化的情况下进行研究，我们称为多元法；另一种是在其中一个自变量变化，而其余自变量暂时看作常量的情况下尽心灌酒，我们称为单一法多元函数中的概念有些是用多元法给出的，如极限，连续，可微等，有些是用单一法给出的，如偏导数，驻点等.而在一元函数的研究中，只有一个自变量，所以没有单一法与多 元法之分，其概念也都是同一类 .这恰恰使得一元函数中概念间的关系，在多元函数中

48、有些 会发生质的变化，即出现新问题 .4.2 一元函数与多于函数异同点的分析（1 ）若关于多元函数的命题，其题设条件中所涉及的概念是用多元法给出的，而结论中所 涉及的概念是用单一法给出的，则这个命题的正确性可得以保持.例如，在多元函数中，可微和极值点这两个概念是用多元法给出的，而可导和驻点这两个概念是用单一法给出的.所以，在一元函数中“可微 =可导”和“极值点必为驻点”这两 个命题的正确性仍可保持.（2 ）若关于多元函数的命题，其题设条件和结论中所涉及的概念均是用多元法给出的，则 这一命题的正确性，在多元函数中能够得以保持例如，在多元函数中的极限，连续，可微，重积分，最大（最小）值等概念，均是用多 元法给出的，所以，一元函数中的“可微=有极限”，“可微=连续”，“连续=有极限”等命题的正确性在多元函数中仍然保持.一元函数的实数完备性定理可由“闭区间”推广到“闭区域”.(3 )若关于多元函数的命题，其题设条件中所涉及的概念是用单一法给出的，而结论中所 涉及的概念是用多元法给出的，则这一命题的正确性在多元函数中不再保持例如，一元函数f x