自主招生数学试题例讲

1、高校自主招生数学问题讲练全国重点大学自主招生考试是自年开始的一个新的考试门类，目前，这种考试有三大联盟：即，以清华为首的七校联盟，简称“华约”（清华、上海交大、西安交大、南京大学、浙江大学、中国科大、中国人大）；以北大为首的十三校联盟，简称“北约”（北大、北航、北师大、复旦、南开、武大、厦大、川大、山东大学、兰州大学、中山大学、华中科大、香港大学）（注：复旦、南开两校今年起退出北约单独干）；以及以北京理工大学为首的九校联盟，简称“卓越联盟”（北理工、大连理工、华南理工、天津大学、同济大学、重庆大学、东南大学、西北工大、哈尔滨工大）其试题特点是注重基础，知识全面，强化应用，突出能力，灵活多变，并

2、与大学的知识内容及思想方法有所衔接，部分试题具有一定的高等数学以及数学竞赛背景自年起，自主招生试题已由各有关高校自行命题，改为由国家考试中心命题，目前还没有制定考试大纲，今年仍然按三个联盟分别命题，明年，或许又将合为一卷，这正如三国演义开篇所说：“话说天下大势，分久必合，合久必分”自主招生试题，包括中学所涉及的全部知识（而不单是按某个省的教材），内容可能会有某些超越试题例讲、对于数列：即正奇数有个，且按自小到大排列，是否存在整数，使得对于任意正整数，都有恒成立？（表示不超过的最大整数）（上海交大）解：对正整数分段，第一段个数，第二段个数，第三段个数，第段个数，而，于是当时，的取值为第个奇数，即

3、此时，由于，所以，据此，将此与题目要求相比较，可知即是适合条件的整数；（注：年南昌市赛及年江西预赛题：数列由全体正奇数自小到大排列而成，并且每个奇数连续出现次，如果这个数列的通项公式为，（其中表示的整数部分，为整数），则 （答案：）.简解：由，即当 时， ，所以 ，于是，）同类问题：数列数列：即正整数有个，自小到大排列而成，求及解：先对正整数分段，第一段个数，第二段个数，第三段个数，第段有个数，而前段项数和为，前段项数和为，如果，那么，于是，当给定时，由此式解得，注意，于是等于的整数部分，即，也就是，由于数列第段由个组成，其和为，因此数列前段的总和为；由于位于第段的第个数，而这些项全是，因此，

4、；其中、已知一无穷等差数列中有三项：，求证：为数列中的一项（北大）证：注意到，一个无穷等差数列任意截去前面一段后仍然是无穷等差数列，故可设此数列为，且，设公差为，则，所以，所以皆为整数，而，即是等差数列的第项、写出所有公差为的三项等差质数数列，并证明之（清华大学理科）解：设三数为，其中为质数；考虑模的余数，若，则，即，故是合数，不满足条件；若，则，即，故是合数，不满足条件；故只有，因为质数，只有，于是只有唯一解，即三数为、设的整数部分为，小数部分为；、求出；、求的值；、求（清华大学理科）解：、因为，所以，；、；由于，则、已知，设数列满足：，、证明数列是等比数列；、求数列的通项；、设，证明：当时

5、，有（华南理工大学）解：、由条件知，是方程的两根，由，所以，；又由条件，所以，由，得，即，且，所以是首项为，公比为的等比数列；、据知，即 ，两边同除，（暂记）得，令，并求和得，所以，则；、利用数学归纳法，时，结论成立；若时结论成立，即有，则当时，即时，结论也成立，于是结论得证、个圆至多将平面分成多少个部分？个球至多将空间分成多少个部分？（南京大学）解：设个两两相交的圆将平面分成部分，现加入圆，它与前个圆都相交，共得对交点，这对交点把的圆周分成段弧，每段弧穿过一个原先的区域，就将该区域一分为二（即增加一个区域），即增加圆后，新增加的区域数为，所以，即，又，于是再设个两两相交的球将平面分成部分，现

6、加入球，它与前个球都相交，这个球在的球面上交出个圆，据上述结论，球面被分成 个区域，则，且，解得、数列满足：；、求和的关系；、若，证明；、若，证明 （中国科大）解：、由，相减得，所以，继而有所以，即 、用数学归纳法，若，由得，据此，；若已有，由，因此在时结论也成立，故由数学归纳法，对一切正整数，、由得 ，若，则由得，据归纳易见对一切，有，所以由，因此、设二次函数的图像过原点，且满足，而数列满足，、确定的表达式；、证明：；、证明： （武汉大学）解：、设，由过，则，当条件式两边都取等号时，由得，这时条件式成为，得，即，于是；又由，即，也即，此式对任意实数成立，所以有且判别式，即，于是，由此、，今用

7、数学归纳法证明，时显然，假若在时已有，则，因此对所有正整数皆有由于，所以，即、由，得，由知，所以，若令，则，即，故构成公比为的等比数列，所以有，因此，于是；由于当时，恰有，而当时，即对一切正整数，都有，故，所以、对于函数，如果存在函数 ，使，则称为函数. 试确定：是否为函数？ 是否为函数？（上海交大）解：取，则，（或取）因此为函数.不是函数.反证法，若存在函数，使 .记 .则 ，四数必有一个不为零，据对称性，不妨设 ，由得， .由、得，所以.由、得，记 ， 由得 ，由此知，皆不是零函数. 因此有，使，则 .式化为， ，即.因此有 ，矛盾！、求所有的正整数，使得集合可以分拆成个四元子集：，对于每

