中学代数公式大全1

1、目录一、初中代数1二、高中代数42.1 、函数42.1.1不等式72.1.1数歹U82.1.1三角函数92.1.1复数112.2 排列、组合122.3 平面几何132.3.1 直线与角132.3.2 三角形142.4 立体几何142.4.1 直线与平面142.4.2 多面体、棱柱、棱锥172.5 解析几何172.5.1 方程与曲线172.5.2 直线182.5.3 圆192.5.4 椭圆192.5.5 双曲线202.5.6 线202.6 向量部分212.6.1 空间向量212.6.2 平面向量22三、常用公式233.1 常用公式233.2 几何图形及计算公式25四、坐标几何和二维、三维图形27

2、4.1 坐标几何274.2 二维图形284.3 三维图形29一、初中代数【实数的分类】实致有理数'无理数Vf件整数自然数)整数零负整数分数竟饕无限循环小数、负无理数j国无理数Lr日太襦铲|百-i比限不循环小数负无理数J【自然数】【质数与合数】【相反数】【绝对值】【倒数】【完全平方数】【方根】.【开方】. 【算术根】.【代数式】【代数式的值】【代数式的分类】有理式，国式代数式41分式无理式-表示物体个数的1、2、3、4等都称为自然数一个大于1的整数，如果除了它本身和1以外不能被其它正整数所整除，那么这个数称为质数。一个大于1的数，如果除了它本身和1以外还能被其它正整数所整除，那么这个数知

3、名人士为合数，1既不是质数又不是合数。只有符号不同的两个实数，其中一个叫做另一个的相反数。零的相反数是零。一个正数的绝对值是它本身，一个负数绝对值是它的相反数，零的绝对值为零。苦口是实物则：卜(a>0)同小(a=0)&(a<(T)从数轴上看，一个实数的绝对值是表示这个数的点离开原点距离。1除以一个非零实数的商叫这个实数的倒数。零没有倒数。如果一个有理数a的平方等于有理数b,那么这个有理数b叫做完全平方数。如果一个数的n次方(n是大于1的整数)等于a,这个数叫做a的n次方根。求一数的方根的运算叫做开方。正数a的正的n次方根叫做a的n次算术根，零的算术根是零，负数没有算术根。用

4、有限次运算符号(加、减、乘、除、乘方、开方)把数或表示数的字母连结所得的式子，叫做代数式。用数值代替代数式里的字母，计算后所得的结果，叫做当这个字母取这个数值时的代数式的值。【有理式】只含有力口、减、乘、除和乘方运算的代数式叫有理式【无理式】根号下含有字母的代数式叫做无理式【整式】没有除法运算或者虽有除法运算而除式中不含字母的有理式叫整式【分式】除式中含字母的有理式叫分式加故换律；曰+方=方+日【有理数的运算律】加法结合律:("3+c=£j+(6+c)乘短模微ab=ba【等式的性质】乘海枷法的夕曾推：/+c）=a&+竺老则元”兄r老”b则需=be若&=b且。

5、阈则口，=£>LCC【乘法公式】平方差公式：（口+匕）（仪-b）=a2-b2立方和（墓）公式：（0士幼（口。+ab+b2）a3±b3完全平方公式±旷=>±2她+M【因式分解】梃取公因式法；ma+mb-mew(d+白一G应用公式法，(1+与小_切=d2-b2(口士切(JTab+b2)a3±b3(a±b)2=a2±2ab+b2十字相黍法；x+(a+&)j+ab=(x+a)(j+&)求根公式法工ax+hx+r=口(工一1)(算一算3)-b+油2-4/算1其中2a-6-Jb3-4w“2d【方程】方程含有未

6、知数的等式叫做方程。方程的解在未知数允许值范围内，能使方程两边相等的未知数的值叫做方程的解。解方程在指定范围内求出方程所有解，或者确定方程无解的过程，叫做解方程。【一次方程】-7-次方程：只含有一个未知数且未知数的次;数是一次的整式方程叫做一一次方程它的标准形式是：fli+b-0（口纳【一元二次方程】1JC一次方程:口，'+6+匚=0（a0）求根公式*X-"*画-4ac>0）la根的判别式1±=2-4B当A>。时，有两个不相等的实数根当&=0时，有两个相等的实数根、当A<0时.没有实数根根与系数的关系：设也、心为一元一次方程：ax2+&am

