同角三角函数的基本关系ppt课件

1、一、创设情境：一、创设情境：M 问题问题2. 如图如图1，三角函数线是：，三角函数线是：正弦线正弦线；余弦线余弦线；正切线正切线.yxxy)0( xMPOMAT)0 , 1 (ATcos；tansin；问题问题3. 三角函数是以单位圆上点的坐标来定义的，他能从圆的几何性三角函数是以单位圆上点的坐标来定义的，他能从圆的几何性质出发，讨论一下同一个角的不同三角函数之间的关系吗？质出发，讨论一下同一个角的不同三角函数之间的关系吗？问题问题1. 如图如图1，设，设 是一个恣意角，是一个恣意角， 它的它的终边终边 与单位圆交于与单位圆交于 ，那么，那么),(yxPOxyP图1二、探求新知：二、探求新知：

2、问题问题 当角当角 的终边在坐标轴上时的终边在坐标轴上时,关系式能否还成立？关系式能否还成立？对于恣意角对于恣意角 都有都有)(,R结论：结论：1cossin22平方关系平方关系问题问题 当角当角 的终边不在坐标轴时，正的终边不在坐标轴时，正弦、余弦之间的关系是什么？如图弦、余弦之间的关系是什么？如图2 1、探求同角正弦、余弦之间的关系、探求同角正弦、余弦之间的关系OxyPM图2222OPOMMP122 xy 当角当角 的终边在的终边在 坐标轴上时坐标轴上时,x110cossin22101cossin22y当角当角 的终边在的终边在 坐标轴上时坐标轴上时,1cossin22OPOM 角角 的正

3、弦线的正弦线 ，余弦线，余弦线 ,半经半经 三者的长构成直角三角形，而且三者的长构成直角三角形，而且 ，由勾股定理得由勾股定理得 因此因此 ，即，即 MP1OP质疑： 能写成 吗？ “同角是什么含义？2sin2sin不能一是“角相等，二是对“恣意一个角2.察看恣意角察看恣意角 的三角函数的三角函数,siny,cosx)0( ,tanxxytancossin商的关系商的关系问题：问题：tancossin 他们能否结合正切线，利用类似三角形的性质对关系式 作出解释 有什么样的关系呢？、tancossin思索：思索：注：注：商的关系不是对恣意角都成立商的关系不是对恣意角都成立 ,是在等式两边都有意是

4、在等式两边都有意义的情况下，等式才成立义的情况下，等式才成立),2(Zkk2.察看恣意角察看恣意角 的三角函数的定义的三角函数的定义,siny,cosx)0( ,tanxxytancossin商的关系商的关系注：注：商的关系不是对恣意角都成立商的关系不是对恣意角都成立 ,是在等式两边都有意是在等式两边都有意义的情况下，等式才成立义的情况下，等式才成立),2(Zkk有什么样的关系呢？、tancossin思索：思索：问题：问题：tancossin 他们能否结合正切线，利用类似三角形的性质对关系式 作出解释 同一角同一角 的正弦、余弦的平方和等于的正弦、余弦的平方和等于1，商等于角商等于角 的正切的

5、正切结论：结论：例题例题6 的值，求已知tan,cos53sin解：解：2516)53(1sin1cos222当 是第三象限角时， 0cos542516cos43)54()53(cossintan当 是第四象限角时，0cos542516cos4354)53(cossintan例题互动例题互动自我诊断：自我诊断：43cossintan54sin1cos53sin2得得解：由如何运用同角三角函数的根本关系处理三角函数的求值及恒等证明等问题1sin0sin且是第三或第四象限角角得由1cossin22讨论交流：讨论交流：特点、公式1cossin122移项变形：移项变形：2222cos1sinsin1c

6、os常用于正弦、余弦函数常用于正弦、余弦函数的相互转化，相互求解。的相互转化，相互求解。注：注：在开方时，由角在开方时，由角 所在的象限来确定开方后的符号。所在的象限来确定开方后的符号。即即在一、二象限时，当在三、四象限时，当22cos1cos1sin是一、四象限时当是二、三象限时，当,sin1sin122cos的特点、公式tancossin2变形：变形：tansincos由正弦正切，求余弦由正弦正切，求余弦tancossin由余弦正切，求正弦由余弦正切，求正弦tancossin由正弦余弦，求正切由正弦余弦，求正切注：注：所得三角函数值的符号是由另外两个三角所得三角函数值的符号是由另外两个三角

