孤立子方程与代数几何解

1、摘 要 本文主要介绍几种著名的孤立子方程和代数几何解，共分为三章： 第一章中，简单介绍非线性，特别是孤立子。简述孤立子理论的产生和发展过程并说明本文的主要内容。 第二章中，详细介绍五种著名的孤立子方程：KdV方程、Camassa-Holm方程、KP方程、sine-Gordon方程、Toda lattice方程，以及它们的物理意义。第三章中，简介几种经典形式的孤立子方程的解，特别是代数几何解。介绍代数几何解的产生和发展过程，以及它的特点。关键词：非线性；孤立子；KdV方程；Camassa-Holm方程；KP方程；sine-Gordon方程；Toda lattice方程；代数几何解Abstract

2、 In this thesis, a few famous soliton equations and the algebro-geometric solutions are introduced. The outline of this thesis is as follows: In chapter 1, a simple introduction of nonlinearity and soliton are given. The origination and development of the soliton theory are also presented.In chapter

3、 2，five kinds of famous soliton equation：KdV equation、Camassa-Holm equation、KP equation、sine-Gordon equation、Toda lattice equation，and their physical significance are introduced.In chapter 3, several typical forms of solutions for soliton equations, especially the algebro-geometric solutions are rec

4、ommended. The emergence and development of algebro-geometric solution, and its characteristics are described in detail.Key Words: Nonlinearity; Soliton; KdV equation; Camassa - Holm equation; KP equation; sine - Gordon equation; Toda lattice equation; Algebro-Geometry solution 第 一 章 引 言 随着自然科学和技术的发展

5、，人们发现客观世界的真实情况不能完全由线性模型反映出来，而非线性现象在客观世界占据了统治地位。但是迄今为止，对非线性的概念、非线性的性质，依然没有清晰的、完整的认识。非线性科学是在各门以非线性为特征的分支学科的基础上逐步发展起来的综合性学科，被誉为自然科学的“第三次革命”。非线性科学几乎涉及了自然科学和社会科学的各个领域，并正在改变人们对现实世界的传统看法。因此人们投入了极大的热情在非线性科学的发展上，使得非线性科学的研究范围几乎涉及了社会科学与自然科学的所有领域。在非线性科学中，研究主体形成了3个最基本得分支：混沌、分形、孤立子。其中，混沌是指发生在确定性系统中的貌似随机的不规则运动。混沌并

6、不是无序和紊乱，更像是没有周期的秩序。在理想模型中，它可能包含着无穷的内在层次，层次间存在着“自相似性”。分形是一种来自于思维上的理论存在，由某些不规整但却具有某种无穷嵌套自相似性的几何图形抽象概括得出。其内部存在着无穷层次，具有见微知著、由点及面的自相似结构。而孤立子是非线性动力系统中的非线性与色散两种作用相互平衡的结果，代表着非线性科学中无法预料的有组织行为。虽然孤立子或孤立波一词常在广泛的范围内被引用，但无一般形式的定义，因为它还在发展中，给它下个严格的定义比较困难，且为时尚早。与混沌、分形一样，孤立子从被发现到理论的形成、发展及应用也是充满了许多趣话甚至传奇色彩，而且似乎更为曲折更为坎

7、坷，更能给我们以深思和启示。孤立子理论的初期研究主要集中在数学问题上，随着研究的深入，科学家们开始不满足从纯数学的形式来研究孤立子，企图在流体力学以外的领域寻找其它类型的孤立子。结果令人大为振奋，人们在不同的自然科学领域都发现了孤立子的存在。到目前为止，孤立子现在已经广泛的应用到许多领域中，例如流体力学、非线性光学、等离子体、电磁学、生命科学、通讯等等。1.1 孤立子与孤立子理论的发展 1834年，英国科学家、造船工程师J. S. Russell（约翰罗素）骑马在爱丁堡附近的一条运河河道中，偶然观察到了一种奇妙的水波。这种水波在行进过程中速度与形状在较长时间内没有明显变化，他把这种水波称为孤立