7、p;x+c=0（日金0）的两个根，则；bcX+I?=qXXQdd【集合】【集合的分类】:、高中代数2.1、函数指定的某一对象的全体叫集合。集合的元素具有确定性、无序性和不重复性。集合：号有限集：含有有限个元素的集合无限集：含有无限个元素的集合【集合的表示方法】列举法】把集合中的元素一一列举，马在在括号内表示集合的方法描述法：杷集合中元素的公共属性描述出来，写在大括号内的方法任意的工都有xcE=j4uBBB月工火pafAcBBC则工匚C中uA（总为非空子集）Q）若总匚£则XcC(t)AA=A(2)月c中二中()AEqAHcEcBB(1)j4vj4=A(2)A=A?4vBz>Bj4

8、«x|ze用十4Aal(T)AjA=A(2)/八工=中(4)XvB=ArB函数的性质判定方法函数的奇偶性函如果对一函数f(x)定义域内任息个X,都有f(-x)=-f(x),那么函数f(x)叫做奇函数；函如果又t一函数f(x)定义域内任思个x,都有f(-x)=f(x),那么函数f(x)叫做偶函数利用定义用等价例题：/(©是奇函数0汽冷+/(/=0/(冷是偶函数O函数的单调性对于给定的区间上的函数f(x):如果对干属干这个区间的任意两个自变的值町rX箝当打心时，都有</(打),则K力在这个区间是增函数1(1)如果对于属干这个区阍的任意两个1自变的值勺、打，当门时，都有则/

9、(X)在这个区间是减函数利用定义(2评1用己知函数的单调性0和用函数图象(4)根据复合函数单调性的有关结论函数的周期性对于函数f(x),如果存在一个不为零的常数T,使彳导当x取定义域内的每一个值时，f(x+T)=f(x)都成立，那么就把函数y=f(x)叫做周期函数。不为零的常数T叫做这个函数的周期。(1)利用定义(2)利用已知函数的周期的有关定理。函数名称解析式定义域值域奇偶性单调性正比例函数RR奇函数上,口墙函数j<。减函数反比例函数_x_(内加Q网(一叫U口产)奇函数大1口时，在(-»,o),(0,+®)上臧函数；卜M在(7,O)+DO)Lt减函数。一次函数y=心

10、+推线RR，时奇函数。了口，时非奇非偶函数时增函数bed时减函缴二次函数/=az3+&x+c（a5、。为常量；其中国学R口A1口时，,Aac-b2、(-，田)4da<0吐s-；4a匕nQ,时寄函数时非奇非偶函数&>0时，在（一吗一马上2a是减函数在卜2口上增函数&<0时，在-8苒上是增函数在卜，产）2d上减函数函数名称解析式定义域值域奇偶性单调性正比例函数y=W蝴RR奇函数k>0增函数丸。减函数反比例函数（-叫也口产）3)u8m)奇函数fc>O0t，在1；-®,0）,（0*-K»；上臧函数卜M在（e,O）3上减函数。)一

11、次函数/Ar+贴*力RR2,时寄函数。活口,时非奇非偶函数外口时增函数£）<0Bt二次函数/=az+bx+c(口、Kc为常量其中"QR口A1口时，,4ac-b2、(->必4da<0吐4口。-/s-：4t2匕nQ,时寄函数时非奇非偶函数&>0时，在（一叫_白上2a是减函数在卜&+*）2a上增函数向V口吐在（一叫-苒上是增函数在-品+®）上减函数2.1.1不等式不等式用不等号把两个解析式连结起来的式子叫做不等式寸掰性a>bb<a(2)传递性1a>hrb>cc(引力口法单调性1a>b=>

12、3;3+c>b+c(4)乘法单调性+a>b,c>Qac>be不等式 的性质s>b,c<0ac<be(£i不等式相加a>b,c>da+ob-i-d(6)不等式相乘：a>>4£>0>口>bd(7)乘方法则：a>5>=a”>/5正加且月>1)G)开方法则:曰,$>口=痴>版(打正并且MA1)(分倒数法则：口>瓦破>0=>，4含绝对值不等式的性质g卜巾同4+占国$1+1/昨日骁 (i>0)“|网-附旧”国幻+IW（6 | H A b = &

