解析几何总结性

1、解析几何总结第七章 直线和圆的方程【概念】一、直线的方程直线的倾斜角与斜率1. 直线方程的概念：以一个方程的解为坐标的点都是某条直线上的点，反过来，这条直线上的点的坐标都是这个方程的解，这时，这个方程就叫做这条直线的方程，这条直线叫做这个方程的直线.2. 直线的倾斜角与斜率：在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线，如果把x轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为，那么就叫做直线的倾斜角.倾斜角不是的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率,常用k表示.说明：当直线和x轴平行或重合时，我们规定直线的倾斜角为；直线倾斜角的取值范围是；倾斜角是的直线没有斜率.3. 斜率公式：

2、经过两点、的直线的斜率公式：（x1x2）推导：设直线P1P2的倾斜角是,斜率是k，向量的方向是向上的（如图73（1）（2）.向量的坐标是.过原点作向量=，则点P的坐标是，而且直线OP的倾斜角也是.根据正切函数的定义， 即（x1x2）。 同样，当向量的方向向上时也有同样的结论.4. 斜率公式的形式特点及适用范围：斜率公式与两点的顺序无关，即两点的纵坐标和横坐标在公式中的前后次序可同时颠倒；斜率公式表明，直线对于x轴的倾斜程度，可以通过直线上任意两点坐标表示，而不需求出直线的倾斜角；斜率公式是研究直线方程各种形式的基础，必须熟记，并且会灵活运用;当x1=x2,y1y2（即直线和x轴垂直）时，直线的

3、倾斜角等于，没有斜率.直线的方程1. 直线方程的点斜式:其中为直线上一点坐标, k为直线斜率.推导:若直线l经过点,且斜率为k，求l方程.设点 P(x,y)是直线上不同于点P1的任意一点,根据经过两点的直线的斜率公式,得,可化为.说明:这个方程是由直线上一点和斜率确定的;当直线l的倾斜角为0°时,直线方程为;当直线倾斜角为90°时,直线没有斜率,它的方程不能用点斜式表示.这时直线方程为:.2. 直线方程的斜截式:说明:b为直线l在y轴上截距；斜截式方程可由过点（0，b）的点斜式方程得到；当时，斜截式方程就是一次函数的表示形式.3. 直线方程的两点式:其中是直线两点的坐标.推

4、导:因为直线l经过点，并且，所以它的斜率.代入点斜式,得,.当.4. 直线方程的截距式:,其中a,b分别为直线在x轴和y轴上截距.5. 直线方程的一般式: 其中A、B不同时为0.6. 直线和二元一次方程的关系在平面直角坐标系中,对于任何一条直线,都有一个表示这条直线的关于x,y的二元一次方程.因为在平面直角坐标系中,每一条直线都有倾斜角,在90°和=90°两种情况下,直线的方程可分别写成及这两种形式.它们又都可变形为的形式,且A、B不同时为0.在平面直角坐标系中,任何关于x、y的二元一次方程都表示一条直线.因为x、y的二元一次方程的一般形式是,其中A、B不同时为0,在B0和

5、B=0的两种情况下,一次方程可分别化成直线的斜截式方程和表示与y轴平行或重合的直线方程.两条直线的位置关系1直线到的角两条直线和相交构成四个角,它们是两对对顶角,我们把直线按逆时针方向旋转到与重合时所转的角,叫做到的角.在图713中,直线到的角是1, l2到的角是2.2直线到的夹角:如图713, 到的角是1, 到的角是-1,当与相交但不垂直时,和-仅有一个角是锐角,我们把其中的锐角叫两条直线的夹角.当直线时,直线l1和l2的夹角是.说明:10,20,且1+2=3直线l1到l2的角的公式:.推导:设直线l1到l2的角，.如果如果,设l1、l2的倾斜角分别是1和2，则.由图（1）和图（2）分别可知

6、于是.4直线l1和l2的夹角公式:.这一公式由夹角定义可得.5两直线是否相交的判断:设两条直线的方程是如果这两条直线相交,由于交点同时在这两条直线上,交点的坐标一定是这两个方程的唯一公共解,那么以这个解为坐标的点必是直线l1和l2的交点,因此,两条直线是否有交点,就要看这两条直线方程所组成的方程组是否有唯一解.6在平面直角坐标系中,如果已知某点P的坐标为(x0,y0),直线l的方程是,怎样由点的坐标和直线的方程直接求点P的直线l的距离呢?方案一:根据定义,点P到直线l的距离d是点P到直线l的垂线段的长(如右图).设点P到直线l的垂线段为PQ,垂足为Q,由PQl可知直线PQ的斜率为,根据点斜式可

