高等数学：第六章 微分方程（2）

1、第五节第五节: : 二阶常系数齐二阶常系数齐 次线性微分方程次线性微分方程1.1.定义定义2.2.二阶常系数线性齐次方程的解法二阶常系数线性齐次方程的解法3.3.小结小结, ,思考题思考题一、定义一、定义0 qyypy二阶常系数齐次线性方程的标准形式二阶常系数齐次线性方程的标准形式二、二阶常系数齐次线性方程解法二、二阶常系数齐次线性方程解法-特征方程法特征方程法,rxey 设设将其代入上方程将其代入上方程, 得得0)(2 rxeqprr, 0 rxe故有故有02 qprr特征方程特征方程,2422,1qppr 特征根特征根0 qyypy (i): (i):有两个不相等的实根有两个不相等的实根,

2、2421qppr ,2422qppr ,11xrey ,22xrey 两个线性无关的特解两个线性无关的特解得齐次方程的通解为得齐次方程的通解为;2121xrxreCeCy )0( 特征根为特征根为(ii):(ii):有两个相等的实根有两个相等的实根,11xrey ,221prr )0( 一特解为一特解为得齐次方程的通解为得齐次方程的通解为;)(121xrexCCy 代入原方程并化简，代入原方程并化简，将将222yyy , 0)()2(1211 uqprrupru, 0 u知知,)(xxu 取取,12xrxey 则则,)(12xrexuy 设设另另一一特特解解为为特征根为特征根为(iii) (i

3、ii) 有一对共轭复根有一对共轭复根, ir 1, ir 2,)(xiey 1,)(xiey 2)0( 重新组合，目的是消去虚部重新组合，目的是消去虚部)(21211yyy ,cos xex )(21221yyiy ,sin xex 得齐次方程的通解为得齐次方程的通解为).sincos(21xCxCeyx 特征根为特征根为定义定义 由常系数齐次线性方程的特征方程的根由常系数齐次线性方程的特征方程的根确定其通解的方法称为确定其通解的方法称为特征方程法特征方程法. .032的的通通解解求求方方程程 yyy解解特征方程为特征方程为,0322 rr解得解得1, 321 rr故所求通解为故所求通解为.2

4、31xxeCeCy 例例1 1.044的通解的通解求方程求方程 yyy解解特征方程为特征方程为,0442 rr解得解得,221 rr故所求通解为故所求通解为.)(221xexCCy 例例2 2.052的通解的通解求方程求方程 yyy解解特征方程为特征方程为,0522 rr解得解得, ir2121 ，故所求通解为故所求通解为).2sin2cos(21xCxCeyx 例例3 3三、小结三、小结:二阶常系数齐次微分方程求二阶常系数齐次微分方程求通解的一般步骤通解的一般步骤: :（1 1）写出相应的特征方程）写出相应的特征方程; ;（2 2）求出特征根）求出特征根; ;（3 3）根据特征根的不同情况）

5、根据特征根的不同情况, ,得到相得到相 应的通解应的通解. . ( (见下表见下表) )02 qprr0 qyypy 特征根的情况特征根的情况 通解的表达式通解的表达式实根实根21rr 实根实根21rr 复根复根 ir 2, 1xrxreCeCy2121 xrexCCy2)(21 )sincos(21xCxCeyx 第六节第六节: :二阶常系数非二阶常系数非 齐次线性微分方程齐次线性微分方程1.1.定义定义2.2.二阶常系数线性齐次方程的解法二阶常系数线性齐次方程的解法3.3.小结小结, ,思考题思考题一、定义一、定义)(xfqyypy 二阶常系数齐次线性方程的标准形式二阶常系数齐次线性方程的

6、标准形式)1(),( xfqyypy二阶常系数非齐次线性方程二阶常系数非齐次线性方程对应齐次方程对应齐次方程) 2(, 0 qyypy).(1),: .(1) ,(2),(1)Y:详详略略由由已已知知则则可可得得结结论论带带入入将将证证的的解解仍仍是是则则的的解解是是的的解解是是方方程程设设定定理理yYyyYyy 二、二阶线性非齐次微分方程的求解二、二阶线性非齐次微分方程的求解 二阶常系数非齐次线性方程二阶常系数非齐次线性方程通解结构通解结构, yYy 常见类型常见类型)(m),(阶阶多多项项式式xPm,)(xmexP ,cos)(xexPxm ,sin)(xexPxm 难点难点：如何求特解？