13、amp; 之 6或口，一5色 > 0）几个重要的不等式(l)ws>0(aR)(3)(?2+b2>2ab但儿>篇(abeR+)当且仅当京=6时，取H="号2(4)-+->2(ab>0)当且仅当”&时，取J'号ab”;+为源敷公尿。用当且仅当四=匕时，取/号研+町+-,+ssj.(6)-=>知口出口,"%(砌、日2、/胃E尺H程巨并且打>1)当且仅当皿=的=，为时，取%”号解集Xi"不等式的解法nubnu&>0。>口)其中不打是一兀二次方程+加+c=0的两个根，且刈式如等式的解法A&g

14、t;0A=0A<0绝对a。时一0或1口值1住g=0B寸xxRflxO)不a(。时，|，w用a>0时|一0<x<aa-O0t中a<O0t中,>0feW)以力o>0I1/«<尿口2.1.1数列名称定义通项公式前n项的和公式数列按照一定次序排成一列的数叫做数列，记为an如果一个数列an的第n项an与n之间的关系可以用一个公式来表示，这个公式就叫这个数列的通项公式等$_/研+曰J"2=乳&i+-d差数列4-4.1=d0为常数，月瓦村之不叫做这个数列的公差%=%+(n-!)d其它等差中项a+bA=2生=如为常数%rt/网2)q叫

15、这个数冽的公比等比中项G二七庭数列前n项和与通项的关系：A=«无穷等比数列所有项的和：数适用范围证明步骤注意事项学归纳法只适用于证明与自然数n有关的数学命题设P(n)是关于自然n的一个命题，如果(1)当n取A个值n0(例如：n=1或n=2)时，命题成立(2)假设n=k时，命题成立，由此推出n=k+1时成立。那么P(n)对一切自(1)第一步是递推的基础，第二步的推理根据，两步缺一/、可(2)第二步的证明过程中必须使用归纳假设。然数n都成立。2.1.1三角函数角一条射线绕着它的端点旋转所产生的图形叫做角。旋转开始时的射线叫角的始边，旋转终止时的射线叫角的终边，射线的端点叫做角的顶点。角的

16、单位制关系弧长公式扇形面积公式角度制弧度130k06745弧度1=ISO庸厚"旃"_弧度制M=兄c1,.=三同J/=d7=-lr2角的终边位置角的集合在x轴正半轴上aa=2M仗加在x轴负半轴上a在x轴上8亡=用叫在y轴上aa=h启+,训在A象限内2鞭启<Q<2nff-JTrHy津cZ在第二象限内2月郡+-<2hv+后，州比2在第三象限内口3+芯<2M北+,%Z在第四象限内3cf|+一正<a<2m:+2,2I2I特殊角的角函数值函数/角0IF77J1rl2i2Hsina021亘210-10cosa1也2也FlI0-101tana0g31不存

17、在0不存在0cota不存在10不存在0不存在角函数的性质函数定义域值域奇偶性周期性单调性y=sinxRE奇函数T=2w在比三加+月22（k丘Z）上是增函数在2履+,2丽+手（AfZ）上是减函数iy=cosxR川偶函数在2上店1%2宜吸上q1上是增函数在2白7,2际第+（fc1上是减函数:）：）y=tanxjr|i阻r*存R奇函数T=IT在（kJ,加+；）（匕2）上是舸数y=cotx7|xeR且ihR奇函数f=北在（悦加+吸丘Z）上是减函数角/函数正弦余弦正切余切-a-sinacosa-tana-(ota900acosasinacotatana900+acosa-sina-cota-tma180

18、0-asina-cosa-tana-(ota1800+a-sina-cosatanacota2700-a-cosa-sinacotatana2700+a-cosasina-cota-tma3600-a-sinacosa-tana-(ota上弼°+口sinacosatanacota同角公式倒数关系sifidcscdalcosaseed=1tana-cota=1和差角公式倍角公式万能公式半角公式积化和差公式和差化积公式商数关系sin 日, cosahnn=st"cosasin a平方关系sin2 a + cos2i? = i 1 + tan2 a =221 + cot a= e

19、sc ase? a/sin2& = 2 cos&cos2a - cos a - sin a -2 cos -1 - 1 - 2 sin a2 tan 日tan2 曰=71-tan* a2 tan1-tan2 2 tan222sing = cost? = tant?=4 a &*2 仪*2a1 +taii -14-tfiii -1 tan -sind cos/? = |siri(a +为十-向2cos/ Sui# - - sin(d + 0 - sit® - Q) 2cosaccis £= cos(ci + +。05缶-茄sinasm/? = - -u

