高考真题——文科数学大纲解析

1、2014年普通高等学校统一考试（大纲）文科第卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合，则中元素的个数为（ ）A2 B3 C5 D72. 已知角的终边经过点，则（ ）A B C D3. 不等式组的解集为（ ）A B C D4.已知正四面体ABCD中，E是AB的中点，则异面直线CE与BD所成角的余弦值为（ ）A B C D5. 函数的反函数是（ ）A B C D6. 已知为单位向量，其夹角为，则（ ）A1 B0 C1 D27. 有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同

2、的选法共有（ ）A60种 B70种 C75种 D150种 8. 设等比数列的前n项和为，若则（ ）A31 B32 C63 D649. 已知椭圆C：的左、右焦点为、，离心率为，过的直线交C于A、B两点，若的周长为，则C的方程为（ ）A B C D10. 正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高位4，底面边长为2，则该球的表面积为（ ）A B C D11. 双曲线C：的离心率为2，焦点到渐近线的距离为，则C的焦距等于（ ）A2 B C4 D12. 奇函数的定义域为R，若为偶函数，且，则A2 B1 C0 D1 （ ）第卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 的展

3、开式中的系数为 .（用数字作答）14. 函数的最大值为 .15. 设x、y满足约束条件，则的最大值为 .16. 直线和是圆的两条切线，若与的交点为（1,3），则与的夹角的正切值等于 .三、解答题 （本大题共6小题. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. （本小题满分10分）数列满足.（1）设，证明是等差数列；（2）求的通项公式.18. （本小题满分12分）的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知，求B.19. （本小题满分12分）如图，三棱柱中，点在平面ABC内的射影D在AC上，.（1）证明：；（2）设直线与平面的距离为，求二面角的大小.20. （本小题满分12分） 设每个工

4、作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6，0.5，0.5，0.4，各人是否需使用设备相互独立(1) 求同一工作日至少3人需使用设备的概率；(2) 实验室计划购买k台设备供甲、乙、丙、丁使用若要求“同一工作日需使用设备的人数大于k”的概率小于0.1，求k的最小值21. （本小题满分12分）函数f(x)ax33x23x (a0)(1) 讨论f(x)的单调性；(2) 若f(x)在区间(1，2)是增函数，求a的取值范围22. （本小题满分12分）已知抛物线C：y22px(p0)的焦点为F，直线y4与 y轴的交点为P，与C的交点为Q，且|QF|PQ|.(1) 求C的方程；(2) 过F的直线

5、l与C相交于A，B两点，若AB的垂直平分线l与C相交于M，N两点，且A，M，B，N四点在同一圆上，求l的方程2014高考大纲版理科数学参考答案一、选择题1B解析 根据题意知MN1，2，4，6，81，2，3，5，6，71，2，6，所以MN中元素的个数是3.2D解析 根据题意，cos .3C解析 由得即0<x<1.4B解析 如图所示，取AD的中点F，连接EF，CF，则EFBD，故EF与CE所成的角即为异面直线CE与BD所成的角设正四面体的棱长为2，则CECF，EF1.在CEF中，cos CEF，所以异面直线CE与BD所成角的余弦值为.5D解析 因为yln(1)，所以x(ey1)3.因为

6、x>1，所以yR，所以函数yln(1)(x>1)的反函数是y(ex1)3(xR)6B解析 因为a，b为单位向量，且其夹角为60°，所以(2ab)·b2a·bb22|a|b|cos 60°|b|20.7C解析 由题意，从6名男医生中选出2名，5名女医生中选出1名组成一个医疗小组，不同的选法共有CC75(种)8C解析 设等比数列an的首项为a，公比为q，易知q1，根据题意可得解得q24，1，所以S6(1)(143)63.9A解析 根据题意，因为AF1B的周长为4，所以|AF1|AB|BF1|AF1|AF2|BF1|BF2|4a4，所以a.又因为椭

7、圆的离心率e，所以c1，b2a2c2312，所以椭圆C的方程为1.10A解析 如图所示，因为正四棱锥的底面边长为2，所以AEAC.设球心为O，球的半径为R，则OE4R，OAR.又因为AOE为直角三角形，所以OA2OE2AE2，即R2(4R)22，解得R，所以该球的表面积S4R242.11C解析 易知双曲线1的渐近线方程是y±x，不妨设焦点(c，0)到其中一条渐近线xy0的距离为，则，整理得b.又双曲线C的离心率e2，c2a2b2，所以c2，即2c4，即双曲线C的焦距等于4.12D解析 因为f(x2)为偶函数，所以其对称轴为直线x0，所以函数f(x)的图像的对称轴为直线x2.又因为函数

8、f(x)是奇函数，其定义域为R，所以f(0)0，所以f(8)f(4)f(4)f(0)0，故f(8)f(9)0f(5)f(5)f(1)f(1)1.二、填空题13160解析 (x2)6的展开式的通项为Tr1Cx6r(2)r，令6r3，解得r3.因为C(2)3160，所以x3的系数为160.14. 解析 因为ycos 2x2sin x12sinx22sin x2，所以当sin x时函数ycos 2x2sin x取得最大值，最大值为.155解析 如图所示，满足约束条件的可行域为ABC的内部(包括边界)，zx4y的最大值即为直线yxz的截距最大时z的值结合题意知，当yxz经过点A时，z取得最大值，联立x