7、如何求特解？方法方法：待定系数法待定系数法.注注1:对于很多的方程是无法精确求解的对于很多的方程是无法精确求解的.注注2:本节将只针对非齐次项本节将只针对非齐次项f(x)为如下形式的方程求解为如下形式的方程求解.注注3:从方程的通解结构可以看出从方程的通解结构可以看出,其实只要求出一个其实只要求出一个 特解即可特解即可)()(xPexfmx A A、 型型此时对应方程为此时对应方程为)(xPeqyypymx 推测推测1. 先看左边的方程先看左边的方程,在齐次时在齐次时,求解中有一个指求解中有一个指数数 函数因子函数因子,-指数函数求导指数函数求导.设非齐方程特解为设非齐方程特解为xexQy )

8、( 代入原方程代入原方程)()()()()2()(2xPxQqpxQpxQm 不是特征方程的根，不是特征方程的根，若若 )1(, 02 qp ),()(xQxQm 可可设设是特征方程的单根，是特征方程的单根，若若 )2(, 02 qp , 02 p ),()(xxQxQm 可设可设;)(xmexQy ;)(xmexxQy 推测推测2. 下列方程右边是多项式下列方程右边是多项式, ,左边是未知函数及其一二阶导左边是未知函数及其一二阶导 数构成数构成, ,这里我们由多项式求导的性质推测测方程解的这里我们由多项式求导的性质推测测方程解的 表达式中也应当含有多项式因子表达式中也应当含有多项式因子. .

9、)()()()()2()(2xPxQqpxQpxQm 是特征方程的重根，是特征方程的重根，若若 )3(, 02 qp , 02 p ),()(2xQxxQm 可可设设综上讨论综上讨论() ,kxmyxeQx 设设 是重根是重根是单根是单根不是根不是根2,10k注注上述结论可推广到上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性阶常系数非齐次线性微分方程（微分方程（k是重根次数）是重根次数）.)(2xmexQxy 不是特征方程的根，不是特征方程的根，若若 )1(, 02 qp )? 2. ? 1.(),()(具具体体表表达达式式为为什什么么可可设设xQxQm 推测推测3. 通过以上讨论通过以上讨论, ,现在

10、还有一个问题要解决现在还有一个问题要解决, ,就是上面构造就是上面构造中所出现的中所出现的 到底怎么求呢到底怎么求呢? ?我们以下面这种形式来做我们以下面这种形式来做说明说明: : )()()()()2()(2xPxQqpxQpxQm )( xQm是是多多项项式式时时而而且且当当时时前前的的系系数数不不为为当当阶阶多多项项式式为为什什么么要要去去Q(x),0Q(x)?)(x)(mQQ(x)(i)m m-1m-1m1m0mbbxbxb(x)QQ(x) mQ(x),m,Q(x) x阶阶多多项项式式也也取取成成所所以以我我们们把把阶阶多多项项式式而而方方程程右右边边是是中中在在上上式式左左边边最最高

11、高阶阶应应该该含含?bbxbxb(x)QQ(x) (ii)m-1m-1m1m0m的的具具体体表表达达式式怎怎样样求求 x.,bbxbxb(x)QQ(x) .)(Pm-1m-1m1m0m则则可可两两边边比比较较同同次次幂幂的的系系数数入入到到此此式式中中带带我我们们把把是是一一个个已已知知的的多多项项式式上上式式右右边边 xxm)()()()()2()(2xPxQqpxQpxQm 33212102103032213033)bb2()b26()xb(3bxbbbxbxb(x)QQ(x) )()( )( Q:xbxbbxxxQxQx 带带入入到到上上式式中中我我们们可可以以设设例例如如., 0bb2

