离散傅里叶变换(DFT)试题

1、第一章 离散傅里叶变换（DFT）3.1 填空题（1） 某序列的表达式为，由此可以看出，该序列时域的长度为 ，变换后数字频域上相邻两个频率样点之间的间隔是 。解：N；（2）某序列DFT的表达式是，由此可看出，该序列的时域长度是 ，变换后数字频域上相邻两个频率样点之间隔是 。解： N （3）如果希望某信号序列的离散谱是实偶的，那么该时域序列应满足条件 。 解：纯实数、偶对称 （4）线性时不变系统离散时间因果系统的系统函数为，则系统的极点为 ；系统的稳定性为 。系统单位冲激响应的初值为 ；终值 。解： ；不稳定 ；不存在 (5) 采样频率为的数字系统中，系统函数表达式中代表的物理意义是 ，其中时域数

2、字序列的序号代表的样值实际位置是 ；的N点DFT中，序号代表的样值实际位置又是 。解：延时一个采样周期，（6）已知，则和的5点循环卷积为 。解： （7）已知则的4点循环卷积为 。解：（8）从满足采样定理的样值信号中可以不失真地恢复出原模拟信号。采用的方法，从时域角度看是（ ）；从频域角度看是（ ）。解：采样值对相应的内插函数的加权求和加低通，频域截断3.2 选择题1.若一模拟信号为带限，且对其抽样满足奈奎斯特条件，理想条件下将抽样信号通过 即可完全不失真恢复原信号 （ ）A.理想低通滤波器 B.理想高通滤波器 C.理想带通滤波器 D.理想带阻滤波器解：A2.下列对离散傅里叶变换（DFT）的性质

3、论述中错误的是( )A.DFT是一种线性变换B.DFT具有隐含周期性C.DFT可以看作是序列z变换在单位圆上的抽样D.利用DFT可以对连续信号频谱进行精确分析解：D3序列x(n)=R5(n)，其8点DFT记为X(k)，k=0,1,7，则X(0)为()。A.2B.3 C.4D.5解：D4已知x(n)=(n)，N点的DFTx(n)=X(k)，则X(5)=( )。ANB1C0D- N解：B5.已知x(n)=1,其N点的DFTx(n)=X(k),则X(0)=( )A.NB.1 C.0 D.-N解：A6一有限长序列x(n)的DFT为X(k)，则x(n)可表达为： 。A B. C D. 解：C7离散序列x

4、(n)满足x(n)=x(N-n)；则其频域序列X(k)有： 。AX(k)=-X(k) B. X(k)=X*(k)CX(k)=X*(-k) D. X(k)=X(N-k)解：D8已知N点有限长序列X(k)=DFTx(n)，0n，kN,则N点DFTx(n)=( )A.B. C.D.解：B9.有限长序列，则 。A.B.C.D.解：C10.已知x(n)是实序列，x(n)的4点DFT为X(k)=1,-j,-1,j，则X(4-k)为( )A.1，-j，-1，jB.1，j，-1，-jC.j，-1，-j，1D.-1，j，1，-j解：B11.，则IDFTXR(k)是的（ ）。A共轭对称分量B. 共轭反对称分量C.

5、 偶对称分量D. 奇对称分量解：A12DFT的物理意义是：一个 的离散序列x（n）的离散付氏变换X（k）为x（n）的付氏变换在区间0，2上的 。 A. 收敛；等间隔采样 B. N点有限长；N点等间隔采样 C. N点有限长；取值 C.无限长；N点等间隔采样解：B13用DFT对一个32点的离散信号进行谱分析，其谱分辨率决定于谱采样的点数N，即 ，分辨率越高。 A. N越大 B. N越小 C. N=32 D. N=64解：A14. 对 （0n-1）和 (0n-1)进行8点的圆周卷积，其中_的结果不等于线性卷积。 ( )A. =3，=4B. =5，=4C. =4，=4D. =5，=5解：D15对5点有

