巧用面积守恒法求内切圆半径

1、巧用而积守恒法求内切圆半径苏科版教材九年级上册中心对称图形（二）中有这样一道练习题：如图 1,在 RtAABC 中，ZC=90° , AB、BC、CA 的长分别为 5、3、4求ZXABC 的内切圆半径r图1分析 连结OA、OB. OC,将AABC分成三个小三角形ABO、ABCO和厶ACO（如 图2）.这三个三角形都具有下列特征：即分别以AABC的三边AB. BC. AC为底，其边上的髙都为内切圆的半径r，则可用而积守恒来解决问题.变式一 如图3,已知AABC的周长和而积都为16,求这个三角形的内切圆半径.分析 连结AO、BO、CO,将AABC分成三个小三角形 ABO、ABCO和厶AC

2、O.他们分别以三边AB、BC、AC为底，内切圆半径r为髙.解连结OA.OB.OC.则+ SRCO易得古(AB +BC +4C)r = 16/. x 16r = 16,r = 2.图3变式一可以帮我们总结出已知三角形的周长C和而积S,得出这个三角形的内切圆半 , 2s径心一.变式二 如图4,已知RtAABC中，ZC=90° , AB、BC、CA的长分別为5、4、3. 0 O分别与AB及CA、CB的延长线相切，求0O的半径，分析 本题虽不是求内切圆半径，但是依然可以用面积守恒的方法来解决.与课本题1/31/31/31/3类似，只要连结OA、OB、OC,再连接圆心与务边的切点.就容易得到B

3、C则斗(NC + BC -AB)r = *4C BC. y(3+4-5)r = yx3x4t4厂 + 3r + (2r + 5)r +-图4变式三 如图5,已知RtAABC中，ZC=90° , AB、BC、CA的长分别为5、3、4.其 中有两个互相外切的等圆都与斜边相切，且分别与两直角边相切，求两个等圆的半径的长.分析 因为本题当中没有特殊角度，只有直角三角形的三条边长，乍一看很难找到方 法.但如果能利用而积守恒法解决本题，就比较容易了.解 连结co】xo2 /o八bo?和a。2(如 图5).则有SbARC = ' 400、+ S bftco, “ S MO© +

4、%形0妙0,易得,* X 3 X 4拓展延伸如图 6,已知 RtAABC 中，ZC=90° , BC=3, AC=4.其中OOP OO2,，O On为n（n22）个相等的圆，且相邻两圆都外切，他们都与边AB相切.其中OOi与AC边 相切，OOn与BC边相切.求这些等圆的半径r （用n表示）.分析 和变式三类似，将三角形分割成 四部分，利用四部分的而积和等于三角形ABC的而积易解本题.图6图7解 连结 C0、C0"、AQ、BO.和 0.0,（如 图7） 隸iZf ='亠 + S 6BC0. + S Ago. +S禅彫0AHO.易得，yX3X4 =- 4r + 3r + (2nr - 2r + 5)r+ (2nr - 2r)(y - r),解得r 2n + 3反思本文列举的求三角形内切圆半径问题的相似之处在于，圆都与直角三角形斜边 相切，一个圆(或几个等圆)分别与两条直角边相切，几个圆之间相外切，这就提示我们, 连结圆心和切点的半径必垂直于切线，这条半径就是连结顶点与圆心所成的三角形的高， 进而可以用内切圆半径r表示三角形(或梯形)而积.当然，解