12、b26)b(3b1;b321210100分别求出即可分别求出即可 bbb特别地特别地xAeqyypy 是特征方程的重根是特征方程的重根是特征方程的单根是特征方程的单根不是特征方程的根不是特征方程的根 xxxexAxepAeqpAy222,2,.232的通解的通解求方程求方程xxeyyy 解解对应齐次方程通解对应齐次方程通解特征方程特征方程, 0232 rr特征根特征根，2121 rr,221xxeCeCY 是单根，是单根，2 ,)(2xeBAxxy 设设代入方程代入方程, 得得xABAx 22,121 BAxexxy2)121( 于是于是原方程通解为原方程通解为.)121(2221xxxexx

13、eCeCy 例例1 1型型sin)(cos)()(xxPxxPexfnlx sincos)(xPxPexfnlx 22ieePeePexixinxixilx xinlxinleiPPeiPP)()()22()22( ,)()()()(xixiexPexP ,)()(xiexPqyypy 设设,)(1ximkeQxy 利用欧拉公式利用欧拉公式B、,)()(xiexPqyypy 设设,)(2ximkeQxy ximximxkeQeQexy ,sin)(cos)()2()1(xxRxxRexmmxk 次次多多项项式式，是是其其中中mxRxRmm)(),()2()1( nlm,max ,10 是单根是

14、单根不是根不是根 iik注意注意上述结论可推广到上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性微分方程阶常系数非齐次线性微分方程.sin4的通解的通解求方程求方程xyy 解解对应齐方通解对应齐方通解,sincos21xCxCY 作辅助方程作辅助方程,4ixeyy ,是单根是单根i ,*ixAxey 故故代入上式代入上式, 42 Ai,2iA ,)cos2(sin22*ixxxxixeyix 所求非齐方程特解为所求非齐方程特解为,cos2xxy 原方程通解为原方程通解为.cos2sincos21xxxCxCy （取虚部）（取虚部）例例2 2* *.2cos的通解的通解求方程求方程xxyy 解解对应齐方通解

15、对应齐方通解,sincos21xCxCY 作辅助方程作辅助方程,2ixxeyy ,2 不不是是特特征征方方程程的的根根i ,)(2*ixeBAxy 设设代入辅助方程代入辅助方程 13034ABAi,9431iBA ，,)9431(2*ixeixy 例例3 3* *)2sin2)(cos9431(xixix 所求非齐方程特解为所求非齐方程特解为,2sin942cos31xxxy 原方程通解为原方程通解为.2sin942cos31sincos21xxxxCxCy ,)2sin312cos94(2sin942cos31ixxxxxx （取实部）（取实部）注意注意xAexAexx sin,cos.)(

16、的实部和虚部的实部和虚部分别是分别是xiAe 三、小结三、小结可可以以是是复复数数） (),()()1(xPexfmx );(xQexymxk ,sin)(cos)()()2(xxPxxPexfnlx ;sin)(cos)()2()1(xxRxxRexymmxk ( (待定系数法待定系数法) )只含上式一项解法只含上式一项解法：作辅助方程作辅助方程,求特解求特解, 取取特解的实部或虚部特解的实部或虚部, 得原非齐方程特解得原非齐方程特解.思考题思考题写出微分方程写出微分方程xexyyy228644 的待定特解的形式的待定特解的形式. 思考题解答思考题解答设设 的特解为的特解为2644xyyy

17、*1yxeyyy2844 设设 的特解为的特解为*2y*2y *1*yy 则所求特解为则所求特解为0442 rr特征根特征根22, 1 rCBxAxy 2*1xeDxy22*2 （重根）（重根）*2y *1*yy CBxAx 2.22xeDx 第六章第六章: 复习课复习课1 1、基本概念、基本概念微分方程微分方程凡含有未知函数的导数或微分凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程的方程叫微分方程微分方程的阶微分方程的阶微分方程中出现的未知函数微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数称为微分方程的阶的最高阶导数的阶数称为微分方程的阶微分方程的解微分方程的解代入微分方程能使方程成代入微分方程能使

