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文档简介

1、函数的单调性教学背景(学情分析)学生在初中学习了一次函数、二次函数、反比例函数的基础上对函数的增减性有一个初步的感性认识,在此学习单调性是对函数概念的延续和拓展,对进一步探索、研究函数的其它性质有着示范性的作用,又是后续研究指数函数、对数函数等内容的基础。单调性起着承上启下的作用,一方面,是初中学习内容的深化,使学生对函数单调性从感性认识提高到理性认识。另一方面,函数的单调性为后面学习指数函数、对数函数、三角函数及数列这种特殊的函数打下基础,与不等式、求函数的值域、最值,导数等都有着紧密的联系。通过初中对函数的学习,学生已具备了一定的观察事物能力,抽象归纳的能力和语言转换能力。在此学习单调性,

2、有助于学生从感性思维到理性思维的过渡。 3.教学目标(含重、难点)知识与技能:(1)从形与数两方面理解单调性的概念(2)绝大多数学生初步学会利用函数图象和单调性定义判断、证明函数单调性的方法过程与方法:(1)通过对函数单调性定义的探究,提高观察、归纳、抽象的能力和语言表达能力;通过对函数单调性的证明,提高推理论证能力(2)通过对函数单调性定义的探究,体验数形结合思想方法(3)经历观察发现、抽象概括,自主建构单调性概念的过程,体会从具体到抽象,从特殊到一般,从感性到理性的认知过程情感态度价值观:通过知识的探究过程养成细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维习惯;感受用辩证的观点思考问题教

3、学重点:函数单调性的概念形成和初步运用教学难点:函数单调性的概念形成4、教学流程示意5.教学过程环节教师活动学生活动设计意图创设情境 引入新课 6分钟 问题1:分别作出函数y=2x,y=-2x和y=x2+1的图象,并且观察函数变化规律? 描述完前两个图象后,明确这两种变化规律分别称为增函数和减函数。  二次函数的增减性要分段说明提出问题:二次函数是增函数还是减函数? 问题二:能否用自己的理解说说什么是增函数,什么是减函数? 观察图象,利用初中的函数增减性质进行描述学生会指出:y=2x的图象自变量x在实数集变化时,y

4、随x增大而增大   y=-2x的图象自变量x在实数集变化时,y随x增大而减小    y=x2+1在(-,0上y随x增大而减小,在(0,+)上y随x增大而增大 学生可能回答:既是增函数又是减函数或有时增函数有时减函数讨论得出:单调性是函数的局部性质 结合单调性是局部性质,用直观描述回答:在一个区间里,y随x增大而增大,则是增函数;y随x增大而减小就是减函数  数学课程标准中提出“通过已学过的函数特别是二次函数理解函数的单调性”,因此在本环节的设计上,从学生熟知的一次函数和二次函数入手,从

5、初中对函数增减性的认识过渡到对函数单调性的直观感受。    通过一次函数认识单调性,再通过二次函数认识单调性是局部性质,进而完善感性认识。 环节教师活动学生活动设计意图初步探索 概念形成 8分钟问题三:(以y=x2+1在 (0,+)上单调性为例)如何用精确的数学语言来描述函数的单调性? 分三步:提问学生什么是“随着”如何刻画“增大”? 对“任取”的理解  进而得到增(减)函数的定义 进一步提问:如何判断f(x1)<f(x2)得到求差法后提出记x= x2-x1y= f(x

6、2)-f(x1)= y2-y1学生交流、提出见解,提出质疑,相互补充 回归函数定义解释 要表示大小关系,学生会想到取点,比大小 讨论应该如何取值。学生可能会提到多取一些,也可能会想到将取值区间任意小,进一步讨论得出“任取”二字。通过启发式提问,实现学生从“图形语言”到 “文字语言”到 “符号语言”认识函数的单调性,实现“形”到“数”的转换。另外,在此强调“任意性”的理解,从而达到突破难点,突出重点的目的。 在此还提出求差法比较大小,为后面的证明和判断扫清障碍概念深化 延伸拓展 12分钟问题四:能否说f(x)=在它的定义域上是减函数?&

7、#160;从这个例子能得到什么结论? 给出例子进行说明:   进一步提问:函数在定义域内的两个区间A,B上都是增(减)函数,何时函数在AB上也是增(减)函数 再一次回归定义,强调任意性 思考、讨论,提出自己观点学生提出反例,如x1=-1,x2=1 进一步得出结论:函数在定义域内的两个区间A,B上都是增(减)函数,函数在AB上不一定是增(减)函数 将函数图象进行变形(如x<0时图象向下平移)  通过上面的问题,学生已经从描述性语言过渡到严谨的数学语言。而对严谨的数学语言学生还缺乏准确理解,因

8、此在这里通过问题深入研讨加深学生对单调性概念的理解。  环节教师活动学生活动设计意图  拓展探究:已知函数是 (-,+)上的增函数,求a的取值范围 利用单调性定义解决问题  在问题四的背景下解决本题,体会在运动中满足任意性。 证法探究 应用定义 13分钟  例1:证明函数在(0,+)上是增函数证明:任取且    函数在(0,+)上是增函数 例2:判断函数在(0,+)上的单调性 进一步提问:如果把(0,+)条件去掉,如

9、何解这道题?(作业) 根据单调性定义进行证明讨论,规范步骤  设元 作差  变形  断号  定论    根据定义进行判断体会判断可转化成证明 课后思考 本环节是对函数单调性概念的准确应用,本题采用前面出现过的函数,一方面希望学生体会到函数图象和数学语言从不同角度刻画概念,另一方面避免学生遇到障碍,而是把注意力都集中在单调性定义的应用上。 课标中指出“形式化是数学的基本特征之一,但不能仅限于形式化的表达。高中课程强调返璞归真”因

10、此本题不再从证明角度,而是让学生再次从定义出发,寻求方法,并体会转化思想。小结评价作业创新6分从知识、方法两个方面引导学生进行总结. 作业(1、2、4必做,3选做)1、  证明:函数在区间0,+)上是增函数。2、课上思考题3、求函数的单调区间4、思考P46 探索与研究  回顾函数单调性定义的探究过程;证明、判断函数单调性的方法步骤;数学思想方法 完成课堂反馈  使学生对单调性概念的发生与发展过程有清晰的认识,体会到数学概念形成的主要三个阶段:直观感受、文字描述和严格定义 作业实现分层,满足学生需求6.学习效果评价设

11、计学习效果预测:    在本节课学习中,学生能理解单调性的定义,绝大多数学生能按照单调性的证明步骤进行证明,能判断函数的单调性 学习效果评价方式:1、  课堂反馈:证明:函数在(0,+)上是减函数2、  教师评价:课堂发言反映的思维深度;课堂发现问题的角度、能力;课堂练习的正确性;课堂学习的积极性3、  学生自评:本节课学习兴趣;独立思考的习惯;合作交流的意识;对知识、方法等收获的程度7.本教学设计与以往或其他教学设计相比的特点(300-500字数)1、在情境设置中,严格按照课标要求以二次函数y=x2+1为例,经历画图、描述图象、找单调区间、形成单调性定义、证明其单调性的过程,将学生对单调性的认识从感性上升到理性,并将定义进行应用。2、在教学过程中,创设一个探索的学习环境,通过设计一系列问题,使概念得到形成和深化,学生亲身经历数学概念的产生与发展过程

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