8、波。之后Russell为了更加仔细的研究这种现象，进行了许多实验并且观察到了这样的孤立波。但是由于Russell一直都不能建立合理描述孤立波的数学模型，当时科学界的权威们对这个结果一开始就表示了怀疑和反对。甚至连当时对波动研究颇有造诣的英国天文学家George Biddell Airy与英国流体力学家George Gabriel Stokes也对此提出质疑，怀疑在静止水面上能存在不变形的行波。他们的怀疑的问题主要有：一个完整的波动为什么会全部在水面上，而不是一部分在水面上，一部分在水面下；波在传播的过程中，为什么波幅不会衰减；波的运动速度也与他们的研究结果不符。此后许多人都对这种波进行了进一步

9、研究，但是均未能成功的给出令人信服的数学证明，争论一直持续了几十年。直到1895年，荷兰著名数学家D. J. Korteweg和他的学生G. de Vries在研究小振幅长波在浅水中的运动时，建立了著名的Korteweg-de Vries（KdV）方程，并且求出了与罗素描述一致的孤波解。至此，孤波的存在才得到了公认。但是，孤立波是否稳定？两个孤立波碰撞后是否变形？这些问题仍没有解决，不少科学家对此持否定态度，认为孤立波“不稳定”，放弃了进一步的研究。孤立波又一次失去了人们的关注，处于长期的埋没之中，在寂寞中继续度过了前半个20世纪。 孤立波的长期埋没、沉寂，并不意味着它已折戟沉沙。1965年，

10、美国科学家N. Zabusky和M. D. Kruskal利用先进的计算机技术通过数值计算详细研究了KdV方程两波相互作用的全过程，通过实验前后的数值结果分析后，发现两个孤立波相撞之后，各自的大小形状和运动方向均保持不变，而且还具有弹性散射的性质。从而揭示了孤立波的本质，他们把这类特殊的波称为孤立子。这项研究工作是孤立子理论发展史上的一个重要的里程碑，自此以后相当一段时间内，非线性方程与孤立子的研究在学术界蓬勃发展，蔚为大观。 随着孤立子理论的深入研究，人们发现不仅在水波中，在光学、固体物理、等离子物理中也出现了孤波，并且大批具有孤子解的非线性方程也不断被揭示出来，例如非线性Schrdinge

11、r方程、sine-Gordon方程等。研究结果表明；这些孤立子方程可能产生的背景不同，当时它们都是Liouville可积的，且具有无穷守恒律。孤立子方程可以表示成两个线性谱问题的相容条件，即可以由Lax对的相容性得出，这也是孤立子方程最重要的性质之一。 在孤立子理论中，求解孤立子方程的精确解并研究解的性质一直是古老而在理论和实际上又很重要的课题。1967年由C. S. Gardner、J. M. Greene、M. D. Kruskal和R. M. Miura (GGKM) 提出的反散射方法是最早用来求解孤立子方程精确解的方法，求解了KdV方程的初值问题。在孤立子方程求解方法的发展中起到了奠基

12、作用，并且一直备受数学家与物理学家的广泛重视，取得了丰硕饿的成果。随着人们对孤立子的深入研究，求解孤立子方程的方法也丰富起来，例如Bcklund变换法、Darboux变换法、Hirota双线性导数法、Lie群分析法、非线性化法、Lax矩阵的有限阶展开法、穿衣法、Painleve分析法、对称约束法、分离变量法、其次平衡法等等。本文主要介绍代数几何法。目前较为完整的数学和物理孤立子理论正在逐渐形成，国内外的研究者们也在这方面出版许多专著。1.2本文的主要研究内容 在上一节中我们对孤立子方程进行了简单的介绍。在第二部分中将详细的介绍几种著名的孤立子方程：KdV方程、KP方程、Camassa-Holm

13、方程、Sine-Gordon方程、Toda lattice方程，以及它们的物理意义。在第三部分，简单介绍几种求解孤立子方程精确解的方法，重点说明代数几何解，它的特点、产生以及发展过程。第 二 章 孤 立 子 方 程 孤立子方程是用来描述孤立子现象的非线性微分方程，这一章我们将详细介绍几种著名的孤立子方程。KdV方程KdV方程是孤立子方程领域最著名的方程之一。该方程是由荷兰著名数学家D. J. Korteweg和他的学生G. de Vries于1895年在研究浅水中的小振幅长波运动的实验中所得到的。关于KdV方程的历史背景最早可以追溯到1834年John Scott Russell的实验，187

