2021届课标版高考文科数学一轮复习学案：三角函数、解三角形第3节三角函数的图像与性质

1、第三节 三角函数的图像与性质最新考纲1.能画出y=sin x, y = cos x, y= tan x的图像，了解三角函数的周期性.2.理解正弦函数、余弦函数在0,2兀上的性质（如单调性、最大值和最小值、图像与 x 兀 兀 轴的交点等），理解正切函数在区间内的单调性.1.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图兀正弦函数 y = sin x, x C 0,2兀图像的五个关键点是：（0,0）, 万，1 ,（兀，0）,3 兀，一2, - 1 , （2 兀，0）.八一、一，一 ,，、I , 一兀余弦函数y= cos x, xC0,2兀图像的五个关键点是：（0,1） , , 0 ,（兀，1）,3兀-,0 ,

2、 （2 兀，1）.2.正弦函数、余弦函数、正切函数的图像与性质函数y= sin xy= cos xy= tan x图像)1h定义域RR.兀，一xxwk 兀+ 万，kCZ值域1,11,1R单调性递增区间：兀.兀2k 兀一 =,2k % + =2-2 ke Z,递减区间：.兀3tt2k 兀 + 2 , 2k 兀 + 2 ,kC Z递增区间：2 k兀兀,2k%,kCZ,递减区间：2k%, 2k 兀 +兀,kCZ递增区间,兀，兀，Lrk 兀2, k n + - , k C Z奇偶性奇函数偶函数奇函数对称性对称中心（k兀，0）, k e Z对称中心.兀一."十 =2也£ Z k 兀

3、_. _ _ 对称中心,ke Z对称轴x=k兀+5(ke Z)对称轴 x =kjt (ke Z)周期性2兀2兀兀常用结论1.正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期，相邻，M I、. ，I I 1 . 的对称中心与对称轴之间的距离是7个周期.42 .正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期.3 .对于函数y = Asin（ cox+（H,其对称轴一定经过图像的最高点或最低点，对称中心的横坐标一定是函数的零点.一、思考辨析（正确的打“，”，错误的打“X”）函数y= sin x的图像关于点（k- 0）（kCZ）中心对称.（）（2）正切函数y= tan x在定义域内是增函

4、数.（）已知y= ksin x+1, xCR,则y的最大值为k+1.（）(4)y=sin | x| 与 y=|sin x| 都是周期函数.()答案(1) V (2) X (3) X (4) X二、教材改编1 .函数y= tan 2 x的定义域是()一.兀,一A. x xw kn T4-, kC Zk兀兀B. x xw-2-+ , kC ZC. x xw ku 十 9,ke zD. x x2L+ -4, kezD 由 2xwkTt + 2, kCZ,彳导 xw -2-+ , k Z, .y = tan 2 x 的定义域为 xxw§匚十4, k Z .一.一一 兀.一.一.一2 .函数f

5、 (x) = cos 2x+ 的取小正周期是 4兀t= "2"=兀.3 . y= sin 2x- - 的单调减区间是 .9+ kjt, 7-+kTt (k Z)由+2knt W2 x3w 等+ 2kTt , kCZ 得， 等 十882428kTt< x<7zL+kTt, kCZ.兀兀4-y=3sin 2x一不在区间0,万上的值域是3.Tt .TT-2, 3当.0,万时，2x-丁,c兀一1.sin 2x £1 ,624 c c 兀 <3 c故 3sin 2x- 63 ,62rrc 兀3 c即 y=3sin 2x"6"的值域为一2

6、, 3 .。考点1三角函数的定义域和值域1 .三角函数定义域的求法(组)，常借助三角函数线或三角函求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式数图像来求解.2 .求三角函数最值或值域的常用方法(1)直接法：直接利用 sin x和cos x的值域求解.(2)化一法：把所给三角函数化为y=Asin( cox+巾)+k的形式，由正弦函数单调性写出函数的值域.(3)换元法：把 sin x, cos x, sin xcos x或sin x±cos x换成t,转化为二次函数 求解.一一兀 1 .函数f(x) =- 2tan 2x+y 的定义域是()A.B.x xw兀12C. x x* k n +

7、 kCZd. x处 kJ 兀兀D 由正切函数的定义域，得2x+kTt +-2, kCZ,即 xwk2 +-6(k Z),故选 D.2. (2019 全国卷I )函数f (x) = sin 2x+ 3cos x的最小值为 4 f (x) = sin 2x+2- - 3cos x= cos 2 x 3cos x= 2cos2x3cos x+ 1,令 cos x=t ,贝U t C 1,1.一，2,3 217f(t)=- 2t -3t + 1 = -2 t +482勿知当 t = 1 时，f(t)min= 2X1 3X1 + 1 = 4.故f(x)的最小值为4.兀兀13 .已知函数 f(x)=sin

