1312《平方根》aa

1、3.什么叫乘方？什么叫幂什么叫乘方？什么叫幂？求相同因数的积的求相同因数的积的叫做乘方；乘方的运算叫做乘方；乘方的运算叫做幂叫做幂 （1）42= ，（，（4）2= ；（2） ， ；232232（3）（）（0.8）2= ， （0.8）2= 。161694940.640.644.填空填空乘方是已知乘方是已知和和，求，求。如：如： 42已知已知及及，求，求。 反过来：反过来：如果已知一个数平方等于如果已知一个数平方等于1616，怎，怎样求这个数？样求这个数？即已知即已知及及，求，求？设这个数为设这个数为x则则 x 2 =164 4 2 2 = 16= 16，（，（4 4）2 2 = 16= 16 x

2、 = 4 或或 4 因为因为的平方都等于的平方都等于，我们把，我们把叫做叫做的的。： 的平方等于的平方等于 。那么。那么 叫叫 的平的平方根。方根。32,3294 0.8、 0.8的平方等于的平方等于0.64。那么。那么 叫叫 的平方根。的平方根。0.8、 0.80.64自学并讨论？自学并讨论？ 1.什么叫平方根？如何表示一个数的平方根？什么叫平方根？如何表示一个数的平方根？ 2.什么叫开平方？开平方与平方是什么关系？什么叫开平方？开平方与平方是什么关系？ 3.如何求一个数的平方根？如何求一个数的平方根？ 4.平方根有什么性质？平方根有什么性质？ 5.平方根与算术平方根有什么异同？平方根与算术

3、平方根有什么异同？让我们一个一个解决吧！好吗？让我们一个一个解决吧！好吗？自学并讨论？自学并讨论？1.什么叫平方根？什么叫平方根？一般的，一般的，如果一个数如果一个数X的平方等于的平方等于a，即，即x2=a那么这个数那么这个数X叫做叫做a的一个平方根（也叫做二次方根）。的一个平方根（也叫做二次方根）。 若若x2=a，则，则X是是a的一个平方根的一个平方根 例如，因为例如，因为3 3和和-3-3的平方都等于的平方都等于9 9，我们就说，我们就说3 3和和-3-3是是9 9的的平方根。也可以说平方根。也可以说: :9 9的平方根是的平方根是3.如何表示一个数的平方根？如何表示一个数的平方根？13=

4、169（-13）=169，所以所以4的平方根是的平方根是2 。100的平方根是的平方根是10169的平方根是的平方根是13 。2=4，（，（-2）=4，10=100，（，（-10）=100，aaa（读作“负根号”）的负平方根，用“”表示，。根号根号被开方数被开方数aaa一 个 正 数的 正 平 方 根 ， 用 “”（ 读 作 “ 根示 ，号表” ） 。aaa（读作“正、负根号，”）合起来，一个正数 的平方根就用“”表示。2aa表示为：的平方根非负数2a根指数可以省略又叫又叫a的算术平方根的算术平方根得出，得出，平方根的性质平方根的性质：( )2 = 9( )2 = ( )2 = 0( )2 =

5、4 3 2 = ( ) (3 )2= ( ) ( )2= ( ) ( )2 =( ) 02 =( )214199410321210不存在不存在41请同学们概括一个数的平方根的性质：请同学们概括一个数的平方根的性质： 一个正数有两个平方根，它们互为相反数；一个正数有两个平方根，它们互为相反数； 零有一个平方根，它是零本身；零有一个平方根，它是零本身； 负数没有平方根。负数没有平方根。例如：4442的平方根表示为：，55的平方根表示为：，2536的平方根表示为：2536255366的平方根表示为：000的平方根是就是0本身，我们把0的平方根也叫做0的就算术平方根。记作 ,即 =000自学并讨论？自