20、hQ +0)- C80 -伪八、.0 + 3&-乳口曰 +5in /> =cos22sinta - sin V =上 cossin产？2COSO +COS 6 = 2 coscos222.1.1复数复数的定义引入虚数单位i,规定i2=1,i可以和实数一起进行通常的四则运算，运算时原有力口乘运算仍然成立。形如：a+bi（a,b为实数）a-实部b虚部复数的表小形式代数形式角形z=r(cosa+!sind)r=卜+炉模Q辐角(白+历)±(r+如=±q+(5士d)i(a+bi)(c-di)-(ac-bd)+(由d+bc)ia+bi+的(o-di)ac+bdbe-ad。

21、+加(c+匈”由)/十笳十(:W8、n同时为零)复数的运算(cosSj+j'rj(costf2+1sin白？)-丫口0口5(%+电)+台in(比+fi2)McgJ】+ir1/一=3QS-日加E皿玩-出)r2(cosS24-jsinS2)勺r(cos4-jsinff)n=r1-(coshS+sin月由r(cosfi+fsin0)的内次方根是：物(ccs+jsin)(后=12,打-1)2.2排列、组合分类计数原理分步计数原理做一件事，完成它需要分成n个步骤。做一件事，完成它有n类不问的办法。第一类办法中有ml种方法，第二第一中后ml种方法，第一步中启m2类办法中mm2种方法,第n央办法中启

22、mn种方法，则完成这件事共种方法,，第n步中有mn种方法，则有：N=m1+m2+mn种方法。完成这件事共后：N=m?m2?,?mn种方法。注意：处理实际问题时，步骤”。要善于区分是用分类计数原理还是分步计数原理，这两个原理的标志是“分类”还是“分排列组合m(m<n)个儿素,按照从n个不向的兀素中，任取m(m<n)个从n个小向的兀素中取一定的顺序排成一排，叫做兀素笄成一组，叫做从n个不同的兀素从n个小向的兀素中取m个兀素的排列。中取m个兀素的组合。排列数组合数从n个小向的兀素中取m(mWn)个兀素从n个小向的兀素中取m(mn)/兀素的所七排歹U的午数，叫做从n个不同兀素中取出m个兀素

23、的排列数，记为Pnm的所有组合的个数，叫做从n个小同兀素中取出m个儿素的组合数，记为Cnm选排列数全排列数C；=工(常用于数值计算)ml讨-m+1)(常用千数值计算)&1常用干视5-砌=n词见定01=17=:常用于字母计兑和证明)北！01-m)!重要性质:规定*1.粮_尸由一剧_富就一】L8乙期m+11L?i十字母计算和证明)(口+妨*+或产犷+*"%*.+*8任因此公式所表示的定理叫二项式定理项式定理图/+。3，+射叫做(口+与怨的二项展开式c2d，U叫做二项式系数通项公式:5+1=片5一1飞-0X2可项数：n+1项(2)指数：各项中的a的指数由n起依次减少1,直至0为止；

24、b的指出从0起依次增加1,直至n为止。而每项中a与b的指数之和均等于n。(3)二项式系数：二项展开式的性质二项式的领具对称性,与两端箱硼项的二项式领相等当泌偶数时，则中间一项的系数最大当H为奇数时，中间两项的系数最大。所有二项式系教之和为'即己+C；+记；=尸各奇数项的二项式数之和等于各偶数项的二项式的系数之和即匕+CC+72.3平面几何2.3.1直线与角直线(不7E义)直线恒两方尢限延伸，匕无端点。射线在直线上某一点旁的部分。射线只有一个端点。线段直线上两点间的部分。它有两个端点。垂线如果两条直线相交成直角，那么称这两条直线互相垂直。其中一条叫另一条的垂线，它们的交点叫垂足。斜线如果

25、两条直线不相交成直角时，其中一条直线叫另一条直线的斜线。点到直线的距离从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线距离。线段的垂直平分线定理：线段的垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等。平行线在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线。平行线公理及推论经过直线外一点，有一条而且只价-条直线和这条直线平行。平行于同一条直线的两条直线平行。角的定义有公共点的两条射线所组成的图形，叫做角角的分类周角：3600平角：1800直角：900锐角：00<a<900钝角：900<a<18002.3.2三角形三角形的分类按角分锐角三角形，钝角三角形，直角三角形按边分等腰三角形，