8、 x + - ,其中xC a ,右f(x)的值域是 一.1 ,则 实数a的取值范围是.兀兀兀兀兀至，兀 x e -3, a , . x + -6-£ 豆,a+6 , 兀兀 Tt . . 1丁当x+6 e ,万时，f(x)的值域为一万，1 ,兀兀7兀兀，由函数的图像(图略)知5w a+王aw兀. 26634 .函数 y=sin x cos x+sin xcos x 的值域为 .12.222一勺2, 1设 t = sin x cos x,贝U t =sin x+ cos x 2sin x - cos x, sin xcos 1t2x 2 ，t2 ,11 ,2-,.y= ,+ t +厂寸

9、1) +1, te一小，#.当 t = 1 时，ymax= 1 ；1当 t = 一 成时，ymin= 一 万一 y2.函数的值域为 一；一2, 1 .求解三角函数的值域(最值)常见的几种类型(1)形如y = asin x+bcos x + c的三角函数化为 y = Asin( cox+() + c的形式，再求 值域(最值).2(2)形如y= asin x+bsin x + c的二角函数，可先设 sin x= t,化为关于t的一次函 数求彳1域(最彳1).(3)形如y= asin 3x+bsin 2x+csin x+d,类似于(2)进行换元，然后用导数法求最值.。考点2三角函数的单调性(1)形如

10、y=Asin( wx+巾)的函数的单调性问题，一般是将wx+巾看成一个整体，再结合图像利用y=sin x的单调性求解.(2)如果函数中自变量的系数为负值，要根据诱导公式把自变量系数化为正值，再确定 其单调性.者向1求三角函数的单调性一 _兀 (1)函数f(x) = tan 2x-的单倜递增区间是()3ku兀k%5兀(kCZ)k兀兀k兀5兀B. 2 2 + 12 (k Z)C. k 兀 H, k 兀 H- (k C Z) 63D. k7t亚,kn + 2"(kez)1(2)(2019 大连模拟 )函数 y=Sin x + gcos x xC 0, 的单倜递增区间是_八 兀,.兀_兀.兀

11、. B (2) 0, -6(1)由 kn亍 V2x一万 v kTt + y(kZ),彳#k-2L-11<x<k-2L+51f(kZ),兀ku % ku 5 %所以函数f(x)=tan 2x-y的单调递增区间为,+2 (kCZ),故选B.(2) / y= 2sin x +岑cos x= sin x+-3 ,.兀兀兀由 2k 兀 < x + < 2 k 兀 + (k Z),5兀兀解得 2k 兀一-6-w x<2 k % + (k Z). 5兀 兀 .，函数的单倜递增区间为2kTt7-, 2k % + ( k Z),66兀 兀又xC 0,5，单调递增区间为0,.本例(2

12、)在整体求彳#函数 y=1sin x+乎cos x的增区间后，采用对k赋值的方式兀求得xC 0,上的区间.者向2根据函数的单调性求参数(2019 西安模拟)已知3>0,兀兀函数 f (x) = sin w x +在,兀上单调递减,则3的取值范围是()A. (0,21B. 0, 2(2)(2018 全国卷n )若 f(x)=cos x-sin x在0 , a是减函数，则 a的最大值是()b.TC 37tD.兀(1)D (2)C (1)由 2kTt + 52k兀 兀2k %5 兀门十口ke z,一、,一兀，因为 f (x) = sin w x + 在7127t上单调递减,2k兀兀 兀H A-

13、& 方,34 32所以2k兀5兀+ A -拉兀，343解得因为kC Z, 3 >0,所以k= 0,15 所以,W 即3的取值氾围为1 52，-.故选D.(2)f(x)=cos xsin x=12sin兀兀 兀 一兀当 x了6 一2,万，即 xe -3兀 , V时，兀t-兀sin x一了单调递增，一 q2sin x7 单调递减,-4,是f（x）在原点附近的单调递减区间,结合条件得0,3兀 a< a 4 '即 amax=故选 C.已知单调区间求参数范围的三种方法子集法求出原函数的相应单调区间，由已知区间是所求某区间的子集，列不等式（组） 求解反子集法由所给区间求出整体角

14、的范围，由该范围是某相应正、余弦函数的某个单调 区间的子集，列不等式（组）求解周期性法* 1,一, 由所给区间的两个端点到其相应对称中心的距离不超过二周期列不等式（组）4求解兀兀兀1 .若函数f （x） =sin 3X（ 3 >0）在区间0, W 上单调递增，在区间 W，可 上单调332一 T 兀4 7t由已知得，T= 4333.兀2 .函数f(x)=sin 2x+f的单调减区间为 . 3kjt 亮，k兀+ 驾(kCZ)由已知，得函数为y=sin 2x g ,欲求函数的单12123兀调减区间，只需求y= sin 2x-v的单调增区间即可.3.兀兀兀由 2卜兀一2-w2x3w2k兀 + &

15、quot;2-, kCZ,得 k 兀一 RM x< k 兀 +12, k e 乙故所求函数的单调减区间为k 兀一行,k 兀 + 72 (k e Z) 。考点3三角函数的周期性、奇偶性、对称性求解三角函数y=sin( cox+ 6)(3>0)的周期性、奇偶性、对称性问题，其实质都 是根据y = sin x的对应性质，利用整体代换的思想求解.考向1三角函数的周期性兀兀 兀(1)(2019 全国卷n )下列函数中，以 下为周期且在区间 ,单调递增的是()A.f(x)= |cos 2 x|B.f (x)= |sin 2 x|C.f(x)=cos|x|D.f (x)= sin| x|兀(2)

