巧用塞瓦定理证明三线共点问题

1、巧用塞瓦定理证明三线共点问题定理(塞瓦定理)给定一个 ABC和分别位于线段BC, CAAB上的三个点 A , B , C .线段 AA , BB , CC共点的充 分必要条件是 C AC B?A BA C?B CB A=1.找一个满足上面比值恒等式的适当三角形并非容易的事情 . 如何解决这个问题并正确应用塞瓦定理？在此， 笔者总结出证明 三线共点问题基本方法的两个重要步骤 . 为便于归纳总结，我们 以如下具体问题为背景来进行说明 .问题给定厶ABC构造矩形 ACDE AFGBffi BHIC使它们都在 ABC的外侧.证明线段EF, GH和ID的垂直平分线共点.这是联系三角形边的矩形相关问题的一

2、种特殊情况 .要想应 用塞瓦定理证明此问题,困难在于所给的已知条件过于简单 . 不 像其他类似问题通常都有附加限制, 如用正方形代替矩形或给定 的三角形是一特殊三角形 . 此外,问题中三条垂直平分线交点的 位置与三个矩形的高度有关,况且它不会让我们立即想到与 ABC的联系.解决此问题的关键就是要牢牢把握已经给定的数量关系, 即 ABC的三个角度和三边的长度.我们分别用x, y和z表示三个 矩形的高度 .步骤 1 构造一个三角形,并要求所给定的线是塞瓦线 .(1)作线段FA,EA和CI的垂直平分线，并组成一个 O1O2O3.其中01, 02 03分别是 EAF GHB和厶CDI的外心.再作EF、

3、GH和ID的垂直平分线hi, h2, h3 (图1).显然，hl过点01, h2 过点 02, h3 过点 03 于是， ABC 0102031 线段 hi，h2， h3是厶01020的塞瓦线.(2)在厶 ABC中，作平行线 AA / h1、BB / h2 和 CC / h3.这样就获得了 ABC的塞瓦线.为此，我们只需证明线段 AA、 BB 和 CC 共点即可 .步骤 2 应用塞瓦定理 . 为确保目的明确,我们在表示塞瓦定 理中的比值时，只使用厶ABC的边和角以及矩形的高 x, y, z.在厶ABA和厶ACA中，分别使用正弦定理，可得A' BAA =sin / A1sin / B,

4、A' CAA =sin / A2sin / C.两式相除,有A BA C=sin / A1sin / A2?sin / Csin / B.注意到/ A1 三/ (0102 h1)三/F1; / A药/ (0103 h1)三/E2.于是，在 EFA中再使用正弦定理，可得sin / A1sin / A2=sin / F1sin / E2=xy.因此 A BA C=xy?sin / Csin / B.同样,我们可直接写出塞瓦定理中的另外两个比值分别为B ' CB A=yz?sin / Asin / C; C AC B=zx?sin / Bsin / A. 综上可得A BA C?B CB A?C AC B=xy?yz?zx?sin / Csin / B?sin ZA sin / C?sin / Bsin / A=1.这就证明了 AA , BB , CC共点.因此，hl, h2, h3也共 点.最后，需提请读者注意： 我们一旦确定了三角形中塞瓦线的 位置，