分形概念及其在构造地质研究中的应用

1、分形理论作为研究不规则形体的自相似性及其 复杂程度的理论 , 为构造地质学的研究提供了一种 新方法 , 拓宽了构造地质的研究领域 , 分维值作为评 价断裂复杂程度的指标具有更为明显的优越性。近 年来 , 随着分形几何学等非线性理论的发展及其在 地质学中的广泛应用 , 为断裂构造空间分布和几何 结构特征的定量表征提供了新的手段 , 同时也为断 裂构造及其与油气空间分布关系研究提供了新的思 路。1分形的概念及分形维数的计算方法1.1分形的定义分形理论产生于 20世纪 70年代 , 是非线性科 学的一个分支。 最初 , 分形理论是研究自然界和非线 性系统中的不光滑和不规则的几何形体 , 后来人们 发

2、现在人类的社会经济活动中存在大量的现象也可 以用分形理论来解释。 至于什么是分形 , 目前对分形 还没有严格的数学定义 , 只能给出描述性的定义 , 粗 略地说 , 分形是对没有特征长度 (所考虑几何对象所 含有的各种长度的代表者 但具有一定意义下的自 相似图形和结构的总称3, 4。原则地说 :分形是一些简单空间上的一些 " 复 杂 " 的点的集合 , 这种集合具有某些特殊性质 , 首先 它是所在空间的紧子集 , 并且具有下面列出的典型 的几何性质的部分或全部。 分形集都具有任意小尺度下的比例细节 , 或者说它具有精细的结构 ; 分形集不能用传统的几何语言来描述 , 它既不

3、是满足某些条件的点的轨迹 , 也不是某些简单方 程的解集 ; 分形集具有某种自相似的形式 , 可能是近似的自相似或者统计的自相似 ; 一般 , 按本章节的方式定期义的分形集的“ 分 形维数” , 严格大于它相应的拓扑维数 ; 在大多数令人感兴趣的情形下 , 分形集由非常简单的方法定义 , 可以变换的迭代产生。分形集是一类不能用经典几何方法描述的 “ 不 规则” 集 , 它们基本上满足 , 但在自相似程度 上可以有很大的差别。 而分形几何正是研究所谓“ 简 单” 空间上这样一类“ 复杂” 子集的一门新兴的数学 分支 3。1.2分形维数实际上 , 分数维并不是近些年才有的新概念。 早 在 1919

4、年 , 德国数学家 Hausdorff 就提出了维数应 该可以取分数的思想 , 并创立了以他名字命名的测 度和维数。 分形维数是定量刻画分形特征的参数 , 在 一般情况下是一个分数 (包括整数 , 它表征了分形 体的复杂程度 , 分形维数越大 , 其客体就越复杂 , 反 之亦然。至今数学家们已经展出了十多种不同的维 数 , 如 Hausdorff 维数、 相似维数、 盒维数、 容量维数、 信息维数、 关联维数、 填充维数、 Lyapunov 维数等等5, 6。在断裂构造研究中应用较为广泛的主要是具有自相似性的分形 , 即线性分形。 分维 (也叫分形维 是 用来定量描述这种自相似性的参数 , 有

5、许多种不同 的定义 , 但在断裂构造的研究中 , 主要采用下述三种 定义 , 即容量维、 信息维、 相似维 5。1.2.1容量维数设 (x , d 为 一 距 离 空 间 , 4(x 为 非 空 紧 子 集 , 对每一 ->0, 设 N (A , 表示覆盖 A 所需要的半 分形概念及其在构造地质研究中的应用张飞燕 , 陈晓山(中国矿业大学资源与地球科学学院 , 江苏 徐州 221008摘 要 :分形理论是现代非线性科学中的一个重要的分支 , 是科学研究中一种重要的数学工具和手段。 分维值可以定 量描述断裂分布的复杂性 , 它是断层数量、 规模、 发育程度、 组合方式的综合体现 , 分维值

6、越高 , 则构造越复杂 , 对煤 矿生产的影响越大。 简述了分形基本概念和常用分形维数的几种计算方法 , 通过实例重点介绍了分形理论在油气构 造和矿井地质构造研究领域中的应用状况。 关键词 :分形理论 ; 分形维数 ; 构造地质 ; 应用状况 中图分类号 :O29文献标识码 :A作者简介 :张飞燕 (1983 , 女 , 山东省临沂市人 , 中国矿业大学研究生 , 助教 , 从事构造地质方面的研究。收稿日期 :2007-12-12责任编辑 :唐锦秀文章编号 :1674-1803(2008 03-0016-04中 国 煤 炭 地 质COAL GEOLOGY OF CHINAVol.20No.3M