6、限长序列1 3 0 5 2进行向左2点圆周移位后得到序列（ ）A1 3 0 5 2B5 2 1 3 0C0 5 2 1 3D0 0 1 3 0解：C16对5点有限长序列1 3 0 5 2进行向右1点圆周移位后得到序列( )A.1 3 0 5 2B.2 1 3 0 5C.3 0 5 2 1D.3 0 5 2 0解：B17.序列长度为M，当频率采样点数N2/fhB.Ts1/fhC.Ts1/fhD.Ts1/(2fh)解：D25.设某连续信号的最高频率为5kHz，采样后为了不失真的恢复该连续信号，要求采样频率至少为_Hz。( )A.5k B.10k C.2.5k D.1.25k解：B26.如果使用5k

7、Hz的采样频率对某连续信号进行无失真的数字信号处理，则信号的最高频率为_Hz。( )A.2.5k B.10kC.5k D.1.25k解：A27.要从抽样信号不失真恢复原连续信号，应满足下列条件的哪几条( )。()原信号为带限()抽样频率大于两倍信号谱的最高频率()抽样信号通过理想低通滤波器 A.、 B.、 C.、 D.、解：D3.3 问答题 （1） 解释DFT中频谱混迭和频谱泄漏产生的原因，如何克服或减弱？答：如果采样频率过低，再DFT计算中再频域出现混迭线性，形成频谱失真；需提高采样频率来克服或减弱这种失真。泄漏是由于加有限窗引起，克服方法是尽量用旁瓣小主瓣窄的窗函数。 （2）在A/D变换之

8、前和D/A变换之后都要让信号通过一个低通滤波器，它们分别起什么作用？答：在A/D变化之前让信号通过一个低通滤波器，是为了限制信号的最高频率，使其满足当采样频率一定时，采样频率应大于等于信号最高频率2倍的条件。此滤波器亦称位“抗折叠”滤波器。在D/A变换之后都要让信号通过一个低通滤波器，是为了滤除高频延拓谱，以便把抽样保持的阶梯形输出波平滑化，故称之为“平滑”滤波器。（3）用DFT对连续信号进行谱分析的误差问题有哪些？答：混叠失真；截断效应（频谱泄漏）；栅栏效应（4）画出模拟信号数字化处理框图，并简要说明框图中每一部分的功能作用。答：框图如下所示前置滤波器A/D变换器数字信号处理器D/A变换器模

9、拟滤波器第1部分：滤除模拟信号高频部分；第2部分：模拟信号经抽样变为离散信号；第3部分：按照预制要求对数字信号处理加工；第4部分：数字信号变为模拟信号；第5部分：滤除高频部分，平滑模拟信号（5）“一个信号不可能既是时间有限信号，又是频带有限信号”是信号分析中的常识之一，试论述之。答：由傅里叶变换的尺度变换特性可知信号在时域和频域中尺度的变化成反比关系，即在时域中带宽越宽，在频域中带宽越窄；反之，在时域中带宽越窄，在频域中带宽越宽。所以不可能出现在时域和频域都为无限宽或者有限宽的信号。（6） 试述用DFT计算离散线性卷积的方法。答：计算长度为M,N两序列的线性卷积，可将两序列补零至长度为M+N-

10、1,而后求补零后两序列的DFT，并求其乘积，最后求乘积后序列的IDFT，可得原两序列的线性卷积。（7） 已知X(k)、Y(k)是两个N点实序列x(n)、y(n)的DFT值，今需要从X(k)、Y(k)求x(n)、y(n)的值，为了提高运算效率，试用一个N点IFFT运算一次完成。解：依据题意 取序列 对作N点IFFT可得序列。又根据DFT性质 由原题可知，都是实序列。再根据，可得（8）设H(z)是线性相位FIR系统，已知H(z)中的3个零点分别为1，0.8，1+j，该系统阶数至少为多少？解：由线性相位系统零点的特性可知，的零点可单独出现，的零点需成对出现，即z=1.25也是其零点之一，的零点需4个