7、函数值的符号确定的。函数值的符号确定的。例题例题7xxxxcossin1sin1cos求证于是，知由, 0sin1, 1sin0cosxxx证法一：证法一：左边右边xxxxxxxxxxxxcossin1cos)sin1(cossin1)sin1(cos)sin1)(sin1()sin1(cos22证法二：证法二：所以原式成立所以原式成立0cos, 0sin1cossin1)sin1)(sin1 (22xxxxxx且由于所以xxxxcossin1sin1cos发散思想 提问：此题还有其他证明方法吗？ 交流总结证明一个三角恒等式的方法,留意选择最优解 三角函数恒等式证明的普通方法三角函数恒等式证明

8、的普通方法2证明原等式的等价关系证明原等式的等价关系注：要留意两边都有意义的条件下注：要留意两边都有意义的条件下才恒等才恒等1从一边开场证明它等于另一边由繁到从一边开场证明它等于另一边由繁到简简3证明左、右两边等于同一式子证明左、右两边等于同一式子三、运用反响：三、运用反响：的值，求、已知问题cos,sin3tan1解：解：cossintan0tan为第二或第四象限角3cossin1cossin2243sin41cos22解得：2141cos,2343sin2141cos,2343sin为第四象限角时当为第二象限角时当1cossin22tancossin方程方程(组组)思想思想xxxxxxta

9、n1tan1sincoscossin21222、求证问题证法一：证法一：xxxxxxxxxxxxxxxxxxsincossincos)sin)(cossin(cos)sin(cos)sin)(cossin(coscossin2cossin222左边xxxxxxxxsincossincoscos)tan1(cos)tan1(右边 左边左边=右边右边所以原等式成立所以原等式成立左边左边中间中间右边右边所以原等式成立所以原等式成立 左边左边 右边右边右边左边xxxxxxxxxxxxtan1tan1cos)sin(coscos)sin(cossincossincos证法二：证法二：四、归纳总结：四、归

10、纳总结：2三角函数值的计算与证明三角函数值的计算与证明 利用平方关系时，往往要开方，因此要先根据角的所利用平方关系时，往往要开方，因此要先根据角的所在象限确定符号，即将角所在象限进展分类讨论。在象限确定符号，即将角所在象限进展分类讨论。 证明时常用方法：证明时常用方法： 方法方法1：从一边开场证明它等于另一边；：从一边开场证明它等于另一边； 方法方法2：证明原等式的等价关系，：证明原等式的等价关系， 方法方法3： 证明左、右两边等于同一式证明左、右两边等于同一式子；子；在化简证明过程中要留意两边都有意义的条件下才恒等。在化简证明过程中要留意两边都有意义的条件下才恒等。1同角三角函数的根本关系式

11、同角三角函数的根本关系式R, 1cossin22),2( ,tancossinZkkcossintan, 1cossin22前提是前提是“同角，同角， 因此因此 本节课同窗们有哪些学习体验与收获，学到了本节课同窗们有哪些学习体验与收获，学到了哪些数学知识与方法哪些数学知识与方法运用极为广泛；巧用“1 ， 22cossin1五、拓展延伸：五、拓展延伸：）的关系式吗？（的基本关系推导出更多你能利用同角三角函数的一个变形，就是可以看出，从例题题第组422221cossincossin1sin1cos7BPxxxxxx的变形也是所以解：1cossincossin21cossincossin21coss

12、in1coscossin2sin1)cos(sin1cossin2222442244422422222xxxxxxxxxxxxxxxxxx的变形和是所以时，可得：当解：xxxxxxxxxxxxxxxxtancossin1cossincos11tancos11tancos1coscossin0cos1cossin222222222222等等。；变形得,cos1tan1cossin21cossin1cossin22224422xxxxxxxx六、课后作业六、课后作业）组的值；（，求、已知）组；（、求证）组的值（，求、已知题第）题题（第题第33131122222221cossincossin2tan3cos22sin) 1(cos2tan,cos31sin1BPAPAPxxx课题：1.2.2 同角三角函数的 根本关系一、探求公式：一、探求公式： ）（、R1cossin122),2(;tan