7、ar. 2008第 20卷 3期 2008年 3月3期径为 的最少的闭球个数 , 如果下式存在 :D c (A =lim 0lnN (A , ln (#则称 Dc 为 A 的容量维数。容量维数又称为柯尔莫哥诺夫容量维 , 它首先 由 著 名 数 学 家 柯 尔 莫 哥 诺 夫 定 义 的 。 此 定 义 与Hausdorff 维数很相似。所不同的是 :假定所考虑的图形是 d 维空间 R d 的有界集合。 容量维数是用半径为 的同样大小的 d 维球覆盖 A 在 HaMsdorff 维数 中 , 覆盖 A 的球不是同样大小的 , 一般考虑大小比 还小的任意球。 所以容量维数是 Hausdorff

8、维数的特 殊情况一般 , Dc>DH 。1.2.2信息维数下面的定义是反映点集在分布上的信息。令 P i( 表示落在第 I 个半径为 的球内的概率。 总信息量可由下式求得 :I (=N (g i=1$P i ( ln 1i 其中 , N (g i $P i ( =1, N ( 为总的球数 , 这个量也被称为熵。 I (是 的函数。 令 A 为某一集合 , 定义 D l (A =lim 0I (ln (&=lim 0N (g i=1$P i(lnP i( ln ( ( *+ , -为 A 的信息维数。假如落入每一个球的粒子概 率相同 , 即 P i (=1, 则 I ( =lnN

9、( , 信息维数 即容量维数 , 一般 D c D l 。 信息维数可以看作容量维 数的一个推广。1.2.3相似维数像 Koch 曲线、 Sierpinski 垫片和 Cantor 集这些集合 , 其任意局部的形状与整体是相似的 , 即只要将 每一个局部放大一定倍数就可得到与整体一致的图 形 , 这种集称为自相似集。若一个集 E 由 m 个与它相似的部分组成 , 且每 个部分与整体的相似比为 r , 则 E 的相似维数定义 为 :D s (E =lnm/ln (1/r =-lnm/lnr 。2分形理论在构造地质研究中的应用地质现象本身是不规则现象 , 构造格架等具有 相似性 , 所以分形理论在

10、构造地质学中的应用将显 示出广阔的前景。2.1分形理论在油气构造地质中的应用近些年来 , 石油科技工作者积极地运用分形理论的概念和方法分形研究实际问题 , 取得了许多有 学术价值和显著经济效益的成果。实际研究结果表 明 , 油气藏体积频度满足幂律规律 , 具有相似性的 特点为分形分布。平田 (1987年 通过计算证明 , 岩石破裂时 , 空 间上具有自相似性 , 并随破裂程度增加 , 其维数降 低。 张奇 (1992年 对川中地区百余个地面及潜伏构 造分维与 20个含油气构造分布的分维进行对比 , 认 为全部构造的分维 D=1.27。 20个含油气构造分布的 分维 D=1.21。两者均具有很宽

11、的无标度区间 , 相关 系数检验均在 0.97以上 , 这一现象说明构造分布与 油气分别具有相似性的分形结构 7。分形方法已引入研究油气田的空间分布 , 运用 分形理论对四川盆地油气田的空间分布特征进行了 研究 , 结果表明油气田的空间分布具有自相似性 , 可 用分形几何学描述油气田的分布规律。应用盒维数 方法计算了油气田空间分布的分维值 , 对不同区块 的分维特征进行了比较。 探讨了分维值的物理意义。 实际资料计算结果显示 , 盒子数目与尺度有很好的 相关性 , 其相关值均达 0.99以上 8。探讨断层的分维值与含油面积和产能的关系。 将分形几何学的原理和方法 , 应用于东营凹陷 T 2、

12、T 6和 T R 3个不同构造层的断层体系的二维平面分布特 征研究。发现研究的标度范围内不仅具有统计自相 似性 , 并且同一构造层不同子区域具有不同的分维 值 D 。将之与油田分布特征对比 , 可发现分维值越 高 , 油田规模越大 9。应用分形理论定量研究柴达木盆地北缘断裂构 造的空间展布特征及其对油气分布的控制作用 , 认 为断裂体系分数维值越大的地区 , 有利于油气藏的 分布 , 其单位面积内的油气地质储量越高。 这些研究 结果为该区油气勘探提供了新的依据 10。2.2分形理论在矿井地质构造中的应用矿井构造量化预测是借助数学理论和计算机技 术 , 从分析井田各种直接或间接地反映构造复杂程

13、度的指标及其相互关系入手 , 以等性单元为基本单 位 , 以综合评判为主要手段 , 对矿井不同地段构造相 对复杂程度进行分级的预测方法 11。矿井中分维应 用的具体方法是 :首先把已有的断裂资料投绘到透 明纸上 , 然后把研究区划分为若干正方形块段 , 在每 个块段内 , 以边长为 r0的正方形网格进行覆盖 , 记 录每个网格中的断裂长度 Ii 及断裂总长度 L , 则 Pi (r =Ii /L , 不断缩小网格 , 使 r=r0/2、 r0/4、 r0/8, 得到 每一级别的 Pi (r 和 H (r , 把它们投放到 lgPi (r -lgr 坐标系中 , 所得拟合直线的斜率的绝对值即为该