14、0年左右，Lord Rayleigh与Joseph Boussinesq对该方程进行了理论方面的研究。事实上，KdV方程最早出现在Boussinesq的一篇著作之中。具体而言，KdV方程是一个非线性色散的偏微分方程，还是一个完全的可积系统，它有无穷多的守恒率，其表达式为.其中，u是关于空间变量x与时间变量t的函数。等价地，KdV方程也可以改写为如下Lax方程的形式：其中，为Sturm-Liouville算子，KdV方程的出现使得孤波的存在得到了公认，但是直到1965年N. Zabusky和M. D. Kruskal找到了该方程数值形式的孤子解，并且发现KdV方程是FPV系统的连续极限这一性质之

15、后，KdV方程才引起了数学与物理学界的广泛关注。Camassa-Holm方程KdV方程作为水中重力波得一个简单模型，虽然其适用范围较广，但是它却无法模拟类似于stokes极大波这样的基本物理现象。正是由于弱非线性色散方程（如KdV方程）在模拟自然界中有悖于规则性现象的失败，才促使人们找到其它模型来描述非线性色散波。1967年J. M. Greene与Naghdi导出了一系列的水波方程来模拟薄区域中的流体，例如，沿海地区的内波等。Green-Naghdi方程具有Hamiltonian结构，并且Camassa与Holm在1993年通过使用渐近展开的方法得到了其在一维空间中的近似哈密尔顿函数，该函数

16、通过反散射方法可知是可积的。Camassa与Holm得到的强非线性色散方程：被称为Camassa-Holm方程（CH方程）。事实上，Camassa-Holm方程最早是由B. Fuchssteiner于1981年通过递归算子的方法得到的，但是他当时只是指出该方程是哈密尔顿可积的，既没有给出任何物理解释，也没有给出保谱算子。该方程直到Camassa与Holm的重新发现才又引起了人们的关注。KP方程KP方程是由前苏联物理学家Boris B. Kadomtsev与Vladimir I. Petviashvili与1970年发现的，它是KdV方程由一维空间x向二维空间(x, y)的自然推广，其具体的表达

17、式为在物理学中，KP方程被用来模拟具有弱非线性恢复力和频率色散的波长。当表面张力小于重力时，取方程中的;当表面张力小于重力时，取。另外，KP方程还可以用来模拟波在磁铁介质中的传播。sine-Gordon方程sine-Gordon方程是包含dAlembert算子、正弦函数在内的（1+1）一维空间上的非线性双曲方程，它最早起源于十九世纪人们对Gauss曲率的伪球面研究。在空间-时间坐标系内，sine-Gordon方程可以表示为若引入光锥坐标则sine-Gordon方程可以转化为事实上，sine-Gordon方程是基于物理学中著名的Klein-Gordon方程命名的。由于被证明具有孤立子解，sine

18、-Gordon方程在二十世纪七八十年代受到了广泛的关注。Toda lattice方程作为离散系统中最著名的孤立子方程之一，Toda lattice方程是根据它的发现者Morikazu Toda命名的。早在二十世纪五十年代，著名的物理学家Fermi、Pasta和Ulam做了一个有趣的实验，他们将64个完全相同的质点用弹细线等距地连接成一条非线性振动的弦。初始时使这些振子的所有能量都集中在一个质点上，而其余质点的能量为0.此后在非线性弹性力的作用下，这组质点逐渐在自己的平衡位置附近振动。按照经典的理论，经过一段时间之后，能量应该均分至每一个质点。但是实际观察的结果却发现，能量并未均分而是恢复到原始

19、分布的状态，这就是著名的FPU问题。直到1967年，物理学家Toda在研究晶格点阵的原子位错运动时求得位移的多股子解才使FPU问题获得圆满的解决。若设表示第n个质点相对于其平衡位置的位移，表示第n个质点的动量，则Toda lattice方程可以表示为第 三 章 代 数 几 何 解 求解非线性偏微分方程一直是非线性科学的重要内容之一，在自然科学、物理学、工程应用中都具有重要的意义。但是由于非线性方程的复杂性导致总是找不到有效地求解方法。孤立子的兴起，给求解非线性偏微分方程带来了新的活力。在孤立子理论中，蕴含了一系列行之有效的构造孤立子方程显示解的方法。Bcklund与Darboux变换法形成于十