18、方程成为恒等式的函数称为微分方程的解为恒等式的函数称为微分方程的解 通解通解如果如果微分方程的解中含有任意常数，并微分方程的解中含有任意常数，并且任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样且任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的解叫做微分方程的通解的解叫做微分方程的通解特解特解确定了通解中的任意常数以后得到的解，确定了通解中的任意常数以后得到的解，叫做微分方程的特解叫做微分方程的特解初始条件初始条件用来确定任意常数的条件用来确定任意常数的条件. .初值问题初值问题求微分方程满足初始条件的解的问求微分方程满足初始条件的解的问题，叫初值问题题，叫初值问题dxxfdyyg)()( 形如形如(1)

19、可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程解法解法 dxxfdyyg)()(分离变量法分离变量法2 2、一阶微分方程的解法、一阶微分方程的解法)()(xQyxPdxdy 形形如如(2)(2)一阶线性微分方程一阶线性微分方程: :, 0)( xQ当当上方程称为齐次的上方程称为齐次的上方程称为非齐次的上方程称为非齐次的., 0)( xQ当当齐次方程的通解为齐次方程的通解为.)( dxxPCey（使用分离变量法）（使用分离变量法）解法解法非齐次微分方程的通解为非齐次微分方程的通解为 dxxPdxxPeCdxexQy)()()(（常数变易法）（常数变易法）3 3、线性微分方程解的结构、线性微分方程解的结

20、构（1 1）二阶齐次方程解的结构）二阶齐次方程解的结构: :)1(0)()( yxQyxPy形形如如（2 2）二阶非齐次线性方程的解的结构）二阶非齐次线性方程的解的结构: :)2()()()(xfyxQyxPy 形形如如定理定理 3 3 设设*y是是)2(的一个特解的一个特解, , Y是与是与(2)(2)对应对应的齐次方程的齐次方程(1)(1)的通解的通解, , 那么那么*yYy 是二阶是二阶非齐次线性微分方程非齐次线性微分方程(2)(2)的通解的通解. .定理定理 4 4 设非齐次方程设非齐次方程(2)(2)的右端的右端)(xf是几个函是几个函数之和数之和, , 如如)()()()(21xf

21、xfyxQyxPy 而而*1y与与*2y分别是方程分别是方程, , )()()(1xfyxQyxPy )()()(2xfyxQyxPy 的特解的特解, , 那么那么*2*1yy 就是原方程的特解就是原方程的特解. .4 4、二阶常系数齐次线性方程解法、二阶常系数齐次线性方程解法0 qyypy二阶常系数齐次线性方程二阶常系数齐次线性方程)(xfqyypy 二阶常系数非齐次线性方程二阶常系数非齐次线性方程解法解法由常系数齐次线性方程的特征方程的根确由常系数齐次线性方程的特征方程的根确定其通解的方法称为定其通解的方法称为特征方程法特征方程法.02 qprr0 qyypy 特征根的情况特征根的情况 通

22、解的表达式通解的表达式实根实根21rr 实根实根21rr 复根复根 ir 2, 1xrxreCeCy2121 xrexCCy2)(21 )sincos(21xCxCeyx 特征方程为特征方程为5 5、二阶常系数非齐次线性微分方程解法、二阶常系数非齐次线性微分方程解法二阶常系数非齐次线性方程二阶常系数非齐次线性方程解法解法待定系数法待定系数法.( )ypyqyf x ()kxmyx eQx ,sin)(cos)()2()1(xxRxxRexymmxk 设设次次多多项项式式，是是其其中中mxRxRmm)(),()2()1( nlm,max .1;0是特征方程的单根时是特征方程的单根时不是特征方程的

23、根时不是特征方程的根时 iik(2)( )( )cos( )sinxlnf xeP xxP xx 型型微分方程解题思路微分方程解题思路一阶方程一阶方程二阶方程二阶方程分离变量法分离变量法常数变易法常数变易法特征方程法特征方程法待定系数法待定系数法. 1)1()1(,2 yyexeyyyxx求特解求特解例例1 1解解特征方程特征方程, 0122 rr特征根特征根, 121 rr对应的齐次方程的通解为对应的齐次方程的通解为.)(21xexCCY 设原方程的特解为设原方程的特解为,)(2*xebaxxy ,2)3()(23*xebxxbaaxy 则则,2)46()6()(23*xebxbaxbaax

