高中数学-2-双曲线的参数方程课件-新人教版选修4-4教学内容

1、高中数学高中数学-2-双曲线的参数方双曲线的参数方程课件程课件-新人教版选修新人教版选修4-4 双曲线的参数方程双曲线的参数方程 baoxy)MBABAsec()tanxayb为参数2a222xy-=1(a0,b0)的参数方程为：b3 ,2 )22o通 常 规 定且，。 双曲线的参数方程可以由方程双曲线的参数方程可以由方程 与三角恒等式与三角恒等式22221xyab22sec1tan 相比较而得到，所以双曲线的参数方程相比较而得到，所以双曲线的参数方程 的实质是三角代换的实质是三角代换.说明：说明： 这里参数这里参数 叫做双曲线的离心角与直线叫做双曲线的离心角与直线OM的倾斜角不同的倾斜角不同

2、.例例2、2222100 xyMabOabMABMAOB(,) 如如图图，设设为为双双曲曲线线任任意意一一点点，为为原原点点，过过点点作作双双曲曲线线两两渐渐近近线线的的平平行行线线，分分别别与与两两渐渐近近线线交交于于 ，两两点点。探探求求平平行行四四边边形形的的面面积积，由由此此可可以以发发现现什什么么结结论论？OBMAxy.byxa 双曲线的渐近线方程为：解：解：tan(sec ).MbybxaaA 不妨设M为双曲线右支上一点，其坐标为,则直线的方程为（asec ,btan ）： b将y=x代入，解得点A的横坐标为aAax = （sectan ）2.Bax = （se同理可得，点B的横坐

3、cta2标n为）.ba设 AOx= ,则tan.MAOB所以的面积为MAOBS=|OA|OB|sin2 =ABxxsin2coscos2222a (sec-tan)=sin24costan.2baba22aa=22MAOB由此可见，平行四边形的面积恒为定值，与点M在双曲线上的位置无关。复习：已学圆锥曲线的参数方程复习：已学圆锥曲线的参数方程1、椭圆的参数方程2、双曲线的参数方程2222cos1(0,2 )sinxaxyybab 椭圆为参数,)222230,2 )sec1(,2t2anxaxyybab 双曲线为参数且)注意:探究探究P21 如图，一架救援飞机在离灾区地面如图，一架救援飞机在离灾区

4、地面500m高处以高处以100m/s的速度的速度作水平直线飞行。为使投放救援物资准确落于灾区指定的地面作水平直线飞行。为使投放救援物资准确落于灾区指定的地面（不记空气阻力），飞行员应如何确定投放时机呢？（不记空气阻力），飞行员应如何确定投放时机呢？xy500o物资投出机舱后，它的运动由下列两种运动合成：物资投出机舱后，它的运动由下列两种运动合成：（1）沿）沿ox作初速为作初速为100m/x的匀速直线运动；的匀速直线运动；（2）沿）沿oy反方向作自由落体运动。反方向作自由落体运动。txy解：物资出舱后，设在时刻 ，水平位移为 ， 垂直高度为 ，所以2100 ,)1500.2xtygt2（g=9.

5、8m/s思考：思考： 对于一般的抛物线，怎样对于一般的抛物线，怎样建立相应的参数方程呢？建立相应的参数方程呢？oyx)HM(x，y)M设 （x,y）为抛物线上除顶点外的任意一点，以射线OM为终边的角记作 。tan.M因为点 （x,y）在 的终边上，y根据三角函数定义可得x.2又y =2px,().y22px=tan解出x,y得到抛物线（不包括顶点）的参数方程：为参数2ptan1如果设t=,t (- ,0) (0,+ ),则有tan,().ty2x=2pt为参数2pt0t 当时，参数方程表示的点正好就是抛物线的顶点（0，0）。,().ttRy2x=2pt所以，为参数，表示整条抛物线。2pt思考：