26、等边三角形，不等边三角形三角形的角平分线三角形一个的角的平分线和这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段，叫做三角形的角的平分线。三角形的中线连结三角形一个顶点的线段，叫做三角形的中线。三角形的高三角形一个顶点到它的对边所在直线的垂线段，叫做三角形的高。三角形的中位线连结三角形两边中点的线段，叫做三角形的中位线。全等三角形定义能够完全重合的两个三角形叫全等三角形。性质全等三角形的对应边、对应角、对应的角的平分线、高及中线相等。判定任意三角形直角三角形(1)两边及夹角对应相等。记为SAS(1)一边一锐角对应相等(2)两角和一边对应相等。记为ASAA或AAS(2)两直角边对应相等。(3)三边

27、对应相等。记为SSS(3)斜边、直角边对应相等(HL)三角形的四心名称定义性质内心三角形三条内角平分线的交点，叫做三角形的内心(即内切圆的圆心)(1)内心到三角形三边的距离相等。(2)三角形一个顶点与内心的连线平分这个角。外心三角形三边的垂直平分线的交点，叫做三角形的外心。(即外接圆的圆心)(1)外心到三角形的三个顶点的距离相等。(2)外心与三角形一边中点的连线必垂直该边。(3)过外心垂直于三角形一边的直线必平分该边。重心三角形三条中线的交点，叫做三角形的重心。(1)重心到每边中点的距离等于这边中线的三分之一。(2)三角形顶点与重心的连线必过对边中点。垂心三角形三条高的交点，叫做三角形的垂心。

28、二角形的一个顶点与垂心连线必垂直于对边。2.4立体几何2.4.1直线与平面平面的基本性质图形作用4:平行于同一直线的两条直线互相平定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，并且方向相同，那么这两个角相等。心力为二异面直线，bfa"R日"瓦口、，所成的捌角值角）口，叫做异面直线a与b所成的角（0。4以£见口）若期_L。干儿期15干区则直线”叫两条异面直线双方的公垂线。线段加的长度叫异面直线帛5的距离。）直线在平面内有无数个公共点）直线和平面相交一一有且只有一个公共点）直线和平面平行一一没有公共点）、m-rpn7EXE理性质定理直线与平面所成的角(1)平面的斜线

29、和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条斜线与平面所成的角(2)一条直线垂直于平面，定义这直线与平面所成的角是直角(3)一条直线和平囿平行，或在平囿内，定义它和平囿所成的角是00的角三垂线定理在平囿内的一条直线，如果和这个平囿的一条斜线的射影垂直，那么它和这条斜线垂直三垂线逆定理在平囿内的一条直线，如果和这个平囿的一条斜线垂直，那么它和这条斜线的射影垂直空间两个平囿两个平面平行判定性质(1)如果一个平囿内有两条相父直线平行于另一个平囿，那么这两个平囿平行(2)垂直十同一直线的两个平面平行(1)两个平面平行，其中一个平面内的直线必平行于另一个平囿(2)如果两个平行平囿同时和第三个平囿相交，那么它们

30、的交线平行(3)一条直线垂直于明个平行平囿中的一个平囿，它也垂直于另一个平面相交的两平面二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫二面角的线，这两个丰平曲叫二面角的面二面角的平面角：以二面角的棱上任一点为端点，在两个面内分另作垂直棱的两条射线，这两条射线所成的角叫二面角的平面角平囿角是直角的一间角叫做直一面角两平判定性质面垂直如果一个平囿经过另一个平囿的一条垂线，那么这两个平向互相垂直(1)若一平囿垂直，那么在一个平囿内垂直于它们的交线的直线垂直于另,个平囿(2)如果两个平囿垂直，那么经过第一个平囿内一点垂直于第二个平面的直线，在Q个平面内2.4.2多面体、棱柱、棱锥