24、y 二、典型例题二、典型例题代代入入原原方方程程比比较较系系数数得得将将)( ,)( ,* yyy,21,61 ba原方程的一个特解为原方程的一个特解为,2623*xxexexy 故原方程的通解为故原方程的通解为.26)(2321xxxexexexCCy , 1)1( y, 1)31(21 eCC,6)1()(3221xexxCCCy , 1)1( y, 1)652(21 eCC,31121 eCC,651221 eCC由由解得解得 ,121,61221eCeC所以原方程满足初始条件的特解为所以原方程满足初始条件的特解为.26)121(61223xxxexexexeey ).2cos(214x

25、xyy 求解方程求解方程例例2 2解解特征方程特征方程, 042 r特征根特征根,22,1ir 对应的齐方的通解为对应的齐方的通解为.2sin2cos21xCxCY 设原方程的特解为设原方程的特解为.*2*1*yyy ,)1(*1baxy 设设,)(*1ay 则则, 0)(*1 y，得，得代入代入xyy214 ，xbax2144 由由，04 b，214 a解得解得，0 b，81 a;81*1xy ),2sin2cos()2(*2xdxcxy 设设,2sin)2(2cos)2()(*2xcxdxdxcy 则则,2sin)44(2cos)44()(*2xdxcxcxdy ，得，得代入代入xyy2c

26、os214 故原方程的通解为故原方程的通解为.2sin81812sin2cos21xxxxCxCy ,2cos212sin42cos4xxcxd 由由，04 c，214 d即即，81 d，0 c;2sin81*2xxy .)(),(1)()(2此方程的通解此方程的通解（）（）的表达式；的表达式；（）（），试求：，试求：的齐次方程有一特解为的齐次方程有一特解为，对应，对应有一特解为有一特解为设设xfxpxxxfyxpy 例例3 3解解（）由题设可得：（）由题设可得： ),()1)(2, 02)(223xfxxpxxxp解此方程组，得解此方程组，得.3)(,1)(3xxfxxp （）原方程为（）原

27、方程为.313xyxy ，的两个线性无关的特解的两个线性无关的特解程程是原方程对应的齐次方是原方程对应的齐次方显见显见221, 1xyy 是原方程的一个特解，是原方程的一个特解，又又xy1* 由解的结构定理得方程的通解为由解的结构定理得方程的通解为.1221xxCCy 间间链条滑过钉子需多少时链条滑过钉子需多少时下垂米，试问整个下垂米，试问整个边边的一边下垂米，另一的一边下垂米，另一上，运动开始时，链条上，运动开始时，链条一无摩擦的钉子一无摩擦的钉子一质量均匀的链条挂在一质量均匀的链条挂在解解例例4 4* *oxm8m10,米米链条下滑了链条下滑了经过时间经过时间设链条的线密度为设链条的线密度

28、为xt 则由牛顿第二定律得则由牛顿第二定律得,)8()10(22gxgxdtxdm . 0)0(, 0)0(,99 xxgxgx即即解此方程得解此方程得, 1)(21)(3131 tgtgeetx, 8, x即即整整个个链链条条滑滑过过钉钉子子代入上式得代入上式得)().809ln(3秒秒 gt一個有趣又可爱的方法可以看到数学的神奇与内在美.数学数学之美之美Wonderful World1 x 8 + 1 = 912 x 8 + 2 = 98123 x 8 + 3 = 9871234 x 8 + 4 = 987612345 x 8 + 5 = 98765123456 x 8 + 6 = 987

29、6541234567 x 8 + 7 = 987654312345678 x 8 + 8 = 98765432123456789 x 8 + 9 = 9876543211 x 9 + 2 = 1112 x 9 + 3 = 111123 x 9 + 4 = 11111234 x 9 + 5 = 1111112345 x 9 + 6 = 111111123456 x 9 + 7 = 11111111234567 x 9 + 8 = 1111111112345678 x 9 + 9 = 111111111123456789 x 9 +10= 11111111119 x 9 + 7 = 8898 x 9 + 6 = 888987 x 9 + 5 = 88889876 x 9 +