7、写出直线PQ的方程,并由l与PQ的方程求出点Q的坐标;由此根据两点距离公式求出,得到点P到直线l的距离d.师：此方法虽思路自然，但运算较繁. 下面介绍另一种求法.方案二:设A0,B0,这时l与x轴、y轴都相交,过点P作x轴的平行线,交l于点R(x1,y0);作y轴的平行线,交l于点S(x0,y2),由所以,由三角形面积公式可知:所以,.可证,当A=0或B=0时,以上公式仍适用,于是得到点到直线的距离公式: .二、圆的方程1圆的标准方程：其中圆心坐标为（a,b），半径为r推导：如图732，设M（x,y）是圆上任意一点，根据定义，点M到圆心C的距离等于r,所以圆C就是集合由两点间的距离公式，点M适

8、合的条件可表示为把式两边平方，得2圆的一般方程：（0）3二元二次方程表示圆的充要条件：由二元二次方程的一般形式：Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0和圆的一般方程的系数比较，启发学生归纳如下结论：（1）x2和y2的系数相同，且不等于0，即A=C0；（2）没有xy项，即B=0；（3）D2+E24AF0.4参数方程与普通方程：一般地，在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x、y都是某个变数t的函数，即.并且对于t的每一个允许值，由方程组所确定的点M（x,y）都在这条曲线上，那么方程组就叫这条曲线的参数方程.其中t叫参变数，简称参数.相对于参数方程来说，前面学过的直接给出曲线上点的坐标关系

9、的方程，叫曲线的普通方程.说明：参数方程中的参数可以有物理、几何意义，也可以没有明显意义.（1）圆的参数方程：圆心在原点，半径为r的圆的参数方程：推导：设圆O的圆心在原点，半径是r,圆O与x轴的正半轴的交点是P0（图736）设点在圆O上从点P0开始按逆时针方向运动到达点P，P0OP=，若点P坐标为（x,y）,根据三角函数的定义，可得 即圆心为(a,b)，半径为r的圆的参数方程： （为参数）推导：圆心为O1（a,b）、半径为r的圆可以看成由圆心为原点O、半径为r的圆按向量=（a,b）平移得到.即对于圆O上任意一点P1（x1,y1）,在圆O1上必有一点P（x,y），使因为，即（x,y）=(x1，y

10、1)+（a,b）所以，由于点P1（x1,y1）在以原点为圆心，r为半径的圆上，所以存在参数，使 所以.（2）圆的参数方程化普通方程：方程组 由得 xa=rcos 由得 yb=rsin 2+2得：（xa）2+(yb)2=r2即圆的普通方程.三、简单的线性规划1二元一次不等式表示平面区域:一般地,二元一次不等式Ax+By+C>0在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域.说明:二元一次不等式Ax+By+C0在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域且包括边界;作图时,不包括边界画成虚线;包括边界画成实线.推导:举例说明.2判断二元一次不

11、等式表示哪一侧平面区域的方法:方法:取特殊点检验;原因:由于对在直线Ax+By+C=0的同一侧的所有点(x,y),把它的坐标(x,y)代入Ax+By+C,所得到的实数的符号都相同,所以只需在此直线的某一侧取一个特殊点(x0,y0),从Ax0+By0+C的正负即可判断Ax+By+C>0表示直线哪一侧的平面区域.特殊地,当C0时,常取原点检验.3线性规划的有关概念：线性约束条件：在上述问题中，不等式组是一组变量x、y的约束条件，这组约束条件都是关于x、y的一次不等式，故又称线性约束条件线性目标函数：关于x、y的一次式z=2x+y是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x、y的解析式，叫线性目标函数