20、九世纪的Bcklund变换法最早是被用来构造与研究伪球面的。1883年瑞典几何学家Bcklund在研究Gauss曲率为负常值的曲线时，发现了sine-Gordon方程一个很有趣的性质：若u是sine-Gordon方程的解，则通过如下变换：可以得到sine-Gordon方程的另一个新解，我们称该变换为Bcklund变换。一般来说，若一个变换可以将偏微分方程的解u变换为另一个偏微分方程的解v，则称该变换为Bcklund变换。特别地，当时，称该变换为它Bcklund变换；当时，称该变换为自Bcklund变换，又称为Darboux变换，或Bcklund变换的Darboux方法。Darboux变换是构造

21、非线性方程显示解的十分有效的方法之一。1882年，G. Darboux在研究一维Schrdinger方程的特征值问题时发现并提出了最原始的Darboux变换。Darboux变换法只需做一次完全可积的线性方程组的求解，然后就可以只用代数运算得到非线性方程的新解。寻找一种规范变换使得相应的Lax对保持不变是构造Darboux变换的关键，在这方面已经发展出了很多技巧并且在各种类型的方程求解中都得到了广泛应用。伴随着孤立子理论的发展，Darboux变换也越来越受到人们的重视。反散射法 1967年，C. S. Gardner、J. M. Greene、M. D. Kruskal和R. M. Miura(

22、GGKM)在研究KdV方程时，利用Schrdinger方程的反散射论证将KdV方程的初值问题转化为三个求解线性方程的问题，得到了N孤子解，这种方法被称为反散射法。1968年，Lax整理提出了反散射方法的一般框架，并指出用反散射方法的前提是找到方程的Lax表示（Lax对）。1972年，Zakharov和Shabat运用Lax的思想，用反散射法求解了非线性Schrdinger方程，首次证明了反散射法的一般性。双线性法 1971年，Hirota引进了一种直接的代数方法来构造微分方程的多孤子解和Bcklund变换，称为双线性法。求解过程为：引入因变量的变换，将原方程改为双线性形式，采用级数扰动展开法，

23、求出方程的单孤子解、双孤子解和三孤子解，最后猜测N孤子解的表达式，并用数学归纳法证明。双线性法以双线性微分算子为工具，不涉及到方程的线性问题，仅与求解方程有关，简单直接。穿衣方法 1974年，Zakharov和Shabat提出了穿衣方法。这种方法构造了可积非线性演化方程还求出了相对应的Lax对，并且进一步给出求解公式。它从一个积分算子F和两个Volterra算子出发，由算子三角因式分解关系式得到GLM方程，再由穿衣关系将已知可交换的常系数微分算子（，）转变为另一不同的可交换穿衣算子（，），由穿衣算子的形容性得到可积非线性演化方程。再利用初始算子（，）与算子F的交换性，F=0（k=1,2），球的

24、分核F，最后利用GLM方程求得微分算子的核，即求出所得的方程的解。这种方法已经广泛的应用于研究物理上有意义的一些重要方程，例如：KdV、KP、Sine-Gordon等方程。齐次平衡法 齐次平衡法本质上是求解非线性偏微分法成精确解的一种指导原则，可以提前判定非线性偏微分方程是否存在一定形式的精确解，它可以看成Cole-Hopf变换的一般化和扩展。求解过程为：分析非线性数学物理方程的非线性特点、色散和耗散因素的阶数，按最高阶数可平衡确定非线性方程解（含待定函数）具有的一般形式或非线性变换的一般形式，然后带回原方程，合并待定函数激起偏导数的其次部分，使其平衡，从而得到易于求解的待定函数的齐次偏微分方

25、程组。代数几何解 KdV方程的有限带势解在上世纪70年代中期开始引起人们的研究兴趣，这种解也别被为代数几何解。代数几何解可以被当做是经典孤立子解或者有理数解的自然推广，也可以被用来近似更加一般的解，所以代数几何解的研究引起了人们的极大的兴趣。 代数几何知识的一个基本应用就是用于求解可积的非线性发展方程。关于孤立子方程代数几何解的研究，最早是在1974年至1975年，起源于孤立子方程具有周期初值的Cauchy问题的求解。具有周期势函数u(x)的Schrdinger算子是由一系列区间E,E，k=0,1，构成，具有区域状的谱分布。若k是有限数，那对应的势函数就是有限带势函数。 Marchenko、N

