函数的极值与最值题教师

1、例.已知函数，求的极值。解：由题意得 令，解得，变化时，、的变化情况如下表：0200极大值极小值所以的极大值为，极小值为变式.已知函数，求的极值。解：由题意得 令，解得，变化时，、的变化情况如下表：000极大值极小值所以的极大值为，极小值为。变式.已知函数，求的极值。解：由题意得 令，解得，若，当或时，,单调递增；当,单调递减。所以极大值为，极小值为。若，在单调递增，所以既无极大值，也无极小值。若，当或时，,单调递增；当,单调递减。所以极小值为，极大值为。变式.已知函数，求在的最值。解：由题意得 令，解得，变化时，、的变化情况如下表：0200极大值0极小值又，在的最小值为，最大值为。变式.已知

2、函数，若在处取得极大值，求实数的值。解：在处取得极大值或当时，当或时，单调递增；当时，,单调递减。所以在处取得极小值，于是不合题意，应舍去。当时，当或时，,单调递减；当时，单调递增。所以在处取得极大值，于是符合题意。综上，实数的值是。例.已知函数(1)若，求的极值；(2)若,求在上的最大值；(3)若在上的最小值为，求的值.(4)若在上恒成立，求的取值范围.解：(1)当时，则的定义域为,令得,当时,单调递减；当时,的极小值为,无极大值。(2) 当时，则的定义域为,，于是，当在上变化时，的变化情况如下表：极小值由上表可得，当时函数取得最大值.(3) ，若,则即在上恒成立，此时在上是增函数 (舍去)

3、若,则即在上恒成立，此时在上是减函数 (舍去)若,令，得当时，在上为增函数当时，在上为减函数综上，的值是() 又令，则在上是减函数 即在上也是减函数,当时,在上恒成立.例已知函数() 求函数的单调区间； () 当时，求函数在上的最值.()当时，求函数在上的最小值.()若函数有两个零点，求实数的取值范围；解：()函数的定义域是，当时， 故函数增函数，即函数的单调增区间为 当时，令，可得,当时，；当时，故函数的单调递增区间为,单调减区间是. ()当时，令解得当时，；当时，故在时取得极大值，也是最大值，故在时取得最小值，()当,即时,函数在区间1,2上是减函数,的最小值是. 当，即时，函数在区间1,

4、2上是增函数，的最小值是.当，即时，函数在上是增函数，在是减函数又，当时,最小值是；当时,最小值为.综上可知,当时, 函数的最小值是；当时，函数的最小值是.()由（1）知时，在单调递增，当时，；当时，；所以只有一个零点，不合题意。当时，在单调递增在单调递减，所以当时，当时，；当时，；所以要使函数有两个零点。只需即解得所以时，有两个零点。例已知函数.()若曲线在和处的切线互相平行，求的值；()求的单调区间；()设，若对任意，均存在，使得，求的取值范围.解：. （），解得.（）. 当时， 在区间上，；在区间上，故的单调递增区间是，单调递减区间是. 当时， 在区间和上，；在区间上，故的单调递增区间是

5、和，单调递减区间是. 当时， 故的单调递增区间是. 当时， 在区间和上，；在区间上，故的单调递增区间是和，单调递减区间是. （）由已知，在上有由已知，由（）可知，当时，在上单调递增，故，所以，解得，故. 当时，在上单调递增，在上单调递减，故.由可知，所以， 综上所述，. 例已知函数（1）求函数的单调递增区间；（2）若对任意，函数在上都有三个零点，求实数的取值范围解：（1）因为，所以当时，函数没有单调递增区间；当时，令，得故的单调递增区间为；当时，令，得故的单调递增区间为（2）由（1）知，时，的单调递增区间为，单调递减区间为和所以函数在处取得极小值，函数在处取得极大值由于对任意，函数在上都有三个零点，所以即解得因为对任意，恒成立，所以所以实数的取值范围是例（2009陕西卷文）已知函数求的单调区间； 若在处取得极值，直线与的图象有三个不同的交点，求的取值范围。解：（1）当时，对，有当时，的单调增区间为当时，由解得或；由解得，当时，的单调增区间为；的单调减区间为。