12、线性规划问题：一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题可行解、可行域和最优解：满足线性约束条件的解（x,y）叫可行解由所有可行解组成的集合叫做可行域使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解4线性规划在实际中的应用：例：要将两种大小不同的钢板截成、三种规格，每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示：规格类型钢板类型规格规格规格第一种钢板第二种钢板今需要A、B、C三种规格的成品分别为15、18、27块，问各截这两种钢板多少张可得所需三种规格成品，且使所用钢板张数最少？解：设需截第一种钢板x张，第二种钢板y张，则作出可行域（如右图）：

13、（阴影部分）目标函数为z=x+y作出一组平行直线x+y=t,其中经过可行域内的点且和原点距离最近的直线，经过直线x+3y=27和直线2x+y=15的交点A（），直线方程为x+y=.由于都不是整数，而最优解（x,y）中，x,y必须都是整数，可行域内点（）不是最优解.经过可行域内的整点且与原点距离最近的直线是x+y=12,经过的整点是B(3,9)和C(4,8),它们都是最优解.答:要截得所需三种规格的钢板,且使所截两种钢板的张数最少的方法有两种:第一种截法是截第一种钢板3张.第二种钢板9张;第二种截法是截第一种钢板4张、第二种钢板8张.两种方法都最少要截两种钢板共12张.【例题】例1：如右图，直线

14、l1的倾斜角，直线、l2的斜率.解：例2：求经过A（2，0）、B（5，3）两点的直线的斜率和倾斜角.解：，就是因此，这条直线的斜率是1，倾斜角是例3：已知三点A、B、C，且直线AB、AC的斜率相同，求证这三点在同一条直线上.证明：由直线的斜率相同，可知AB的倾斜角与AC的倾斜角相等，而两个角有共同的始边和顶点，所以终边AB与AC重合.因此A，B，C三点共线.例4：一条直线经过点P1(-2,3),倾斜角=45°,求这条直线方程,并画出图形.解:这条直线经过点P1(-2,3),斜率是:.代入点斜式方程,得这就是所求的直线方程,图形如图中所示例5：已知直线l与x轴的交点为（a，0），与y轴

15、的交点为（0，b），其中a0,b0,求直线l的方程.解:因为直线l经过A(a,0)和B(0,b)两点,将这两点的坐标代入两点式,得:例6：三角形的顶点是A(-5,0)、B（3，-3）、C（0，2）,求这个三角形三边所在直线的方程.解:直线AB过A(-5,0)、B（3，-3）两点，由两点式得整理得：，即直线AB的方程.直线BC过C(0,2),斜率是,由点斜式得:整理得:,即直线BC的方程.直线AC过A(-5,0),C(0,2)两点,由两点式得:整理得：，即直线AC的方程.例7：已知直线经过点A(6,-4),斜率为,求直线的点斜式和一般式方程.解:经过点A(6,-4)并且斜率等于的直线方程的点斜式

16、是:化成一般式,得.例8：把直线l的方程化成斜截式，求出直线l的斜率和它在x轴与y轴上的截距，并画图.解:将原方程移项,得两边除以2,得斜截式因此,直线l的斜率，它在y轴上的截距是3，在上面的方程中令y=0，可得x=-6，即直线l在x轴上的截距是-6.由上述内容可得直线l与x轴、y轴的交点为A（-6，0）、B（0，3），过点A、B作直线，就得直线l.（如右图）. 例9：求以C（1，3）为圆心，并且和直线3x4y7=0相切的圆的方程.解：因为圆C和直线3x4y7=0相切，所以半径r等于圆心C到这条直线的距离.根据点到直线的距离公式，得因此，所求的圆的方程是解：如图733，设切线的斜率为k，半径O

17、M的斜率为k1,因为圆的切线垂直于过切点的半径，于是k=.经过点M的切线方程是：整理得：因为点M（x0，,y0）在圆上，所以所求切线方程为：当点M在坐标轴上时，上述方程同样适用.例11： 图734是某圆拱桥的一孔圆拱的示意图.该圆拱跨度AB=20m，拱高OP=4m，在建造时每隔4m需用一个支柱支撑，求支柱A2P2的长度（精确到0.01m）.解：建立直角坐标系如图734所示.圆心在y轴上，设圆心的坐标是（0，b），圆的半径是r,那么圆的方程是x2+(yb)2=r2因为P、B都在圆上，所以它们的坐标（0，4）、（10，0）都是这个圆的方程的解.于是得到方程组. 解得b=10.5, r2=14.52

