第五章(4) 线性系统的频域法

1、1.相对稳定性2.稳定裕度（幅值裕度、相角裕度）3.时域指标与开环频域指标的关系4.三段频理论（初步认识）5-4 稳定裕度( (考试、考研考试、考研) )时域（时域（t t）系统动态性能系统动态性能稳定边界稳定边界 稳定程度稳定程度频域（频域（w w）稳定程度稳定程度虚轴虚轴阻尼比阻尼比 x x到到(-1,j0)(-1,j0)的距离的距离(-1,j0)(-1,j0)稳定裕度稳定裕度( (开环频率指标开环频率指标) )、相对稳定性、相对稳定性 相对稳定性就是在稳定系统中，研究那个系统更稳定。ba-110jr1/h若系统的开环幅相曲线如图：考虑a点：ojGjG180)(1| )(|ww但再考虑b点

2、：1| )(|180)(wwjGjGo但若a点沿着单位圆顺时针转过r角，则 同时成立。 若b点沿着负实轴向左移动到(-1,j0)点，则 同时成立。ojGjG180)(, 1| )(|ww频率域内，稳定系统有2条途径滑向临界稳定，因此，有2个稳定裕度指标。幅值裕度和相角裕度衡量系统相对稳定性。ojGjG180)(, 1| )(|ww 稳定裕度稳定裕度c截止频率截止频率 相角裕度相角裕度)(180cjGw w 1)( cjGg相角交界频率相角交界频率h幅值裕度幅值裕度)(1gjGhw w 180)(gjG系统在系统在 方面的稳定储备量方面的稳定储备量 h幅值幅值相角相角一般要求一般要求 40 2

3、h（穿越频率，教材用（穿越频率，教材用 表示）表示）xwn 系统稳定，则系统稳定，则 h1、 0 。闭环稳定系统的增益裕量和相位裕量闭环不稳定系统的增益裕量和相位裕量0P 0P 和和 h(dB)h(dB)在对数在对数频率特性上的正负示意频率特性上的正负示意)(180cjGw w 解法解法I：由幅相曲线求：由幅相曲线求。h, 例例)10)(2(100)110)(12(5)( sssssssG，求，求。h, (1)(1)令令1)( cjG2222102100 cccw ww ww w1000400104242 cccw ww ww w9 . 2 cw w试根得试根得)9 . 2(180 109 .

4、 2arctan29 . 2arctan90180 5 .181 .164 .5590)(1gjGhw w 180)(gw w 10arctan2arctan90ggw ww w 90tan2011022gggw ww ww w可得可得 9010arctan2arctanggw ww w202 gw w47. 4 gw w)dB6 . 7(4 . 210010247. 42222 ggggw ww ww ww w)(1gjGhw w 将将G(jw w)分解为实部、虚部形式分解为实部、虚部形式)10)(2(100)(w ww ww ww wjjjjG 令令0)(Im YGjGw w)100)(4

5、()20(1001200222w ww ww ww ww w jYXjGG 47. 420 gw w得得4167. 0)( gXGw w代入实部代入实部4 . 24167. 01 4167. 0)( gGw w)47. 4(1jGh )110)(12(5)( ssssG由由L(w w):1)( cjGw w16. 310 cw w得得4 . 24167. 01 解法解法II：由：由BodeBode图求图求。h, 210125cccw ww ww w )(180cjGw w )16. 3(180 1016. 3arctan216. 3arctan90180 8 .14541.1767.57909

6、 . 2 5 .1847. 4102 gw w例例5-12 5-12 已知单位反馈系统 设 分别为4和10时，试确定系统的稳定裕度。3( )(1)KG ssK解：系统开环频率特性2232 322(1 3)(3)()3arctan(1)(1)KKjG jwwwwwww按,gcw w定义可得3gw4K 13()0.5,21611.233,()152.9 ,27.1ggooccG jKG jwww 时10K 时()1.25,0.81.908,()187.0 ,7.1ggooccG jKG jwww 分别作出 和 的开环幅相曲线Nyquist图，由奈氏判据知：4K 10K 时，系统闭环稳定，时，系统闭

7、环不稳定，4K 10K 1,0h1,0h 仅用增益裕量或相位裕量，甚至在某些情形下，同时应用增益裕量或相位裕量都不足以说明系统的稳定程度。 这个问题在用劳斯相对稳定判据判断时不存在。 12vKnx xw w (1) (1) 二阶系统二阶系统 )2()(2nnsssGxwxww w 222)2()(nnjGxwxww ww ww ww w njGx xw ww ww w2arctan90)( 1)2()(222 nccncjGx xw ww ww ww ww wncw wx xx xw w 24214)(180cw w 2222)(nnnsssw wx xw ww w ncxwxww w2arc

8、tan90 cnw wx xw w2arctan 3 3 时域指标与开环频域指标的关系时域指标与开环频域指标的关系ncw wx xx xw w 24214)(180cw w ncxwxww w2arctan90 cnw wx xw w2arctan 242142arctanx xx xx x )2()(2nnsssGxwxww w 21/%x x x x e% x x nstx xw w5 . 3 242145 . 3x xx xx xw w cst tan7 x xx xx x2214724 越越大大越越大大 ,)2141(22124 arctg stnw w % (2) (2) 高阶系统高

9、阶系统 %100)1sin1(4 . 016. 0% 21sin15 . 21sin15 . 12 w w cst)9035( 用频域法估算高阶系统动态性能用频域法估算高阶系统动态性能cw wcsatw w 00 )(w wL g例例5-145-1452.236稳定裕度的稳定裕度的概念概念( (开环频率指标开环频率指标) )稳定裕度的稳定裕度的定义定义稳定裕度稳定裕度计算方法计算方法c截止频率截止频率 相角裕度相角裕度)(180cjGw w 1)( cjGg相角交界频率相角交界频率h幅值裕度幅值裕度)(1gjGhw w 180)(gjG)(180)(ccLw w w ww w )(1180)(

10、ggjGhw ww ww w 4 4三频段理论三频段理论vsKsG )(0dB/dec20 1. 1. L(w w)低频段低频段 系统稳态误差系统稳态误差ess2. 2. L(w w)中频段中频段 系统动态性能系统动态性能( , , ts)3. 3. L(w w)高频段高频段 系统抗高频噪声能力系统抗高频噪声能力w wlg20lg20lg200 vKG 900vG最小相角系统最小相角系统 L(w w) 曲线斜率与曲线斜率与(w)(w)的对应关系的对应关系 90 90 dB/dec40 180 0 dB/dec60 270 90 )(1)()(sGsGs 1)()( sGs1)( sG希望希望

11、L(w w) 以以-20dB/dec斜率穿越斜率穿越 0dB线，并保持较宽的频段线，并保持较宽的频段关于三频段理论的说明：关于三频段理论的说明： 各频段分界线没有明确的划分标准各频段分界线没有明确的划分标准 与无线电学科中的与无线电学科中的“低低”、“中中”、“高高”频频概念不同概念不同 不能用是否以不能用是否以-20dB/dec过过0dB线作为判定线作为判定 闭环系统是否稳定的标准闭环系统是否稳定的标准 只适用于单位反馈的最小相角系统只适用于单位反馈的最小相角系统)(w wL)(sG)(1)()(sGsGs 中频段中频段三频段理论三频段理论高频段高频段低频段低频段对应性能对应性能希望形状希望形状L(w w)系统抗高频干扰的能力系统抗高频干扰的能力开环增益开环增益 K系统型别系统型别 v稳态误差稳态误差 ess截止频率截止频率 w wc相角裕度相角裕度 动态性能动态性能陡，高