31、多面体7E义由若十个多边形所围成的儿何体叫做多向体。棱柱斜棱柱：侧棱不垂苴于底囿的棱柱。直棱柱：侧棱与底回垂苴的梭柱。正棱柱：底面是正多边形的直棱柱。棱锥正棱锥：如果棱锥的底向是止多边形，并且顶点在底向的射影是底向的中心，这样的棱锥叫正棱锥。球到一定点距离等于定长或小于定长的点的集合。欧拉定理简单多向体的贝点数V,棱数E及囿数F间有关系：V+F-E=2多面体侧面积公式111»1电检序=chS正检隹跑S正嫉610=)人体积公式%度=旗%*=*%曹亭5+£+刈球球的表面积；5=4。球的体现选2.5解析几何2.5.1方程与曲线程与线既念在平囿直角坐标系中，如果某曲线C上的点的坐标

32、xx,y)都是方程F(x,y)=0的解；反之方程F(x,y)=0的解为坐标的点(x,y)都在曲线C上，那么方程F(x,y)=0叫曲线C的方程，曲线C叫方程F(x,y)=0的曲线。已k曲，戋*它，呈步(1)建立适当坐标系，用(x,y)表示曲线上点P的坐标；(2)写出适合条件M的点P的集合(3)用坐标表示条件M(P),列出方程；f(x,y)=0(4)化方程f(x,y)=0为取间形式(5)证明化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点如曼城立，那么时过，即乂就是说W是B成立的充分条件必 要 条 件充条 牛如果B成立，那么工成立，即Bn4或者，如果H不成立,那么礴不成立，这时我们就说总是E成立的必要条件

33、如臬R=又有我们就说/是8成立的充分必要条件，简称充要条件，即HoE，戋 的i呈点斜式：六即=比。7口）直线与x轴垂直不能用斜费式;j = kx+b直线与x轴垂直不能用两点式：31 = 31f 勺71直线与坐标轴垂直不能用鞭式+1 = 1 a b直线与坐标轴垂直或过原点不能用一般式：如+即+C =。A B不全为零2.5.2直线占八、U +5表示点a°,九）到直线也+班+c=口的距离到两心,=即工+mr+Bj+C=007=无"+B/+=。条直线的关系及条件平行重合垂直砾o瓦与且也丰啊,与不与1轴垂直或3_=£l#£l也比C,，】与“重合O即能且康1=/式4

34、与6不与后由垂直）或合*j_L4O儿电=-1&与以均不与轴垂直）或肉肉十场为=0，戋的距斜交入JCr八I瓦rkN0<S<-tandH-21+附2经过二直城h：=0J2t4jr+Baj+C2=0的交点的直线系方程口吓含直线4,+为+Q=0）小+的+G+a（41K+显了+0）=0a为任意实数）2.5.3圆定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆，定点是圆心，定长是半径。标准方程一般方程圆似地半径T+j2+Px+=0（其中D。即-4f>0）圆点与圆的位置关系直线与圆的位置关系圆与圆的位置关系点R"力）圆心eg3半径/Fffi圆内Kr唯圆上UPC=r拉圆外o

35、|FC»r圆心C®直线£的跑离为区圆的半径为,，则相离Od>7相切od=r相交ode过囱=/上一点（%,人）回的切线方程：殉，+人了=户圆心距为d两圆半径为勺与勺外离0d>口+勺外切Od=/i+巳外离O卜1-nKd（斗。内切=0=|门-与|内含0dY12.5.4椭圆几何性质范围1仔1昨占所以在由直线1=土a=场围成的矩形内对称性坐标轴是椭圆的对称由，原点是椭圆的对称中心。椭圆的对称中心叫做椭圆的中心。顶点46珥口）,为血吸务。-办国与叫做桶圆的顶点4均叫长轴，瓦为叫短轴；长半轴为部短半向为方离心率ce=（0<e<f）a白越接近L椭圆越扁；&

36、#163;越接近。，椭圆越接近千圆2.5.5双曲线双k线定义：平囿内到两个定点F1,F2的距离之差的绝对值是常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做焦点，两定点间的距离叫做焦距。标准方程J，1=1Q小口)/“蛰象Pv“1lyUi11_jIyFl°/I1?2X/O工A隹自F1(-c,0)F2(c,0)F1(0,-c)F2(0,-c)焦距范围|MN口所以双曲线在两条直跋I=4=r的外例1对称性坐标轴是椭圆的对称由，原点是椭圆的对称中心。椭圆的对称中心叫做椭圆的中心。几何性质顶点同-娟）/（羽，叫做双曲线的顶点从义喉町胪州虚轴；渐近线/=土工叫做双典线的渐近线a。=6的