18、所以这个圆的方程是：x2+(y+10.5)2=14.52把点P的横坐标x=2代入圆方程得答：支柱A2P2的长度约为.例12： 求过三点O（0，0）、M1（1，1）、M2（4，2）的圆的方程，并求这个圆的半径和圆心坐标.解：设所求圆的方程为用待定系数法，根据所给条件来确定D、E、F、因为O、M1、M2在圆上，所以它们的坐标是方程的解.把它们的坐标依次代入上面的方程，可得 解得于是所求圆方程为：x2+y28x+6y=0化成标准方程为：（x4）2+y(3)2=52所以圆半径r=5,圆心坐标为（4，3）例13：已知一曲线是与两个定点O（0，0）、A（3，0）距离的比为的点的轨迹，求此曲线的方程，并画出

19、曲线.解：在给定的坐标系里，设点M（x,y）是曲线上的任意一点，也就是点M属于集合.由两点间的距离公式，点M所适合的条件可以表示为， 将式两边平方，得化简得x2+y2+2x3=0 化为标准形式得：（x+1）2+y2=4所以方程表示的曲线是以C（1，0）为圆心，2为半径的圆，它的图形如图735所示.例14： 如图738，已知点P是圆x2+y2=16上的一个动点，点A是x轴上的定点，坐标为（12，0）当点P在圆上运动时，线段PA的中点M的轨迹是什么？解：设点M的坐标是（x,y）.因为圆x2+y2=16的参数方程为所以可设点P的坐标为（4cos,4sin）.由线段中点坐标公式得点M的轨迹的参数方程为

20、所以，线段PA的中点M的轨迹是以点（6，0）为圆心，2为半径的圆.例15：求直线的夹角(用角度制表示)解:由两条直线的斜率得利用计算器计算或查表可得:71°34.例16：等腰三角形一腰所在直线l1的方程是,底边所在直线l2的方程是,点(-2,0)在另一腰上(图715),求这条腰所在直线l3的方程.解:设l1,l2, l3的斜率分别为k1,k2, k3, l1到l2的角是1, l2到 l3的角是2,则因为l1,l2, l3所围成的三角形是等腰三角形,所以1=2,即将代入得解得因为l3经过点(-2,0),斜率为2,写出其点斜式方程为,得:.即直线l3的方程.例17：求下列两条直线的交点.

21、解:解方程组所以,l1与l2的交点是M(-2,2).如图716所示.例18：求经过原点且经过以下两条直线的交点的直线的方程: 解:解方程组所以, l1与l2的交点是(2,2).设经过原点的直线方程为,把点(2,2)的坐标代入以上方程,得,所以所求直线方程为例19：求点P0（-1，2）到下列直线的距离：（1）解：（1）根据点到直线的距离公式得（2）因为直线平行于y轴，所以例20：求平行线和的距离.解:在直线上任取一点,例如取P(3,0),则点P(3,0)到直线的距离就是两平行线间的距离.因此:.例21：画出不等式2x+y-6<0表示的平面区域.解:先画出直线2x+y-6=0(画成虚线).取

22、原点(0,0),代入2x+y-6,因为2×0+0-6=-60所以,原点在2x+y-6<0表示的平面区域内,不等式2x+y-6<0表示的区域如图721表示.例22：画出不等式组表示的平面区域解：不等式xy0表示直线xy0上及右下方的点的集合，xy0表示直线x+y=0上及右上方的点的集合，x3表示直线上及左方的点的集合，所以，不等式组表示的平面区域如图722所示第八章 曲线的方程【概念】一、椭圆 椭圆及其标准方程1椭圆定义：我们把平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数（大于F1F2）的点的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫椭圆的焦距.2椭圆的标准方程：形

23、式一：说明：此方程表示的椭圆焦点在x轴上，焦点是F1（c，0）、F2（c，0），其中c2=a2b2.形式二：说明：此方程表示的椭圆焦点在y轴上，焦点是F1（0，c），F2（0，c），其中c2=a2b2.两种形式中，总有a>b>0；两种形式中，椭圆焦点始终在长轴上；a、b、c始终满足c2=a2b2；遇到形如Ax2+By2=C，只要A、B、C同号，就是椭圆方程，推导：建立直角坐标系xOy，使x轴经过点F1、F2，并且O与线段F1F2的中点重合.设M（x,y）是椭圆上任意一点，椭圆的焦距为2c(c0)，那么焦点F1、F2的坐标分别是（c,0），(c,0).又设M与F1和F2的距离的和等于