26、ovikov以及Lax等人从有限带势函数的角度出发，对KdV方程做了研究，他们发现所有的有限带势函数u(x)都是某个高次稳态KdV方程的解。Dubrovin、Matveev和Its等人对有限带势函数的求解问题化为了某个二层紧致Riemann面上的Jacobi反演问题，并对这个Jacobi问题进行了精确求解，从而得到了u(x)的用Riemann-theta函数表示的精确表达式u(x)=2ln(Vx+D)=c,(p)=exp+,pC.若取D=D(0)+Wt，则u(x,t)就是KdV方程的解。这样的解被称为KdV方程的代数几何解。 由Dubrovin、Its、Matveev和Lax等人所开创的求解孤

27、立子方程的代数几何法很快就被应用于sine-Gordon方程、NLS方程、Kaup-Boussinesq方程等孤立子方程的求解。但是这类解依赖于紧致Riemann面这个参数，这使得人们很难对代数几何解的特性进行进一步研究，同时也限制了代数几何解在实际中的应用。Bobenko等通过数值计算的方法对代数几何解进行了研究。Gesztesy和Ratnaseelan等提出了一种通过代数的途径构造代数几何解的方法。1988年，曹策问教授最先提出了Lax对的非线性化方法。接着周汝光教授、乔志军教授、耿献国教授等进一步加强了这种方法，提出了通过Lax对非线性化或者分离变量法来构造孤立子方程代数几何解的方法。该

28、求解方法的一般过程为：通过Lax对的非线性化或者分离变量的方法把孤立子方程族分解为相容的常微分方程或相容的常微分方程和离散流的演化。通过特征函数所满足Lax方程的解矩阵，合适的引入椭圆变量，由此给出孤立子方程与相容的常微分方程之间的直接的关系。应用代数曲线和Riemann面的理论，给出构造Abel-Jacobi坐标和拉直各种流（连续流和离散流）的方法。最后利用Riemann-Jacobi反演的方法生成由theta函数给出的显示解。这种方法借助黎曼曲面知识，讨论了孤立子方程的相容分解和在黎曼曲面上的线性约化（拉直）问题，揭示了无穷维线性动力系统在黎曼曲面上的潜在线性行为。该方法可以使大量的新的有

29、限维可积系统可以从已知的1+1维孤子族中获得并继承孤立子方程本身的性质，还可以用于求解1+1维孤立子方程，借助空间和时间变量分离，将1+1维孤立子方程的解（周期解、拟周期解等）化为两个相容的有限可积方程的解，因此这种方法也被称为非线性偏微分方程的变量分离，这种方法也被推广到线性系统。之后给出来各种类似的拓展，例如：约束高阶对称，约束流方法，高阶特征值问题的非线性化等。Lax矩阵的有限阶展开法是构造过离子方程拟周期解的另一强有力工具。该方法先由已知的（连续或者离散）谱问题和及其辅谱问题出发，利用Lenard算子对构造递推序列，进而构造出形影的向量场（流）和非线性演化方程族。对于连续的情况，特征值

30、问题非线性化可以得到有限维可积系统；对于离散的情况，则得到有限维可积系统和一个科技的辛映射。（可积性指2N维Hamilton系统下的Liouville可积，即要找到N个两两对合的独立的守恒积分）。引入椭圆坐标和拟Abel-Jacobi坐标，借助母函数流的方法证明了可积性。然后引入黎曼面上的Abel-Jacobi坐标，直化离散流和连续流，最后再借助黎曼定理和Abel-Jacobi反演法，得到孤立子方程在原始坐标下的代数几何解。值得一提的是在利用代数几何法求解某些孤立子方程的解时，其Abel-Jacobi坐标相应的时间流下的拉直必须在一定的限制条件下才能完成，这导致我们不能构造出方程的所有解，但是

31、那些不能用theta函数形式表示的方程的解到底是不是代数几何解还有待定论。下面我们以Dirac方程为例，以解释其具体的求解程序。 考虑Dirac谱问题=U=. 为了导出Dirac方程族，引入Lenard递推序列,其中可以由递推关系式唯一确定。通过计算可以得到,构造谱问题的辅助谱问题其中我们可以得到如下Dirac方程族该方程首个非线性Dirac方程利用分离变量，将非线性Dirac方程分解为两组相容的常微分方程组 其中.引入超椭圆Riemann面它有N个亏格。每个对应上不同层面的两个点和。任选一个固定点，引入Abel-Jacobi坐标如下其中则我们可以得到上的一个Abel映射定义为 上的Riema

