简单几何体外接球与内切球问题

1、简单几何体的外接球与内切球问题定义1:若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是这个多面体的外接球。定义2:若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，则称这个多面体是这个球的外切多面体，这个球是这个多面体的内切球。1内切球球心到多面体各面的距离均相等，外接球球心到多面体各顶点的距离均相等。2、正多面体的内切球和外接球的球心重合。3、正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上，但不重合。4、基本方法：构造三角形利用相似比和勾股定理。5、体积分割是求内切球半径的通用做法。一、直棱柱的外接球1长方体的外接球：长方体中从一个顶点出发的三条棱长分别为 a,b,c,则体对

2、角线长为la2 b2 c2，几何体的外接球直径2R为体对2 2 2角线长I即R= a b C22、正方体的外接球：正方体的棱长为a，则正方体的体对角线为3a，其外接球的直径2R为、.3a。3、其它直棱柱的外接球：方法：找出直棱柱的外接圆柱，圆柱的外接球就是所求直棱柱的外接球。例1、一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的 体积为9，底面周长为3,则这个球的体积为8例2、已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4,体积为16,则这个球的表面积是A. 16 二 B.20 二C. 24 二 D.32 二二、棱锥的外接球1、正棱锥的外接球方法：球

3、心在正棱锥的高线上，根据球心到各个顶点的距离是球半径，列出关于半径的方程。例3、正四棱锥S-ABCD的底面边长和各侧棱长都为2，点S、A、B、C、D都在同一球面上，贝卩此球的体积为例5、若正四面体的棱长为4,则正四面体的外接球的表面积为 。例6、一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是：（）（A） 3 3（B） 亠 （C） 亠 （D）3434122、补体方法的应用（1）、正四面体（2）、三条侧棱两两垂直的三棱锥（3）、四个面均为直角三角形的三棱锥例7、如果三棱锥的三个侧面两两垂直，它们的面积分别为6cm2、4cm2和3cm2，那么它

4、的外接球的体积是 例 9、在三棱锥 A - BCD 中，AB 平面 BCD,CD BC , AB = 3, BC = 4, CD = 5则三棱锥A-BCD外接球的表面积。例10、如图为一个几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为（）左视图D. 16 nA. 4 nB. 8 n C. 12 n三、圆柱、圆锥的外接球 旋转体的外接球，可以通过研究轴截面求球的半径。例11、圆柱的底面半径为4,母线为8，求该圆柱的外接球的半径。例12、圆锥的底面半径为2,母线长为4,求该圆锥的外接球的半径。四、正方体的内切球设正方体的棱长为a，求（1）内切球半径；（2）与棱相切的球半径。（1）截面图为正方形EFG

5、H的内切圆，得;（ 2）与正方体各棱相切的球：球与正方体的各棱相切，切点为各2棱的中点，作截面图，圆O为正方形EFGH的外接圆，易得 a。2图1D1C1图2五、棱锥的内切球（分割法） 将内切球的球心与棱锥的各个顶点连线，将棱锥分割成以原棱锥的面为底面，内切球的半径为高的小棱锥，根据分 割前后的体积相等，列出关于半径 R的方程。若棱锥的体积为 V，表面积为S,则内切球的半径为r = 3V .S例17、正四棱锥S-ABCD，底面边长为2,侧棱长为3,则内切球的半径是多少？例18、三棱锥P-ABC中，底面ABC是边长为2的正三角形，PA丄底面ABC，且PA=2，则此三棱锥内切球的半径为（）六、圆柱（

6、轴截面为正方形）、圆锥的内切球（截面法） 例19、圆锥的高为4,底面半径为2,求该圆锥内切球与外接球的半径比。例20、圆柱的底面直径和高都是6，求该圆柱内切球的半径。巩固训练：个底面和三个侧面都相切）和一个外接球表面积之比为。P- ABCDEF，则此正六棱锥的侧面积是1、一个正三棱柱恰好有一个内切球（球与三棱柱的两（球经过三棱柱的6个顶点）,则此内切球与外接球2、 如图，半径为2的半球内有一内接正六棱锥3、棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个球面上，若过该球球心的一个截面如图，则图中三角形（正四面体的截面）的面积是.4、已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上，ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC = 2；则此棱锥的体积为（）A.迈B.乜C.辽D.辽66325、已知点P,A,B,C,D是球0表面上的点，PA丄平面ABCD四边形ABCD是边长为2-3正方形.若PA=2 6 ,则厶OAB勺面积为.一个正四更甲的內切球，外接球，棱切球的半径如何计算2已知正四的棱长为小 求它的外接球半径、內切球半径、棱切球半径, 解：由正四面体的对称性与球册对称性知球心在正四面体的高上.心设外接