6、思考：参数参数t的几何意义是什么？的几何意义是什么？。表示焦点到准线的距离其中设抛物线的普通方程为ppxy,22抛物线的参数方程抛物线的参数方程oyx)HM(x，y)2抛物线y =2px(p0)的参数方程为:1其中参数t=，几何意义为：tan,().ttRy2x=2pt为参数，2pt抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数。思考：思考：P33 怎样根据抛物线的定义选取参数，建立抛物线怎样根据抛物线的定义选取参数，建立抛物线x2=2py(p0)的的参数方程？参数方程？.x即P(x,y)为抛物线上任意一点,则有t=y20p 推导抛物线x =2py的参数方程：,M x y设是抛物线上除顶点外

7、的任意一点， Mox=2tanyx则x =2py22tan2tanxpyp得tant令222xpttypt则为参数oyxHM(x，y)t的几何意义为：抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率。.y即P(x,y)为抛物线上任意一点,则有t=x21.y =2px(p0)的参数方程为,().ttRy2x=2pt为参数，2pt2y =-2px(p0)的参数方程为:,().ttRy2x=-2pt为参数，2pt20p 2.x =2py的参数方程：222xpttypt为参数,tR20px =-2py的参数方程：222xpttypt 为参数,tR结论推广结论推广21.(3,)4(),()4 .2.3 .4.

8、5PmFxttPFytABCD 例 若点在以点 为焦点的抛物线为参数 上 则等于 C22()2 .0.1 .2.3xttytABCD 关于曲线为参数 下列说法正确的个数是 ( )1.是焦点在x轴上的抛物线;2.开口向上的抛物线;3.是焦点到准线距离为2的抛物线. 巩固练习巩固练习A2OABy例2：如图， 是直角坐标原点， ， 是抛物线=2px(p0)上异于顶点的两动点，且OAOB，OMAB并与AB相交于点M，求点M的轨迹方程。,0 .2112221212解：根据条件，设M（x,y）,A(2pt ,2pt ),B(2pt ,2pt )(tt 且t t）OBMAxyOMOAOBAB 2112222

9、22121则=（x,y）， =(2pt ,2pt ),=(2pt ,2pt )， =(2p(t -t ),2p(t -t ).,OAOB ,OMAB (0)yxx12即t +t。AMMBA M B 221122因为=（x-2pt ,y-2pt）， =（2pt -x,2pt -y）,且 ， ， 三点共线，221212（x-2pt )(2pt -y）=(y-2pt )(2pt -x)，121 2化简，得y(t +t )-2pt t -x=0.yy(-)+2p-x=0,x220(0)ypxxM2即x，这就是点的轨迹方程。1 221 21 21 2即(2pt t ) +（2p） t t =0, t t

10、。0,OA OB ()0 xy22 2212112即2px(t -t ) +2py(t -t )=0,t +t。0,OM AB 3,?A BAOB探究：在例 中，点在什么位置时，的面积最小？最小值是多少22211(2)(2)OAptpt22222(2)(2)OBptpt2221222ptt2221 2122(1) (1)AOBSp t ttt22122()4ptt24p122,4.ttA BxAOBp 当且仅当，即当点关于 轴对称时，的面积最小，最小值为OBMAxy,30 .AB2211221212解：， 的坐标分别为(2pt ,2pt ),(2pt ,2pt )(tt 且t t例 可得）由21121p tt22221p tt1 1 2t t2121212121212122()2, , 11 xpttyptMMt tM MAttBttCDtttt2、若曲线为参数 上异于原点的不同两点，所对应的参数分别是则弦所在直线的斜率是、( )C12121222111222,(2,2),(2,2)M MttMMMptptMptpt解：由于两点对应的参数方程分别是 和 ，则可得点和的坐标分别为112222121222122M Mptptkptpttt21.y =2px(p0)的参数方程为,().ttRy2x=2pt为参数，2pt2y =-2px(p0)