24、常数2a.由椭圆定义，椭圆就是集合P=MMF1+MF2=2a因为MF1=MF2=所以得：+=2a整理得：（a2c2）x2+a2y2=a2(a2c2).由椭圆的定义可知：2a2c，即ac，故a2c20.令a2c2=b2，其中b0，代入上式整理得：椭圆的简单几何性质1范围：椭圆位于直线和所围成的矩形里原因：由标准方程可知，椭圆上的点的坐标（x,y）都适合不等式即,2对称性：椭圆关于y轴、x轴和原点都对称原因：在椭圆标准方程里，以-x代x，或以-y代y，或以-x，-y分别代x、y，方程都不变3顶点：椭圆和它的对称轴有四个交点，这四个交点叫椭圆的顶点其中（-a,0）,A2(a,0)是椭圆与x轴的两个交

25、点；（，b）,B1(0,b)是椭圆与y轴的两个交点线段、分别叫椭圆的长轴和短轴，它们的长分别为2a和2b，a和b分别叫椭圆的长半轴长和短半轴长4离心率：椭圆的焦距与长轴长的比，叫做椭圆的离心率说明因为所以e越接近，则c越接近a，从而越小，因此椭圆越扁；反之，e越接近于，c越接近于，从而b越接近于a，这时椭圆就接近于圆；当且仅当a=b时，c=0，这时两焦点重合，图形变为圆二、双曲线双曲线及其标准方程1双曲线的定义：我们把平面内与两个定点F1、F2的距离的差的绝对值等于常数（小于）的点的轨迹叫做双曲线.说明常数小于；这两个定点叫做双曲线的焦点；这两焦点的距离叫双曲线的焦距.2双曲线的标准方程：形式

26、一： （a>0,b>0）说明：此方程表示焦点在x轴上的双曲线.焦点是F1(c,0)、F2(c,0)，这里c2=a2+b2.形式二： （a>0,b>0）说明：此方程表示焦点在y轴上的双曲线，焦点是F1(0，c)、F2(0， c)，这里c2=a2+b2.推导：如图812，建立直角坐标系xOy，使x轴经过点F1、F2，并且点O与线段F1F2的中点重合.设M（x,y）是双曲线上任意一点，双曲线的焦距为2c(c>0)，那么，焦点F1、F2的坐标分别是(c,0)、(c,0).又设M与F1、F2的距离的差的绝对值等于常数2a.由定义可知，双曲线就是集合因为所以得 将方程化简得(

27、c2a2)x2a2y2=a2(c2a2).由双曲线的定义可知，2c>2a，即c>a，所以c2a2>0，令c2a2=b2，其中b>0，代入上式得 (a>0,b>0).双曲线的简单几何性质1范围： 双曲线在不等式xa与xa所表示的区域内. 2对称性： 双曲线关于每个坐标轴和原点都对称，这时，坐标轴是双曲线的对称轴，原点是双曲线的对称中心，双曲线的对称中心叫双曲线中心. 3顶点： 双曲线和它的对称轴有两个交点A1(a,0)、A2(a,0)，它们叫做双曲线的顶点. 线段A1A2叫双曲线的实轴，它的长等于2a,a叫做双曲线的实半轴长；线段B1B2叫双曲线的虚轴，它的长

28、等于2b,b叫做双曲线的虚半轴长. 4渐近线 我们把两条直线y=±叫做双曲线的渐近线；从图816可以看出，双曲线的各支向外延伸时，与直线y=±逐渐接近.“渐近”的证明：先取双曲线在第一象限内的部分进行证明.这一部分的方程可写为y=>a).5双曲线的准线：当点M到一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数e=(e>1)时，这个点的轨迹是双曲线.定点是双曲线的焦点，定直线叫双曲线的准线，常数e是双曲线的离心率.准线方程：x=其中x=相应于双曲线的右焦点F(c,0);x=相应于左焦点F(c,0). 抛物线及其标准方程1抛物线的定义：平面内与一个定点F和一条定直线l