37、双曲线叫做等轴双曲线离心率g=E叫做双曲线离心率（>1）a越大，双曲线的开口越开阔2.5抛物线抛物定义：平面内与一个定点F和一条定直线L距离相等的的轨迹叫做抛物线，点F叫做抛物线的焦点，直线L叫做抛物线的准线。2.6向量部分2.6.1空间向量空间向量的概念在空间内具有大小和方向的量叫做和向量共线向量定理时干空间任间两个向量0Kb沸0）,a!lbXbJ共向向量定理如果两个向量比杆其线，则向量声向量0洪圜的充要条件是存在实数对用>使£=高+了行空间向量基本定里如果三个向量£匕）不共面，那么对空间任一向量2存在惟一的有序实数对（号力,使p=m+5+ec两个向量的数量积

38、向量R的数量积：$=旧|3|cos<a,b>。响量熊在鞋Lt或方向上的投靠：AB=|XS|cos<珥咫>=口电空间向量的数量积的性质f(l)oe=|以|cos<a,e>(2)alb<a1=1(3)a=aa空间向量的坐标运算设口三g】,方）小三如办约则a+6=a2+%色十屯3），ff由一占=|；口一瓦，日24>2*日3%）；孙,孙孙），ab-ai&i+djijj+&三6二口"8O为=舫，口，=必3a_L8=dj&j+4口与+=。两向量的夹角设日=31，翅炉）2三（%53，g>则川+0+城旧+短+短2.6.2平

39、面向量平向向量的概念在平囿内具有大小和方向的量叫做和向量运算性质&+b=b+nr»9+8)+c-口+。+。u+。=0+a=0实数与向量的积定义；l3当工>时,忘与洞向,|北同；1|同3；1<卯七九占甚向,|船卜|1|白|运算律册修)=(4旧(4+户)a=la+/iflA(a+&)=la+A/bab=ba(Ad)b-a-(1)=X(a-&)(口t沙。=ab+bc平面向量基本定如果忘后是同一平面的两个不共线向邕那么对该平面内的任一向量，有且只有一对宪教工九总使以=%+与叼向量平行两向量平行的充要条件affb<>a=1b设0=。1，门）3=（

40、n%）,则以"5=丁/:一丁？7=0向重垂直两向量平行的充要条件：0_l3=£1W=。设日=（勺。3/立则a±50,+1271=口定比分点公式设户（“）（知）,与（5力），且户1户="改，勺十入町T.'1+1/i+VaC-1+A三、常用公式3.1 常用公式公式分类公式表达式乘法与因式分解a2-b2=(a+b)(a-b)a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)三角不等式|a+b|&|a|+|b|a-b|<|a|+|b|a|&b<=>-b<a<b|a-b|>

41、;|a|-|b|-|a|waw|a|一兀二次方程的解-b+v/(b2-4ac)Z2a-b-b+，(b2-4ac)/2a根与系数的关系X1+X2=-b/aX1*X2=c/a注韦达定理判别式b2-4a=0注方程有相等的两实根b2-4ac>0注方程有一个实根b2-4ac<0注方程有共钝复数根三角函数公式两角和公式sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinBsin(A-B)=sinAcosB-sinBcosAcos(A+B)=cosAcosB-sinAsinBcos(A-B)=cosAcosB+sinAsinBtan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)tan

42、(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)ctg(A+B)=(ctgActgB-1)/(ctgB+ctgA)ctg(A-B)=(ctgActgB+1)/(ctgB-ctgA)倍角公式tan2A=2tanA/(1-tan2A)ctg2A=(ctg2A-1)/2ctgacos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a半角公式sin(A/2)=v/(1-cosA)Z2)sin(A/2)=-v/(1-cosA)/2)cos(A/2)=v/(1+cosA)/2)cos(A/2)=-v/(1+cosA)/2)tan(A/2)=v/(1-cosA)/(1+cosA)t

43、an(A/2)=-v/(1-cosA)/(1+cosA)ctg(A/2)=V(1+cosA)/(1-cosA)ctg(A/2)=-v/(1+cosA)/(1-cosA)和差化积2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B)2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B)2cosAcosB=cos(A+B)-sin(A-B)-2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B)sinA+sinB=2sin(A+B)/2)cos(A-B)/2cosA+cosB=2cos(A+B)/2)sin(A-B)/2)tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosBtanA-tanB=s