6、学并讨论？2.什么叫开平方？ 求一个非负数的平方根的运算，叫做开平方.开平方与平方是什么关系？a的平方根的平方根底数幂被开方数被开方数ax 互为互为逆运算逆运算ax 2指数根号根号已知底数和指数求幂已知底数和指数求幂已知幂和指数求底数已知幂和指数求底数平方运算平方运算开平方运算开平方运算与与2a2开方开方平方平方运算运算符号符号适用适用范围范围运算结运算结果名称果名称性质性质020自学并讨论？自学并讨论？3.如何求一个数的平方根？见见P73例例4例例2 . 求下列各数的平方根：求下列各数的平方根：（1）81；（；（2） ； （3）0.49;2516解：解：(1) (9)2=81，（2）2516

7、)54(2 的平方根是的平方根是 ，251654 (3)(0.7)2=0.49， 0.49的平方根为的平方根为0.7 即即0749. 0 81的平方根为的平方根为9981 即：即：542516 即即自学并讨论？自学并讨论？自学并讨论？自学并讨论？4.平方根有什么性质？见见P74 议一议议一议 （1）一个正数有几个平方根？它们是什么关系？）一个正数有几个平方根？它们是什么关系？（2）0有几个平方根？有几个平方根？（3）一个负数呢？）一个负数呢？(1)144的平方根是什么的平方根是什么? (2)0的平方根是什么的平方根是什么? (3) 的平方根是什么的平方根是什么? (4)-4的平方根是什么的平方

8、根是什么?为什么为什么?从上面的回答中从上面的回答中,你发现了什么你发现了什么?12164试一试试一试:1208/11没有平方根没有平方根 一个正数一个正数a有两个平方根有两个平方根,它们互为相反数它们互为相反数; 0只有一个平方根，它是只有一个平方根，它是0本身；本身； 负数没有平方根负数没有平方根.记一记！记一记！牢记这个牢记这个性质！性质！知道知道（1）因为）因为 ，所以，所以 是是 的平方根；的平方根；（2） 时时 ， 0 ； 0 。 4997320aaa73499一、概念理解填空题：一、概念理解填空题：（3）0的平方根可以理解成：的平方根可以理解成： ； 。00所以概括为所以概括为

9、。0000小试牛刀小试牛刀巩固练习巩固练习:二、选择题：二、选择题：1、在、在0、9、2、（、（2）2 中，有平方根的是（中，有平方根的是（ ）A、1个个 B、2个个 C、3个个 D、4个个2、数、数16的平方根是（的平方根是（ ）A、4 B、 C、 4 D、4或或43、数、数0.25的平方根是（的平方根是（ ）A、0.5 B、0.05 C、0.5 D、0.5或或0.54、数（、数（6）2的平方根是（的平方根是（ ）A、6 B、6 C、6或或6 D、无平方根、无平方根16CDDC判断下列说法是否正确：判断下列说法是否正确：（1）9的平方根是的平方根是3; ( )（2）49的平方根是的平方根是7

10、 ； ( )（3）（）（2）2的平方根是的平方根是2 ；（；（ ）（4）1 是是 1的平方根的平方根; （ ） （5）若）若X2 = 16 则则X = 4 （ ） （6）7的平方根是的平方根是49. ( )负数没有平方根负数没有平方根72247难点解析难点解析思考？思考？ 5.平方根与算术平方根有什么异同？平方根与算术平方根有什么异同？议一议！议一议！ 平方根与算术平方根的联系与区别平方根与算术平方根的联系与区别： 联系联系 （1 1）具有包含关系具有包含关系: :平方根包含算术平方根，算平方根包含算术平方根，算术平方根是平方根的一种。术平方根是平方根的一种。 （2 2） 存在条件相同：存在条

11、件相同：平方根和算术平方根的被开方平方根和算术平方根的被开方数都具有非负性数都具有非负性 （3 3） 0 0的平方根和算术平方根都是的平方根和算术平方根都是0 0。 区别区别 （1 1） 定义不同：定义不同： “如果如果一个数一个数X X的平方等于的平方等于a a，那，那么这个数么这个数X X叫做叫做a a的平方根的平方根”， “如果如果一个正数一个正数x x的平方的平方等于等于a, a,即即 x x2 2 =a,=a,那么这个正数那么这个正数x x叫做叫做a a的算术平方根的算术平方根”。 （2 2）个数不同：个数不同：一个正数一个正数有两个有两个平方根，而一个正数平方根，而一个正数的算术平