14、块张飞燕 , 等 :分形概念及其在构造地质研究中的应用17第 20卷 中 国 煤 炭 地 质段的信息维 Di (图 1、 2 。相似维的求测方法较为简单 , 统计过程中只需记录每个级别中有断层迹线穿过的网格的数目 N(r , 在 lgN (r -lgr 坐标系中可得到一条拟合直线 ,其斜率的绝对值即为该块段的相似维 D S (图 2 。其实从前人所做的工作来看 , D i 与 D S 的差别很小 , 而且两者呈良好的线性相关关系。利用此方法进行断裂构造分形定量化研究 , 可以做出整个研究区的分维等值线图。在分维等值线图中可以对构造简单区与构造复杂区进一评价。王国华 (2006 等在研究唐山煤矿

15、断层构造中 , 就做出了铁三铁四区 5煤断裂分维等值线图 , 进行了分形定量化研究 (图 3 。用如下的经验公式表示 :式中 :N 为断层条数 ; H 为断层落差 ; D 为分维值 ; K 为常数。因此 , 通过对井田内已经揭露的断层资料进行统计 , 作出散点图 , 并利用回归分析的方法求解出上面公式中的待定系数 , 就可以得出断层条数的预测 公式。 由于预测公式是根据小断层资料得出的 , 有一 定的适用范围 , 不能任意外推到大中型断层或节理。 根据统计资料分析 , 对于落差小于 10m 的断裂进行 预测可靠性较高 12。通过此种方法的预测结果也在 实际的生产中得到了验证。其实在 1997年

16、夏玉成等就在 霍州矿区断层构 造的分形特征一文中将断裂信息维引入矿井断裂 构造研究 , 发现断裂信息维可以表征矿井断裂构造 的相对复杂程度 13, 于是 , 将断裂信息维作为评价矿 井断裂构造复杂程度的新指标 14。刘玉林 (2004 论 述了应用分形理论评价断裂构造复杂程度的优越 性 , 并对霍林河煤田的断裂构造的复杂程度进行了 评价。分维值作为评价断裂复杂程度的指标能够很 好地解释一些地质现象的变化 , 并通过地质理论的 分析 , 反映与其相关的地质因素变化。 具有其它指标 无法比拟的优点 , 是一种包含了断裂长度、 密度、 方 向性和组合方式等信息的综合性指标 , 与断裂长度 的关系最为

17、密切 15。煤与瓦斯突出的分布具有分区分带性的特点 , 地质构造是控制突出分布的主导性因素 16。由于地 质构造形态不规则 , 分布复杂 , 用传统的数学手段难 以对其进行准确量化的描述 . 目前 , 对地质构造与突 出关系的研究仍处于定性分析阶段 . 由 Mandelbrot 创立并发展的分形几何学理论 , 为定量描述不规则 事物及其变化规律提供了有力的工具 . 近年来的研 究已经证实 , 断层的分布服从分形规律 , 可以应用分 形理论研究井田内的断层构造对突出危险性的影 响 . 为了较为全面准确地量化表达地质构造与瓦斯 突出的关系 , 必须在不同尺度上考察各类地质构造图 1分维值求测方法示

18、意图Figure 1A schematic diagram of fractal dimension calculation图 2相似维解算示意图Figure 2A schematic diagram of similarity dimension solving图 3铁三铁四区 5煤断裂分维等值线图 (据王国华 , 2006Figure 3Fractal dimension isogram of No.5coal seam fractures in T3and T4region (from Wang Guohua , 2006183期对突出危险性的影响 , 形成较为可靠的突出预测指 标 17

19、, 18。 何俊等 (2002 采用分形几何手段 , 对全国范 围内若干煤田中的地质构造分布特征和矿区突出危 险性的关系进行了分析 , 并对突出预测的构造分维 指标进行了优化。指出各类突出矿区煤田中断层和 褶曲构造的分布服从分形规律 , 煤田地质构造分布 对突出危险性的影响可以用分维来描述 . 断层分维 和褶曲分维与突出危险性之间存在正相关关系 , 二 者综合所构成的构造分维和指标是一项较为良好的 突出区域预测指标 19。分形理论用于矿床勘探的一个重要特点 , 是随 着工程控制程度提高 , 分维值逐步增大 , 增大的速率 与矿体形态复杂程度有关。 因此 , 可用分维值来刻画 矿体形态复杂程度。

20、利用对其复杂程度的刻画来定 量预测矿产储量计算的精度 , 估计地质勘探的工作 程 度 等 。 孟 宪 国 等 应 用 关 联 维 数 对 云 南 西 部 1: 50000水系沉积物地球化学测量数据空间分布进行 研究 , 对找矿做出了预测 20。另外 , 分形理论还广泛用于岩爆与地震的预测 , 地质制图、 地形地貌的研究、 航片解释、 岩石孔隙度 研究、 岩体结晶程度、 成矿流体的运移等地质领域。 随着分形理论在实践应用中不断修正、 完善 , 必将为 构造地质学提供新的研究线索和途径 , 使得一些复 杂抽象的地质现象变得简单易解 , 并使得地质向定 量地质学发展迈向一个崭新的领域。参考文献 :1

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