44、in(A-B)/cosAcosBctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB-ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB某些数列前n项和1+2+3+4+5+6+7+8+9+,+n=n(n+1)/21+3+5+7+9+11+13+15+,+(2n-1)=n22+4+6+8+10+12+14+,+(2n)=n(n+1)12+22+32+42+52+62+72+82+,+n2=n(n+1)(2n+1)/613+23+33+43+53+63+,n3=n2(n+1)2/41*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+,+n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3正弦定理a/sinA=b

45、/sinB=c/sinC=2R注其中R表示三角形的外接圆半径余弦定理b2=a2+c2-2accosB注角B是边a和边c的夹角圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2注(a,b)是圆心坐标圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0注D2+E2-4F>0抛物线标准方程y2=2pxy2=-2pxx2=2pyx2=-2py直棱柱侧面积S=c*h斜棱柱侧面积S=c'*h正棱锥侧面积S=1/2c*h'正棱台侧面积S=1/2(c+c')h'圆台侧面积S=1/2(c+c')l=pi(R+r)l球的表面积S=4pi*r2圆柱侧面积S=c*h=2pi*h圆锥侧面积

46、S=1/2*c*l=pi*r*l弧长公式l=a*ra是圆心角的弧度数r>0扇形面积公式s=1/2*l*r锥体体积公式V=1/3*S*H圆锥体体积公式V=1/3*pi*r2h斜棱柱体积V=S'L注：其中，S'是直截面面积，L是侧棱长柱体体积公式V=s*h圆柱体V=pi*r2h3.2 几何图形及计算公式平面图形名称符号周长C和面积S止方形a一边长C=4aS=a2长方形a和b-边长C=2(a+b)S=ab三角形a,b,c三边长S=ah/2ha边上的高=ab/2-sinCs一周长的T=s(s-a)(s-b)(s-c)1/2A,B,C内角=a2sinBsinC/(2sinA)其中s

47、=(a+b+c)/2四边形d,D对角线长S=dD/2-sinaa对角线夹角平行四边形:a,b一边长S=ahha边的高=absinaa两边夹角菱形a一边长S=Dd/2“一夹角=a2sinaD长对角线长d短对角线长梯形a和b一上、下底长S=(a+b)h/2h高=mhmi-中位线长圆r半径C=兀d=2兀rd一直径S=兀r2=兀d2/4扇形r一扇形半径C=2r+271rx(a/360)a一圆心角度数S=兀r2x(a/360)弓形1l弧长S=r2/2(兀a/180-sina)b弦长=r2arccos(r-h)/r-(r-h)(2rh-h2)1/2h矢高=兀ar2/360-b/2r2-(b/2)21/2r

48、半径=r(l-b)/2+bh/2“一圆心角的度数2bh/3圆环R外圆半径S=兀(R2-r2)r内圆半径=兀(D2-d2)/4D外圆直径d内圆直径椭圆D长轴S=兀Dd/4d短轴立方图形名称符号面积S和体积V正方体a一边长S=6a2V=a3长方体a-长S=2(ab+ac+bc)b宽V=abcc-iWj棱柱S一底面积V=Shh高棱锥S一底面积V=Sh/3h高棱台S1和S2上、下底面积V=hS1+S2+(S1S1)1/2/3h高拟柱体S1一上底面积V=h(S1+S2+4S0)/6S2一下底面积S0中截面积h高圆柱r底半径C=271rh高$底=兀r2C一底向周长$侧=ChS底底向积$表=Ch+2s底S侧一侧面积V=S底hS表表面积=兀r2h空心圆柱R外圆半径V=兀h(R2-r2)r内圆半径h高直圆锥r底半径V=兀r2h/3h高圆台r上底半径V=兀h(R2+Rr+r2)/3R下底半径h高球r半径V=4/3兀r3=兀d2/6d一直径球缺h球缺高V=兀h(3a2+h2)/6r球半径=兀h2(3r-h)/3a球缺底半径a2=h(2r-h)球台ri和r2球台上、下底半径V=兀h3(r12+r22)+h2/6h高圆环体R环体半径V=2n2Rr2D-环体直径=兀2Dd2/4r环体截面半径d环体截向直径桶状体D桶腹直径V=兀h(2D2+d2)/12d桶底直径（母线是圆弧形，圆心是桶的中心）hWWV=兀h（