普陀区高三数学二模理科

1、数学（理科）试卷1.答卷前，考生务必在答题纸上将姓名、考试号填写清楚，并在规定的区域贴上条形码.2.本试卷共有23道题，满分150分.考试时间120分钟.3.本试卷另附答题纸，每道题的解答必须写在答题纸的相应位置，本卷上任何解答都不作评分依据.一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14小题，要求直接将结果填写在答题纸对应的空格中.每个空格填对得4分，填错或不填在正确的位置一律得零分.1若复数（是虚数单位），则.2若集合，则.3【理科】方程的解.4【理科】若向量，且，则.5【理科】若，在极坐标系中，直线与曲线相切，则实数.6【理科】若偶函数()满足条件：，则函数的一个周期为.7【理科】若为曲线

2、（为参数）上的动点，为坐标原点，为线段的中点，则点的轨迹方程是. 第11题图8【理科】某质量监测中心在一届学生中随机抽取39人，对本届学生成绩进行抽样分析.统计分析的一部分结果，见下表:统计组人数平均分标准差组组根据上述表中的数据，可得本届学生方差的估计值为(结果精确到).9 【理科】等比数列的前项和为，若对于任意的正整数，均有成立，则公比.10【理科】在一个质地均匀的小正方体六个面中，三个面标0，两个面标1，一个面标2，将这个小正方体连续掷两次，若向上的数字的乘积为偶数，则. 11【理科】如图所示，在一个(且表示涂白色网格的个数与涂黑色网格的个数的比值，则的最小值为.12【理科】若三棱锥的底

3、面是边长为的正三角形，且平面，则三棱锥的体积的最大值为. 13若表示阶矩阵中第行、第列的元素（、），【理科】则（结果用含有的代数式表示）. 14【理科】已知函数，若不等式恒成立，则实数的取值范围是.二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在答题纸相应的空格中. 每题选对得5分，不选、选错或选出的代号超过一个（不论是否都写在空格内），或者没有填写在题号对应的空格内，一律得零分.15. 下列命题中，是假命题的为（ ）平行于同一直线的两个平面平行. 平行于同一平面的两个平面平行.垂直于同一平面的两条直线平行. 垂直于同一直线的两个平面平行.1

4、6.【理科】已知曲线:（）和:（）有相同的焦点，分别为、,点 是和的一个交点,则的形状是（ ）锐角三角形. 直角三角形. 钝角三角形. 随、的值的变化而变化.17. 若函数，则使得“函数在区间内有零点”成立的一个必要非充分条件是（ ）. . . .18. 对于向量（），把能够使得取到最小值的点称为（）的“平衡点”. 如图，矩形的两条对角线相交于点,延长至,使得，联结,分别交、于、两点.下列结论中，正确的是（ ）第18题图、的“平衡点”必为. 、的“平衡点”为、的中点.、的“平衡点”存在且唯一.、的“平衡点”必为.三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸规定的方框内

5、写出必要的步骤.19、(本题满分12分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分如图，在平面上，点，点在单位圆上，（）（1）【理科】若点，求的值；（2）若，四边形的面积用表示，求的取值范围.第19题图20、(本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分第20题图如图，已知是圆柱底面圆的直径，底面半径，圆柱的表面积为；点在底面圆 上，且直线与下底面所成的角的大小为.（1）【理科】求点到平面的距离；（2）【理科】求二面角的大小（结果用反三角函数值表示）.21、(本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分已知函数的反函数为，记.（1

6、）求函数的最小值；（2）【理科】若函数在区间上是单调递增函数，求实数的取值范围.22、（本题满分16分）本题共有3个小题，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题6分已知曲线:，直线经过点且其一个方向向量为.（1） 若曲线的焦点在直线上，求实数的值；（2） 当时，直线与曲线相交于、两点，求的值； （3） 当（）变化且直线与曲线有公共点时，是否存在这样的实数,使得点关于直线的对称点落在曲线的准线上. 若存在,求出的值；若不存在，请说明理由.第22题图23、（本题满分18分）本题共有3个小题，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题8分.用记号表示，其中，.（1）设（），求的值；（

7、2）若，成等差数列，求证：；（3）【理科】在条件（1）下，记，且不等式恒成立，求实数的取值范围.普陀区高三数学质量调研卷（理）参考答案一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14小题，要求直接将结果填写在答题纸对应的空格中.每个空格填对得4分，填错或不填在正确的位置一律得零分.1.； 2.； 3.【理科】； 4.【理科】； 5.【理科】； 6.【理科】1等； 7.【理科】；8.【理科】； 9.【理科】； 10.【理科】； 11.【理科】； 12.【理科】； 13.【理科】；二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在答题纸相应的空格中.

8、每题选对得5分，不选、选错或选出的代号超过一个（不论是否都写在空格内），或者没有填写在题号对应的空格内，一律得零分.题号15161718答案ABAD三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤.19、(本题满分12分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分第19题图【解】（1）【理科】由于，所以，于是（2）由于,7分，所以9分（）由于，所以，所以20、(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分【解】（1）【理科】设圆柱的母线长为，则根据已知条件可得，解得因为底面，所以是在底面上的射影，第20题图所以是直线与下底面所成的角

9、，即在直角三角形中，.是底面直径，所以.以为坐标原点，以、分别为、轴建立空间直角坐标系如图所示：则、 、,于是,设平面的一个法向量为，则，不妨令，则，所以到平面的距离所以点到平面的距离为。（2）【理科】平面的一个法向量为由（1）知平面的一个法向量二面角的大小为，则由于二面角为锐角，所以二面角的大小为21、(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分【解】（1）由得，即（）（）由于，所以（当且仅当时，等号成立）所以当时，函数（2）【理科】由（）得，8分在区间上是单调递增函数需满足：当时，即10分12分，即，13分，所以14分22、（本题满分16分）第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题6分第21题图【解】（1）由得，即，所以，所以3分（2）当时，直线：4分将直线与曲线的方程联立得，5分消去并整理得，其中6分设、，则7分于是9分（3）假设存在这样的实数,使得点关于直线的对称点落在曲线的准线上,根据题意可得，所以直线：，即：，由于，方程组消去得方程，直线与曲线有公共点，故，解得，所以11分点与关于直线：对称，则12分 得（）13分，当点落在曲线的准线上时，所以，即14分当时，；当时，解得所以，所以存在这样的实数，满足题设条件。16分23、（本题满分18分，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题8分）