32、nn-theta函数定义如下：其中根据Riemann定理，一定存在两个常向量使得在处有N个零点，而在处有N个零点。为了使函数取单值，积分是一个与无关的常数，其中根据留数定理得.则当k=1时我们有当k=2时我们就可以得到非线性Dirac方程的代数几何解如下：其中是两个常数。 随着代数几何法在求解孤立子方程精确解方面的广泛应用，其取得的成就是有目共睹的。但是随着大量成功构造孤立子方程的代数几何解，代数几何法的弊端也慢慢显露出来，这种方法过于依赖黎曼定理。受到黎曼定理的限制，代数几何法只能构造出严格符合黎曼定理条件的孤立子方程的代数几何解，例如：椭圆坐标的个数与代数曲线的亏格必须完全一致；并且该方法

33、也只能用于构造出与22矩阵谱问题相关联的非线性演化方程族的解，而对于33或者更高阶的矩阵谱问题却只能束手无策。这对于高阶矩阵谱问题这一广阔的领域而言是一个莫大的遗憾。但是随着对代数几何解的跟深入的研究，一种新的基于现有的代数几何法的方法应运而生。该方法对于孤立子方程相应的谱问题与辅谱问题的处理以及椭圆坐标和Abel-Jacobi坐标的引入与代数几何法基本一致，但却通过在超椭圆曲线上引入的亚纯函数和Baker-Akhiezer向量的代数几何特征与它们在无穷远点处的渐近性质，突破黎曼定理的限制，构造出了孤立子方程黎曼theta函数形式的代数几何解，用于构造33或者更高阶矩阵谱问题所对应的孤立子方程

34、族的代数几何解的准备工作。致 谢此篇论文得以顺利完成，我要特别感谢我的指导老师薛老师的热情关怀和悉心指导.在我撰写论文的过程中，薛老师倾注了大量的心血和汗水，无论是在论文的选题、构思和资料的收集方面，还是在论文的研究方法以及成文定稿方面，我都得到了薛老师悉心细致的教诲和无私的帮助，特别是他广博的学识、深厚的学术素养、严谨的治学精神和一丝不苟的工作作风使我终生受益，他循循善诱的教导和不拘一格的思路给予我无尽的启迪.在此我向他表示我诚挚的谢意。还要感谢大学四年来给我极大关心和支持的各位老师，他们不仅教给了我许多专业知识，更重要的是教给了我分析、解决问题的方法。 同时，也要感谢关心和帮助过我的室友和

35、同学们，在写论文时，他们给了我很多帮助。总之，此次论文的写作过程，我收获了很多，既为大学四年划上了一个完美的句号，也为将来的人生之路做好了一个很好的铺垫。 最后，向评审论文的各位老师致以深深的敬意和衷心的感谢。参考文献1 J. S. Russell, Report of the committee on waves, Report of the 7th Meeting of British Association for the Advancement of Science, Liverpool (1838) 417.2 D. J. Korteweg and G. de Vries, On t

36、he change of form of long waves advancing in a rectangular canal, an on a new type of long stationary wave, Philos. Mag. Ser. 39 (1895) 422.3 N. J. Zabusky and M. D. Kruskal. Interaction of solitons in a collisionless plasma and the recurrence of initial status, Phys. Rev. Lett. 15 (1965) 240.4 C. S

37、. Gardner, J. M. Greene, M. D. Kruskal and R. M. Miura; Method for solving the Korteweg-de Vries equation, Phys. Rev. Lett. 19 (1967) 1095.5 M. J. Ablowitz and H. Segur, Solitons and the inverse scattering transform (PA:SIAM, Philadelphia, 1981).6 R. Beals and R. R. Coifman, Inverse scattering and e

38、volution equations, Commun.Pure Appl. Math. 38 (1985) 29.7 H. Flaschka, On the Toda lattice II. Inverse scattering solutions, Progr. Theo. Phys.51 (1974) 703.8 B. B. Kadomtsev and V. 1. Petviashvili, On the stability of solitary waves in weakly dispersive media, Sov. Phys.Dokl. 15 (1970) 539.9 V. E. Zakharov and A. B. Shabat, A scheme for integrating the nonlinear equations of mathematical physics by the method of the inverse scattering problem., Funct. Anal. Appl. 8 (1974) 226.10 V. B. M