范德蒙行列式及其应用

1、目 录摘要及关键词 （1）一、 范德蒙行列式(1)(一) 范德蒙行列式定义 (1)(二) 范德蒙行列式的推广 (4)二、 范德蒙行列式的相关应用(8)(一) 范德蒙行列式在行列式计算中的应用 (8)(二) 范德蒙行列式在微积分中的应用 (14)(三) 范德蒙行列式在多项式理论中的应用 (19)(四) 范德蒙行列式推广的应用 (21)三、结束语（22） 四、参考文献（23）范德蒙行列式及其应用摘要：在北大版高等代数的教科书中，行列式是一个重点也是一个难点，它是学习线性方程组、矩阵、向量空间和线性变换的基础，起着重要作用。而行列式的计算具有一定的规律性和技巧性，同时可以应用在很多领域。本文将通过对

2、n阶范德蒙行列式的计算、推广及其证明，讨论它在行列式计算,微积分和多项式理论中的相关应用，然后主要研究一些与范德蒙行列式有关的例子，从中掌握行列式计算的某些方法和技巧，这将有助于我们更好的应用范德蒙行列式解决问题。关键词：范德蒙行列式、行列式The Determinant of Vandermonde and Its ApplicationYuping- Xiao(Department of Mathematics Bohai University Jinzhou 121000 China)Abstract: Higher algebra textbook edition in Beijing

3、 University,the determinant is not only animportant point but also a difficult point,it is a foundation of learning linear equations,matrices,vector space and linear transformation,it plays an important role.And the calculation of determinant has a certain regularity and skills,it can be applied in

4、many areas at the same time. This paper will be through the calculation,expansion and prove of a n band Vandermonde determinant,and discuss the calculation of determinant,the relevant application in the calculus and multinomial theory, then study some examples about the determinant of Vandermonde,an

5、d acquire some methods and skills of determinant calculation,This will help us better use the determinant of Vandermonde to solve the problems.Key words: the Vandermonder determinant; determinant一、范德蒙行列式(一)范德蒙行列式定义定义11 关于变元,的阶行列式 (1)叫做，的阶范德蒙行列式。下面我们来证明对任意的(),级范德蒙行列式等于，这个数的所有可能的差（）的乘积。我们对作归纳法：当时，=结果是

6、对的。设对于级的范德蒙行列式结论成立，现在来看级的情形。在（1）式中，第行减去第行的倍，第行减去第行的倍，也就是由下而上依次地从每一行减去它上一行的倍，有 =()()()后面这行列式是一个阶的范德蒙行列式，根据归纳法假设它等于所有可能差的乘积，而包含的差全在前面出现了，因此，结论对级范德蒙行列式也成立，根据数学归纳法，完成了证明。用连乘号，这个结果可以简写为(二)范德蒙行列式的推广定义2 推广的范德蒙行列式=其中,;分别表示关于所在的列元素求各阶导数的系数。定理证明（一）将的第列分别提取 及分别提取得行列式记为，并记,即：其中（二）将的第行各乘以然后分别加到第行，并按第一列展开得到一个阶行列式

7、，记为即： （三）将的第1，2，列分别提取等因子，又因为第列到第列中（其中为2，3），则 其中 的第列减去第一列并提取因子，得第列为：作为公因子提到行列式外）再把该列乘以-1加到第列上去，得到第列为：=再将第列乘以-1加到第列，得第列为=这样一直进行到第列（共次）。同时还将第列依次与第列互换，则此时： = (四)反复利用式得=(五)仿照前面（二）的变换，将的第行乘以，然后分别加到第行，并按第2列展开得到一个阶行列式，此时的第一列含公因子（），而第2列至第列分别含公因子（）（其中），而展开时前面已含有一个负号，故可将该负号乘进第一列使其含这个公因子，此时只要仿照前面（三）的变换，故 同理可证明其

8、推论=其中，的整数；分别代表关于所在列元素求各阶导数的系数。当互异时，；否则为零。二、范德蒙行列式的相关应用（一） 范德蒙行列式在行列式计算中的应用范德蒙行列式的标准规范形式是：根据范德蒙行列式的特点，将所给行列式包括一些非范德蒙行列式利用各种方法将其化为范德蒙行列式，然后利用范德蒙行列式的结果，把它计算出来。常见的化法有以下几种：1.所给行列式各列（或各行）都是某元素的不同次幂，但其幂次数排列与范德蒙行列式不完全相同，需利用行列式的性质（如提取公因式，调换各行（或各列）的次序，拆项等）将行列式化为范德蒙行列式。例1 计算解 中各行元素都分别是一个数自左至右按递升顺序排列，但不是从0变到。而是