12、方根的算术平方根只有一个只有一个。 （3 3）表示方法不同：表示方法不同：正数正数a a的算术平方根表示的算术平方根表示 为为 a a，而正数而正数a a的平方根表示为的平方根表示为 a a。是是的算术平方根的平方根的算术平方根的平方根；的算术平方根是的算术平方根是；的平方根是的平方根是）（；的平方根是的平方根是；的平方根是的平方根是1695362 62 5 32（1）100的平方根是的平方根是 ， 的平方根是的平方根是 ；（2）16的平方根是的平方根是 ， 的平方根是的平方根是 ；（3）0的平方根是的平方根是 ； 9 的平方根是的平方根是 。练习：练习：1001925101014350不存在

13、不存在 （1）为什么）为什么100、16等数有两个平方根？这两个等数有两个平方根？这两个平方根有什么关系？平方根有什么关系？（2）为什么负数的平方根是不存在？）为什么负数的平方根是不存在？根据以上练习回答下面两个问题：根据以上练习回答下面两个问题：（3）0的平方根情况又如何叙述？的平方根情况又如何叙述？例例1 求下列各数的平方根求下列各数的平方根:（1） 81 （2） （3） （4）0.49 （5）16949610分析分析 问：解题思想方法是？问：解题思想方法是？答：根据平方根的定义，把求平方根转化为求平方。答：根据平方根的定义，把求平方根转化为求平方。即求出平方等于即求出平方等于81的所有数

14、。的所有数。解：解： （1） 8192即即9818181的平方根是的平方根是9 （2） 6231010 的平方根是的平方根是610310即即361010注意：注意： 等于等于9； 等于等于9, 080 , 081 例例2 下列各数有平方根吗？如果有，求出它的下列各数有平方根吗？如果有，求出它的平方根；如果没有，请说明理由。平方根；如果没有，请说明理由。（1）64 （2）0 （3）（）（4）2解解：（1）因为）因为64是负数，所以是负数，所以64没有平方根没有平方根（2）0有一个平方根，它是有一个平方根，它是0；（3）因为（）因为（4）2=16所以（所以（4）2的平方根就是的平方根就是16的平方

15、根的平方根因此的（因此的（4）2平方根是平方根是4三、判断题：三、判断题：（1）114的平方根是的平方根是12与与12；（2）256的平方根是的平方根是16；（3）256的平方根是的平方根是16；（4）5是是25的一个平方根；的一个平方根；（5）5是是25的一个平方根；的一个平方根；（6）1的平方根是的平方根是1；（7）1的平方根是的平方根是1；（8）1是是1的平方根；的平方根；（9）（）（1）2的平方根的平方根1。小结小结1、如果、如果 ，那么，那么 就叫做就叫做 的平方根，用的平方根，用 来来 表示。当表示。当 时，有两个平方根，即时，有两个平方根，即 ， 表表示示 的正平方根，的正平方根

16、， 表示负平方根。表示负平方根。ax2xaa0aaaaa2、开平方与平方、开平方与平方3492535判断：判断：（1 1）5 5是是2525的算术平方根；的算术平方根；（2 2）-6-6是是 36 36 的算术平方根；的算术平方根；（3 3）0 0的算术平方根是的算术平方根是0 0；（4 4）0.010.01是是0.10.1的算术平方根；的算术平方根；（5 5）-5-5是是-25-25的算术平方根。的算术平方根。对对错错对对错错错错6（2）已知正方形面积是）已知正方形面积是22，那么它的边长是多少？，那么它的边长是多少？从问题中产生新的课题从问题中产生新的课题: :S=22？！？！？！？！？！？！？！？！（1）已知正方形面积是）已知正方形面积是42，那么它的边长是多少？，那么它的边长是多少？从问题中产生新的课题从问题中产生新的课题: :S=422222（3）已知正方形面积是）已知正方形面积是a2，那么它的边长是多少？，那么它的边长是多少？从问题中产生新的课题从问题中产生新的课题: :S= a 2？！？！？！？！？！？！？！？！新的运算新的运算: :（2）已知正方形面积是）已知正方形面积是22，那么它的边长是多，那么它的边长是多少？少？