考研数学一真题和答案及解析

1、2017年考研数学一真题及答案解析跨考教育 数学教研室一、选择题：18小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.（1）若函数在处连续，则（ ）【答案】A【解析】在处连续选A.（2）设函数可导，且，则（ ）【答案】C【解析】或，只有C选项满足且满足，所以选C。（3）函数在点处沿向量的方向导数为（ ）【答案】D【解析】选D.（4）甲乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10（单位：m）处，图中实线表示甲的速度曲线（单位：），虚线表示乙的速度曲线，三块阴影部分面积的数值依次为10,20,3，计时开始后乙追上甲的时刻记为（单位：

2、s），则（ ）【答案】B【解析】从0到这段时间内甲乙的位移分别为则乙要追上甲，则，当时满足，故选C.（5）设是维单位列向量，为阶单位矩阵，则（ ）【答案】A【解析】选项A,由得有非零解，故。即不可逆。选项B,由得的特征值为n-1个0，1.故的特征值为n-1个1，2.故可逆。其它选项类似理解。（6）设矩阵,则（ ）【答案】B【解析】由可知A的特征值为2,2,1因为，A可相似对角化，且由可知B特征值为2,2,1.因为，B不可相似对角化，显然C可相似对角化，且B不相似于C（7）设为随机概率，若，则的充分必要条件是（ ）【答案】A【解析】按照条件概率定义展开，则选项符合题意。（8）设为来自总体的简单随

3、机样本，记，则下列结论中不正确的是（ ）【答案】B【解析】由于找不正确的结论，故B符合题意。二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.(9) 已知函数，则=_【答案】【解析】(10) 微分方程的通解为_【答案】，（为任意常数）【解析】齐次特征方程为故通解为(11) 若曲线积分在区域内与路径无关，则_【答案】【解析】由积分与路径无关知(12) 幂级数在区间内的和函数_【答案】【解析】（13）设矩阵，为线性无关的3维列向量组，则向量组的秩为_【答案】2【解析】由线性无关，可知矩阵可逆，故再由得（14）设随机变量的分布函数为，其中为标准正态分布函数，则_【答案】2

4、 【解析】，故。令，则=因此. 三、解答题：1523小题，共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15）（本题满分10分）设函数具有2阶连续偏导数，求，【答案】【解析】结论：（16）（本题满分10分）求【答案】【解析】（17）（本题满分10分）已知函数由方程确定，求的极值【答案】极大值为，极小值为【解析】两边求导得： （1）令得对（1）式两边关于x求导得 （2）将代入原题给的等式中，得，将代入（2）得将代入（2）得故为极大值点，；为极小值点，（18）（本题满分10分）设函数在区间上具有2阶导数，且，证明：方程在区间内至少存在一个实根；方程在区间内至少存

5、在两个不同实根。【答案】【解析】（I）二阶导数，解：1）由于，根据极限的保号性得有，即进而又由于二阶可导，所以在上必连续那么在上连续，由根据零点定理得：至少存在一点，使，即得证（II）由（1）可知，令，则由罗尔定理，则，对在分别使用罗尔定理：且，使得，即在至少有两个不同实根。得证。（19）（本题满分10分）设薄片型物体是圆锥面被柱面割下的有限部分，其上任一点的密度为。记圆锥面与柱面的交线为求在平面上的投影曲线的方程；求的质量。【答案】64【解析】（1） 由题设条件知，的方程为则在平面的方程为（2）（20）（本题满分11分）设3阶矩阵有3个不同的特征值，且。证明 ；若，求方程组的通解。【答案】（

6、I）略；（II）通解为【解析】（I）证明：由可得，即线性相关，因此，即A的特征值必有0。又因为A有三个不同的特征值，则三个特征值中只有1个0，另外两个非0.且由于A必可相似对角化，则可设其对角矩阵为（II）由（1），知，即的基础解系只有1个解向量，由可得，则的基础解系为，又，即，则的一个特解为，综上，的通解为（21）（本题满分11分）设二次型在正交变换下的标准型，求的值及一个正交矩阵【答案】【解析】，其中由于经正交变换后，得到的标准形为，故，将代入，满足，因此符合题意，此时，则，由，可得A的属于特征值-3的特征向量为；由，可得A的属于特征值6的特征向量为由，可得A的属于特征值0的特征向量为令，则，由于彼此正交，故只需单位化即可：，则，（22）（本题满分11分）设随机变量相互独立，且的概率分布为，的概率密度为求求的概率密度。【答案】【解析】（1） 当，而，则（2） 当即时，（3）当时，（4）当时，（5）当时，所以综上所以（23）（本题满分11分）某工程师为了解一台天平的精度，用该天平对一物体的质量做次测量，该物体的质量是已知的，设次测量结果相互独立且均服从正态分布。该工程师记录的是次测量的绝对误差