9、由1递升至。如提取各行的公因数，则方幂次数便从0变到.例2 计算解 本项中行列式的排列规律与范德蒙行列式的排列规律正好相反，为使中各列元素的方幂次数自上而下递升排列，将第列依次与上行交换直至第1行，第行依次与上行交换直至第2行第2行依次与上行交换直至第行，于是共经过次行的交换得到阶范德蒙行列式： 若的第行（列）由两个分行（列）所组成，其中任意相邻两行（列）均含相同分行（列）；且中含有由个分行（列）组成的范德蒙行列式，那么将的第行（列）乘以-1加到第行（列），消除一些分行（列）即可化成范德蒙行列式：例3 计算解 将的第一行乘以-1加到第二行得：再将上述行列式的第2行乘以-1加到第3行，再在新行列

10、式中的第3行乘以-1加到第4行得：例4 计算 （1）解 先加边，那么再把第1行拆成两项之和，2.加行加列法各行（或列）元素均为某一元素的不同方幂，但都缺少同一方幂的行列式，可用此方法：例5 计算解 作阶行列式：=由所作行列式可知的系数为，而由上式可知的系数为：通过比较系数得：3.拉普拉斯展开法运用公式=来计算行列式的值：例6 计算 解 取第1，3，2行，第1，3，列展开得：=4.乘积变换法例7 设，计算行列式解 例8 计算行列式解 在此行列式中，每一个元素都可以利用二项式定理展开，从而变成乘积的和。根据行列式的乘法规则，其中对进行例2中的行的变换，就得到范德蒙行列式，于是 = =5.升阶法例9

11、 计算行列式解 将升阶为下面的阶行列式即插入一行与一列，使是关于的阶范德蒙行列式，此处是变数，于是故是一个关于的次多项式，它可以写成另一方面，将按其第行展开，即得比较中关于的系数，即得(二) 范德蒙行列式在微积分中的应用范德蒙行列式不仅在行列式计算中应用广泛，而且在微积分中也有广泛应用，我们知道形如的行列式为范德蒙行列式，下面将通过若干实例说明这个行列式在微积分中的应用。例12 确定常数使得当时为最高阶的无穷小，并给出其等价表达式。解 对的各项利用泰勒公式，当时，若最高阶无穷小在6阶以上，则有方程组其系数行列式为范德蒙行列式。由于，故以为未知数的方程组只有零解：，从而。这显然不合题意，故以下考

12、虑当时最高阶无穷小为6阶的情形，令 等价于 此以为未知数的线形方程组，其系数行列式为范德蒙行列式。方程组有唯一一组依赖于的解：，从而在的邻域内的最高阶无穷小有下述形式的表达式： =例23 设至少有阶导数，且对某个实数有 (1)试证：其中表示。证明 由条件（1），要证明只要将写成与的线形组合即可，利用泰勒公式， (2)其中这是关于的线形方程组，其系数行列式为后一行列式为范德蒙行列式，其值为故，于是可以从方程组（2）把写成与的线形组合，我们只要证明即可。事实上，设于是在此式中分别令，及令则得例32 设在区间I上阶可导若为正常数），证明：存在个正常数使对证明 设且由泰勒公式，对由此得因此其中。令 （

13、1）则由于方程组（1）的系数行列式为=右边的行列式为的范德蒙行列式。由及知故由克莱姆法则知，存在与无关的常数使得由此推得例44 设两两互异，函数在处的值为证明：存在唯一的次多项式，使=证明 令由题设，有这是以为未知数的线形方程组，其系数行列式为范德蒙行列式的转置，由于故，从而方程组存在唯一解，即存在唯一的多项式，使例 5 设函数在附近有连续的阶导数，且若为一组两两互异的实数，证明：存在唯一的一组实数使得当时，是比高阶的无穷小。证明 由题设条件，可得 在处常有皮亚诺余项的马克劳林展开式： （1） （2） (n+1)得当时，若为比高阶的无穷小，则这是以为未知数的线形方程组，其系数行列式故上述方程组

14、有惟一解，即存在惟一一组实数，使当时，是比高阶无穷小。(三) 范德蒙行列式在多项式理论中的应用例1 设若至少有个不同的根，则。证明 取为的个不同的根，则有齐次线形方程组 (2)其中看作未知量因为方程组（2）的系数行列式是Vandermonde行列式，且所以方程组（2）只有零解，从而有即是零多项式。例2 设是数域F中互不相同的数，是数域F中任一组给定的不全为零的数，则存在唯一的数域F上次数小于n的多项式，使=，证明 设由条件，知 （3）因为互不相同，所以方程组（3）的系数行列式则方程组（3）有唯一解，即唯一的次数小于的多项式使得，例3设多项式， ，则不可能有非零且重数大于的根。证明 反设是的重数大于的根，则=0， 进而即（4）把（4）看成关于为未知量的齐次线形方程组则（4）的系数行列式 = 所以方程组（4）只有零解，从而，所以必有这与矛盾，故没有非零且重数大于的根。(四) 范德蒙行列式推广的应用借助于范德蒙行列式的推广及其推论，使得范德蒙行列式的应用范围更加广泛，下面就几个例子来作一个说明。例1 计算行列式解 由定理，则例2 计算行列式解 由定理，则例3 计算行列式解 由推论，则 = =结 束 语范德蒙行列式及其推广都属于一类很重要的而且特殊的行列式，因为这些行列式告诉我们行列式的