16、若函数f(x)=2tan kx+y 的最小正周期T满足1<Tv 2,则自然数 k的值为(1)A (2)2或3 (1)对于选项A,作出y=|cos 2 x|的部分图像，如图 1所示，则兀 兀兀f(x)在,万 上单调递增，且最小正周期T=万，故A正确.兀 兀对于选项B,作出f(x) = |sin 2 x|的部分图像，如图 2所示，则f(x)在 ,"2上单兀调递减，且最小正周期 T=万，故B不正确.对于选项 C, f(x) =cos| x| =cos x,，最小正周期 T= 2兀，故C不正确.对于选项D,作出f(x) = sin| x|的部分图像，如图3所示.显然f (x)不是周期函

17、数， 故D不正确.故选A.图3兀(2)由题意得，1<忆V 2," k< 兀 < 2k,即< k< 兀,又 kC Z, . k=2 或 3.公式莫忘绝对值，对称抓住“心”与“轴”(1)公式法求周期 . _2 兀函数f(x)=Asin( cox+ 6 )的周期T=面一、,.，一 一,一 2 兀函数 f(x) =Acos( cox+ 6)的周期 T=-一-IaI一，一一”兀函数 f(x) = Atan( cox+ 6 )的周期 T=-11(2)对称性求周期两对称轴距离白最小值等于T；两对称中心距离的最小值等于t；对称中心到对称轴距离的最小值等于T.4(3)特征

18、点法求周期两个最大值点之差的最小值等于T;两个最小值点之差的最小值等于T;最大值点与最小值点之差的最小值等于T.特征点法求周期实质上就是由图像的对称性求周期，因为最值点与函数图像的对称轴相对应.(说明：此处的T均为最小正周期)者向2 三角函数的奇偶性一一 兀.一已知函数 f(x) = 3sin 2x-+(),巾 C (0 ,兀). 3若f(x)为偶函数，则 6=;(2)若f(x)为奇函数，则 6 =.(1)5n兀(2)3 (1)因为 f(x)=3sin 2x 6 为偶函数， 633 兀兀所以一可十巾二女兀+万，kez,又因为6 e(0 ,兀)，所以|=6-.一.一一 兀 一、.一一、“，(2)

19、因为f(x)=3sin 2x-+巾为奇函数， 3 兀所以 + 6 = k 兀，kC Z,3又 6 e (0,),兀所以 6 =.3兀右f(x) = Asin( 3X+6)(A, 3W0),则f (x)为偶函数的充要条件是()= +k% ( kC Z)；f(x)为奇函数的充要条件是 6 =kTt (kC Z).考向3三角函数的对称性兀(1)已知函数f(x)=2sin cox+至(>0)的最小正周期为4兀，则该函数的图像()A关于点 个"，0对称B.关于点 53，0对称33.兀.5 7t.C.关于直线x=y对称D.关于直线x=3对称一 兀 . 兀 兀.一 一.(2)已知函数y=si

20、n(2 x+()万<(!)< 的图像关于直线 x =-对称，则 巾的值为.兀一，一，兀一_ _(1)B (2)- 因为函数f(x)=2sin 3 x+石(3 > 0)的最小正周期是 4兀，而T=*=4兀，所以3 = 1,32.一. x It即 f (x) = 2sin 2 + .x 兀 兀 .一一 .12兀 .一一令2+3二万 + k 兀(kCZ),解得 x = + 2k % ( k Z),一一 2 兀 ._ _故f(x)的对称轴为 x=-+ 2kTt(kZ),3x 兀兀令2+6= k 兀(ke Z),解得 x= - -+ 2kjt (k Z).故f(x)的对称中心为 一万+

21、2kTt, 0 (ke Z),对比选项可知 B正确.3兀2兀(2)由题意得 f - =sin 3 F 巾=±1,.兀，.6 = k 兀 + -t-( k e Z),兀 兀兀: 6 e 万，y , -(1)=-.三角函数图像的对称轴和对称中心的求解方法. 兀若求f(x)=Asin( cox+巾)(3 W0)图像的对称轴，则只需令cox+巾=万+卜兀(kC Z), 求x；若求f (x) = Asin( cox+ 6)( 3 w0)图像的对称中心的横坐标，则只需令 cox+ 6 = k% ( k Z),求 x.兀.1 .设函数f (x) = cos x+ ,则下列结论错误的是()A. f(x)的一个周期为一2兀一 一一，一、，一 8 兀，一，B. y = f (x)的图像关于直线 x =-;一对称 3兀C. f(x+7t)的一个零点为 x = _,兀D. f(x)在 金，兀 上单倜递减兀D A项，因为f (x) =cos x +的周期为2k兀(kC Z),所以f (x)的一个周期为一2兀，3A项正确；