8、个集合， 而四数，其中的一数等于另外三数的算术平均（北大夏季）解：不妨设，每个子集中，是的算术平均，则有，所以，因此，另一方面，当时，集确有满足条件的划分，为此，记，其中，则在中有，而在中有、在由若干南方球队和北方球队参加的排球单循环赛中，已知南方队比北方队多支，所有南方队得分总和是所有北方队得分总和的倍（每场比赛胜者得分，负者得分）证明：循环赛结束后，某支南方队积分最高（年北京大学）证：设北方球队有支，南方队有支，其中，则比赛场数为，所以北方队总分为，而南方队总分为，因北方队内部比赛场，得分为分，所以北方队在与南方队比赛中共得分，这是一个正整数，故可令，即 有正整数解，故其判别式为平方数，即

9、为平方数设，由此，的末位数字为，则的末位数字为或，只有或，于是对应的或；当，成为，解得正整数根，此时北方队有支，南方队有支；全部个队总积分为分；今分析分数构成情况：北方队总得分为，南方队总得分为；南方队之间“内战”分数为分，于是南方队从北方队中获得分而南、北队间“对抗”分数为分，因此南方队只输给北方队两场，所以北方的个队中，最强的队的得分不会超过分；而南方队的得分平均值，所以得分最高的是南方某个队；当，成为，解得正整数根，此时北方队有支，南方队有支；全部个队总积分为分；分数构成情况：北方队总得分为，南方队总得分为；南方队之间“内战”分数为分，于是南方队从北方队中获得分而南、北队间“对抗”分数为

10、分，因此南方队只输给北方队场，所以北方的个队中，最强的队的得分不会超过分；而南方队的得分平均值，所以得分最高的是南方某个队、集合，集合是集合对于的补集；、证明：不存在无限项的等差数列，使得各项都在集合中；、是否存在满足条件的等比数列？说明理由（中国科大）证：、如果存在无限项的等差数列，使得其各项都在集合中，则的各项及公差皆为正整数，设其首项为，公差为，那么，据条件，对每个，不在中，今考虑集合中的个数，模的情况：由于每个，故皆不在集中，当然也不是的项，所以；另一方面，由于，个正整数中，任一个都不是的倍数，即它们被除得的最小非负余数只有这种情况，其中必有两个余数相同，设，即，于是由上式得，即，矛盾

11、！因此不存在无限项的等差数列，使得各项都在集合中；（这个问题的另一说法是，任一个各项为正整数的无穷等差数列，必有某些项在集合中）【注】本题也可用构造法来证，如果存在无限项的等差数列，使得其各项都在集合中，则的各项及公差皆为正整数，设其首项为，公差为，那么，取正整数，则，矛盾！、满足条件的等比数列存在例如，取首项为，公比为的等比数列，（其中）；下面用反证法证明，该数列的任一项皆不在中（即：数列所有的项都在中）显然皆不能表示成形式，当时，设有某项，即有，使，也就是，由于，所以，这时与皆互质，它不可能是的因数，矛盾！因此等比数列的任一项皆不在集中，故全在集合中【注】这种等比数列不是唯一的，例如也可取

12、等比数列：，因为若有，即存在，使得，即，由于左边，则，故右边的含有大于的奇因子，矛盾！因此的任一项皆在中、设都是有理数，并且也是有理数；证明：都是有理数 （清华大学）证：分情况讨论；若中至少两个是，则显然可得都是有理数；若中恰有一个是，不妨设， ，其中为有理数，由得，则为有理数，再由得为有理数，因此，都是有理数若中皆不为，设（此为正有理数）则由，平方得，即 ，则再平方得，由于，则为有理数，同理得为有理数、三个内角的正切值皆为整数，如果将彼此相似的三角形只算作是同一种三角形，那么，全部合符条件的三角形的共有几种？ 解：设，为非零整数，且其中至多有一个负数；由恒等式得即 ，以及 若其中有负整数，设

13、，则为正整数，由，于是，得，矛盾所以皆为正整数，且其中必有一个等于，否则若皆，则由，又得矛盾设，则，由，得，即全部情况只有 即这种三角形只有一种【注】此题是年我们给中等数学第期所提供的高中数学联赛模拟试卷的一道选择题，后来被改编成年南京大学自主招生试题：求所有非，使得解：由于在非中有，则据条件得，因为对任何实数，有，即成立，于是，则，因此皆为整数，且其中至少有两个正整数；不妨设都是正整数，则由，可知也是正整数，故只需求方程 的正整数解；不妨设，若，则，此时，与式矛盾！故只有，则由，得，所以；综上，唯有三个内角的正切值分别是的三角形满足条件、设是方程 的根，是系数为有理数的二次多项式，且，求 （

14、华约）解：因为皆不是方程的根，故方程没有有理根，因此是无理数；设，其中为有理数，据条件，则，又由条件，；即 ，改记，为有理数，成为 ，因此，即 ，因为是无理数，则，若，由即，这与方程无有理根矛盾！因此，由，得，导致，于是，因此、九个连续正整数自小到大排成一个数列，若为一平方数，为一立方数，求这九个正整数之和的最小值解：设这九数为 ，则有，则，得 令，得，所以 ，再取，化为 ，取，可使左式成立，这时，、在中取一组数，使得任意两数之和不能被其差整除，最多能取多少个数？ （北京大学）解：首先，可以取个数（或者），其中任两数之和不能被整除，而其差是的倍数；其次，将中的数自小到大按每三数一段，共分为段：；从中任取个数，必有两数取自同一段，则或，注意与同奇偶，于是因此的最大值为