11、1组，其它三个 ,所以系统至少为7阶。3.4 计算题1.计算下列序列的N点DFT：（1）（2）(3) （4）（5）（6）解： （1）（2）（3）(4) （5）=,k=0,1,N-1 (6)= =+=+对照DFT逆变换公式得到2. 令和表示一个序列及其傅立叶变换，利用表示下面各序列的傅立叶变换。（1）（2） 解：（1） （2）3. 对有限长序列的Z变换在单位圆上进行5等份取样，得到取样值，即，求的逆傅里叶变换。解： 4 设（1）求的4点DFT。（2）若是与的4点循环卷积，求及其4点DFT。解： （1）（2） 由上式得到5. 已知求与的5点循环卷积解：取Z变换可得 由卷积定理可知由上式得到6. 已

12、知序列的5点DFT为，求的DFT逆变换。解 ：对x(n)进行傅里叶变换得 由上式进行逆变换得7. 已知一个有限长序列（1） 求它的10点离散傅里叶变换。（2） 已知序列的10点离散傅里叶变换为，求序列。（3） 已知序列的10点离散傅里叶变换为，求序列。解：（1）对取傅里叶变换得 （2）由 可以知道，是向右循环移位2的结果，即 （3）由可以知道是与的10点循环卷积。 一种方法是先计算与的线性卷积然后由下式得到10点循环卷积 另一种方法是先计算的10点离散傅里叶变换 再计算乘积 由上式得到 8. 若长为N的有限长序列x（n)是矩形序列x(n)=。 （1）求x（n)的Z变换，并画出其极零点的分布图。

13、 （2）求频谱X，并画出幅度的函数曲线。 （3）求x(n）的DFT的闭式表示，并与对照。 解： （1）X（z)= = 极点：=0（N-1阶）；零点：=，k=1,2,N-1 图（a)是极零点分布图 X= 图（b）所示的是频谱幅度的函数曲线。 （3）X（k)= = 可见，X（k)等于X9.已知序列和它的6点离散傅里叶变换（1） 若有限长序列的6点离散傅里叶变换为求。（2） 若有限长序列的6点离散傅里叶变换为实部，即=，求。（3） 若有限长序列的3点离散傅里叶变换 ，求。解：（1）由知，是向右循环移位4的结果，即（2） 由上式得到（3） 由于 所以 即 或 10. 设是长为N的序列，是它的Z转换。用

14、构成下列3个长为2N的序列(1) (2) (3) 用的取样表示每个序列的2N点DFT.解：（1）因为 所以 即等于在单位圆上等间隔的2N点上对的取样值。 （2）因为的Z变换是，的Z变换是 ，所以最后得到（3）因 所以这意味着是由两个衔接起来得到的。11、设是一个并关于对称的序列。是的4点循环移位序列，即 （1） 求的DFT与的DFT之间的关系。（2） 由和各构成一个FRI数字滤波器，试问它们是线性相关数字滤波器吗？为什么？如果是，时延是多少？（3） 如果对应于一个截止频率为/2的 低通滤波器，那么也对应于一个截止频率为/2的低通滤波器吗？为什么？解 （1）因为和,所以当时，有 由于 ， 所以

15、由上式得 和（1） 因为和都具有对称性，所以它们都是线性相位数字滤波器。时延为 （2） 由（1）的结果知道，和的幅度响应相等，所以可以认为也是一个截止频率为/2的低通滤波器。12、某系统由两个LTI子系统并联而成，其中一个子系统的单位脉冲响应为，并联后系统的频率响应为（1）求另一个子系统的单位脉冲响应。（2）假设系统的输入为，用频域分析法分别求两个子系统的输出。（3）在相同输入的情况下，求并联系统的输出y(n)。（4）写出并联系统联系输入和输出的差分方程，并画出模拟框图。解：（1）因为，且和是并联的，所以有所以。（2）傅里叶变换为 ，所以所以。同理 所以（3） （4）差分方程为 图略。13、用某台FFT仪做谱分析。使用该仪器时，选用的抽样点数N必须是2的整数次幂。已知待分析的信号中，上限频率kHz。要求谱分辨率Hz。试确定下列参数：1.一个记录中的最少抽样点数；2.相邻样点间的最大时间间隔；3.信号的最小记录时间。解：因为待分析的信号中上限频率所以抽样频率应满足：因为要求谱分辨率，所以因为选用的抽样点数N必须是2的整