9、y0和x2y3，可得点A的坐标为(1，1)，所以zmax145.16. 解析 如图所示，根据题意知，OAPA，OA，OP，所以PA2 ，所以tan OPA，故tan APB，即l1与l2的夹角的正切值等于.三、解答题17解：(1)由an22an1an2，得an2an1an1an2，即bn1bn2. 又b1a2a11，所以bn是首项为1，公差为2的等差数列(2)由(1)得bn12(n1)，即an1an2n1.于是 ，所以an1a1n2，即an1n2a1.又a11，所以an的通项公式ann22n2.18解：由题设和正弦定理得3sin Acos C2sin Ccos A，故3tan Acos C2s

10、in C.因为tan A，所以cos C2sin C，所以tan C，所以tan Btan180°(AC)tan(AC)1，所以B135°.19解：方法一：(1) 证明：因为A1D平面ABC，A1D平面AA1C1C，故平面AA1C1C平面ABC.又BCAC，平面AA1C1C平面ABCAC，所以BC平面AA1C1C.连接A1C，因为侧面AA1C1C为菱形，故AC1A1C.由三垂线定理得AC1A1B.(2) BC平面AA1C1C，BC平面BCC1B1，故平面AA1C1C平面BCC1B1.作A1ECC1，E为垂足，则A1E平面BCC1B1.又直线AA1平面BCC1B1，因而A1E

11、为直线AA1与平面BCC1B1的距离，即A1E.因为A1C为ACC1的平分线，故A1DA1E.作DFAB，F为垂足，连接A1F.由三垂线定理得A1FAB，故A1FD为二面角A1­ AB ­ C的平面角由AD1，得D为AC中点，所以DF，tanA1FD，所以cosA1FD.所以二面角A1­ AB­ C的大小为arccos.方法二：以C为坐标原点，射线CA为x轴的正半轴，以CB的长为单位长，建立如图所示的空间直线坐标系C ­ xyz.由题设知A1D与z轴平行，z轴在平面AA1C1C内(1) 证明：设A1(a，0，c)，由题设有a2，A(2，0，0)

12、，B(0，1，0)，则(2，1，0)，(2，0，0)，(a2，0，c)，(a4，0，c)，(a，1，c)由|2，得2，即 a24ac20.又·a24ac20，所以AC1A1B.(2) 设平面BCC1B1的法向量m(x，y，z)，则m，m，即m·CB0，m·0.因为(0，1，0)，(a2，0，c)，所以y0，且(a2)xcz0.令xc，则z2a，所以m(c，0，2a)，故点A到平面BCC1B1的距离为|·|cosm，|c.又依题设，A到平面BCC1B1的距离为，所以c，代入，解得a3(舍去)或a1，于是(1，0，)设平面ABA1 的法向量n(p，q，r)，

13、则n，n，即n·0，n·0，所以pr0，且2pq0.令p，则q2 ，r1，所以n(，2 ，1)又p(0，0，1)为平面ABC的法向量，故cosn，p，所以二面角A1 ­ AB ­ C的大小为arccos.20解：记A1表示事件：同一工作日乙、丙中恰有i人需使用设备，i0，1，2.B表示事件：甲需使用设备C表示事件：丁需使用设备D表示事件：同一工作日至少3人需使用设备E表示事件：同一工作日4人需使用设备F表示事件：同一工作日需使用设备的人数大于k.(1) 因为P(B)0.6，P(C)0.4，P(Ai)C0.52，i0，1，2，所以P(D)P(A1·

14、;B·CA2·BA2·B·C)P(A1·B·C)P(A2·B)P(A2·B·C)P(A1)P(B)P(C)P(A2)P(B)P(A2)P(B)P(C)0.31.(2) 由(1)知，若k2，则P(F)0.310.1，P(E)P(B·C·A2)P(B)P(C)P(A2)0.06.若k3，则P(F)0.060.1，所以k的最小值为3.21解：(1)f(x)3ax26x3，f(x)0的判别式36(1a)(i) 若a1，则f(x)0，且f(x)0当且仅当a1，x1时成立故此时f(x)在R上是增函

15、数(ii) 由于a0，故当a1时，f(x)0有两个根；x1，x2.若0a1，则当x(，x2)或x(x1，)时，f(x)0，故f(x)分别在(，x2)，(x1，)是增函数；当x(x2，x1)时，f(x)<0，故f(x)在(x2，x1)是减函数若a0，则当x(，x1)或(x2，)时，f(x)0，故f(x)分别在(，x1)，(x2，)是减函数；当x(x1，x2)时f(x)0，故f(x)在(x1，x2)是增函数(2) 当a0，x0时，f(x)3ax26x30，故当a0时，f(x)在区间(1，2)是增函数当a0时，f(x)在区间(1，2)是增函数当且仅当f(1)0且f(2)0，解得a0.综上，a的取值范围是(0，)22解：(1)设Q(x0，4)，代入y22px，得x0，所以|PQ|，|QF|x0.由题设得，解得p2(舍去)或p2，所以C的方程为y24x.(2) 依题意知l与坐标轴不垂直，故可设l的方程为xmy1(m0)代入y24x，得y24my40.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y24m，y1y24.故线段A