函数的单调性

1、函数的单调性教学背景（学情分析）学生在初中学习了一次函数、二次函数、反比例函数的基础上对函数的增减性有一个初步的感性认识，在此学习单调性是对函数概念的延续和拓展，对进一步探索、研究函数的其它性质有着示范性的作用，又是后续研究指数函数、对数函数等内容的基础。单调性起着承上启下的作用，一方面，是初中学习内容的深化，使学生对函数单调性从感性认识提高到理性认识。另一方面，函数的单调性为后面学习指数函数、对数函数、三角函数及数列这种特殊的函数打下基础，与不等式、求函数的值域、最值，导数等都有着紧密的联系。通过初中对函数的学习，学生已具备了一定的观察事物能力，抽象归纳的能力和语言转换能力。在此学习单调性，

2、有助于学生从感性思维到理性思维的过渡。 3.教学目标(含重、难点)知识与技能：（1）从形与数两方面理解单调性的概念（2）绝大多数学生初步学会利用函数图象和单调性定义判断、证明函数单调性的方法过程与方法：（1）通过对函数单调性定义的探究，提高观察、归纳、抽象的能力和语言表达能力；通过对函数单调性的证明，提高推理论证能力（2）通过对函数单调性定义的探究，体验数形结合思想方法（3）经历观察发现、抽象概括，自主建构单调性概念的过程，体会从具体到抽象，从特殊到一般，从感性到理性的认知过程情感态度价值观：通过知识的探究过程养成细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维习惯；感受用辩证的观点思考问题教

3、学重点：函数单调性的概念形成和初步运用教学难点：函数单调性的概念形成4、教学流程示意5.教学过程环节教师活动学生活动设计意图创设情境 引入新课 6分钟 问题1：分别作出函数y=2x，y=-2x和y=x2+1的图象，并且观察函数变化规律？ 描述完前两个图象后，明确这两种变化规律分别称为增函数和减函数。  二次函数的增减性要分段说明提出问题：二次函数是增函数还是减函数？ 问题二：能否用自己的理解说说什么是增函数，什么是减函数？ 观察图象，利用初中的函数增减性质进行描述学生会指出：y=2x的图象自变量x在实数集变化时，y

4、随x增大而增大   y=-2x的图象自变量x在实数集变化时，y随x增大而减小    y=x2+1在（-，0上y随x增大而减小，在（0，+）上y随x增大而增大 学生可能回答：既是增函数又是减函数或有时增函数有时减函数讨论得出：单调性是函数的局部性质 结合单调性是局部性质，用直观描述回答：在一个区间里，y随x增大而增大，则是增函数；y随x增大而减小就是减函数  数学课程标准中提出“通过已学过的函数特别是二次函数理解函数的单调性”，因此在本环节的设计上，从学生熟知的一次函数和二次函数入手，从

5、初中对函数增减性的认识过渡到对函数单调性的直观感受。    通过一次函数认识单调性，再通过二次函数认识单调性是局部性质，进而完善感性认识。 环节教师活动学生活动设计意图初步探索 概念形成 8分钟问题三：（以y=x2+1在 (0，+)上单调性为例）如何用精确的数学语言来描述函数的单调性？ 分三步：提问学生什么是“随着”如何刻画“增大”？ 对“任取”的理解  进而得到增（减）函数的定义 进一步提问:如何判断f(x1)<f(x2)得到求差法后提出记x= x2-x1y= f(x

6、2)-f(x1)= y2-y1学生交流、提出见解，提出质疑，相互补充 回归函数定义解释 要表示大小关系，学生会想到取点，比大小 讨论应该如何取值。学生可能会提到多取一些，也可能会想到将取值区间任意小，进一步讨论得出“任取”二字。通过启发式提问，实现学生从“图形语言”到 “文字语言”到 “符号语言”认识函数的单调性，实现“形”到“数”的转换。另外，在此强调“任意性”的理解，从而达到突破难点，突出重点的目的。 在此还提出求差法比较大小，为后面的证明和判断扫清障碍概念深化 延伸拓展 12分钟问题四：能否说f(x)=在它的定义域上是减函数？&

7、#160;从这个例子能得到什么结论？ 给出例子进行说明：   进一步提问：函数在定义域内的两个区间A,B上都是增（减）函数，何时函数在AB上也是增（减）函数 再一次回归定义，强调任意性 思考、讨论，提出自己观点学生提出反例，如x1=-1，x2=1 进一步得出结论：函数在定义域内的两个区间A,B上都是增（减）函数，函数在AB上不一定是增（减）函数 将函数图象进行变形（如x<0时图象向下平移）  通过上面的问题，学生已经从描述性语言过渡到严谨的数学语言。而对严谨的数学语言学生还缺乏准确理解，因

8、此在这里通过问题深入研讨加深学生对单调性概念的理解。  环节教师活动学生活动设计意图  拓展探究：已知函数是 （-，+）上的增函数，求a的取值范围 利用单调性定义解决问题  在问题四的背景下解决本题，体会在运动中满足任意性。 证法探究 应用定义 13分钟  例1：证明函数在（0，+）上是增函数证明：任取且    函数在（0，+）上是增函数 例2：判断函数在（0，+）上的单调性 进一步提问：如果把（0，+）条件去掉，如

9、何解这道题？（作业） 根据单调性定义进行证明讨论，规范步骤  设元 作差  变形  断号  定论    根据定义进行判断体会判断可转化成证明 课后思考 本环节是对函数单调性概念的准确应用，本题采用前面出现过的函数，一方面希望学生体会到函数图象和数学语言从不同角度刻画概念，另一方面避免学生遇到障碍，而是把注意力都集中在单调性定义的应用上。 课标中指出“形式化是数学的基本特征之一，但不能仅限于形式化的表达。高中课程强调返璞归真”因

10、此本题不再从证明角度，而是让学生再次从定义出发，寻求方法，并体会转化思想。小结评价作业创新6分从知识、方法两个方面引导学生进行总结. 作业（1、2、4必做，3选做）1、  证明：函数在区间0，+)上是增函数。2、课上思考题3、求函数的单调区间4、思考P46 探索与研究  回顾函数单调性定义的探究过程；证明、判断函数单调性的方法步骤；数学思想方法 完成课堂反馈  使学生对单调性概念的发生与发展过程有清晰的认识，体会到数学概念形成的主要三个阶段：直观感受、文字描述和严格定义 作业实现分层，满足学生需求6.学习效果评价设

11、计学习效果预测：    在本节课学习中，学生能理解单调性的定义，绝大多数学生能按照单调性的证明步骤进行证明，能判断函数的单调性 学习效果评价方式：1、  课堂反馈：证明：函数在（0，+）上是减函数2、  教师评价：课堂发言反映的思维深度；课堂发现问题的角度、能力；课堂练习的正确性；课堂学习的积极性3、  学生自评：本节课学习兴趣；独立思考的习惯；合作交流的意识；对知识、方法等收获的程度7.本教学设计与以往或其他教学设计相比的特点(300-500字数)1、在情境设置中，严格按照课标要求以二次函数y=x2+1为例，经历画图、描述图象、找单调区间、形成单调性定义、证明其单调性的过程，将学生对单调性的认识从感性上升到理性，并将定义进行应用。2、在教学过程中，创设一个探索的学习环境，通过设计一系列问题，使概念得到形成和深化，学生亲身经历数学概念的产生与发展过程