29、的距离相等的点的轨迹叫抛物线.点F叫抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线.2抛物线的标准方程：推导过程：如图820，建立直角坐标系xOy，使x轴经过点F且垂直于直线l，垂足为K，并使原点与线段KF的中点重合.设|KF|=p(p0)，那么焦点F的坐标为（，准线l的方程为设点M（x,y）是抛物线上任意一点，点M到l的距离为d.由抛物线的定义，抛物线就是集合将上式两边平方并化简，得y2=2px 方程叫抛物线的标准方程，它表示的抛物线的焦点在x轴的正半轴上，坐标是它的准线方程是抛物线标准方程的四种形式：图 形标准方程焦点坐标准线方程(p0)(p0)(p0)(p0)抛物线的简单几何性质1范围当x的值增大

30、时,也增大,这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸.(但应让学生注意与双曲线一支的区别,无渐近线).2对称性抛物线关于x轴对称.我们把抛物线的对称轴叫抛物线的轴.3顶点抛物线和它的轴的交点叫抛物线的顶点.即坐标原点.4离心率抛物线上的点M与焦点的距离和它到准线的距离的比,叫抛物线的离心率,用e表示.由抛物线定义可知,e=1.【例题】例1：求适合下列条件的椭圆的标准方程：（1）两个焦点的坐标分别是（4，0），（4，0），椭圆上一点P到两焦点距离之和等于10；（2）两个焦点的坐标分别是（0，2）、（0，2），并且椭圆经过点.解：（1）因为椭圆的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为.2a=10, 2c=

31、8a=5, c=4b2=a2c2=5242=9所以所求椭圆的标准方程为.（2）因为椭圆的焦点在y轴上，所以设它的标准方程为.由椭圆的定义知：2a=a=，又c=2 b2=a2c2=6所以所求椭圆方程为例2 已知B、C是两个定点，BC=6，且ABC的周长等于16，求顶点A的轨迹方程.解：如右图，建立坐标系，使x轴经过点B、C，原点O与BC的中点重合.由已知AB+AC+BC=16，BC=6，有AB+AC=10，即点A的轨迹是椭圆，且2c=6, 2a=166=10c=3, a=5, b2=5232=16但当点A在直线BC上，即y=0时，A、B、C三点不能构成三角形，所以点A的轨迹方程是例3：如图，已知

32、一个圆的圆心为坐标原点，半径为2，从这个圆上任意一点P向x轴作垂线段PP，求线段PP中点M的轨迹.解：设点M的坐标为（x,y）,点P的坐标为（x0,y0），则x=x0, y=.因为P（x0,y0）在圆x2+y2=4上，所以x02+y02=4. 将x0=x, y0=2y代入方程， 得x2+4y2=4 即 + y2=1所以点M的轨迹是一个椭圆.（如图）例4：已知F是椭圆25x2+16y2=400在x轴上方的焦点，Q是此椭圆上任意一点，点P分所成的比为2，求动点P的轨迹方程.解：把已知椭圆方程变为从而焦点F的坐标为（0，3）设点P坐标为（x,y），Q点的坐标为（x1,y1）,则 25x12+16y1

33、2=400 由P分所成比为2，得x1=3x, y1=3y6 代入得：225x2+144y2576y+176=0.例5：求椭圆的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标，并用描点法画出它的图形解：把已知方程化成标准方程这里a=,b=4,所以因此，椭圆的长轴和短轴的长分别是2a=10和2b=8，离心率，两个焦点分别是（，）和（，），椭圆的四个顶点是（，），（，），（，）和（，）将已知方程变形为，根据在范围算出几个点坐标：x012345y43.93.73.22.40先描点画出椭圆的一部分，再利用椭圆的对称性画出整个椭圆例6：求适合下列条件的椭圆的标准方程：（）经过点（，）、（，）；（）长轴的长等于，

34、离心率等于解：（）由椭圆的几何性质可知，以坐标轴为对称轴的椭圆与坐标轴的交点就是椭圆的顶点，所以点、分别是椭圆长轴和短轴的一个端点，于是得a=3,b=2.又因为长轴在x轴上，所以椭圆的标准方程为（）由已知，2a=20,由于椭圆的焦点可能在x轴上，也可能在y轴上，所以所求椭圆的标准方程为或例7：如图，我国发射的第一颗人造地球卫星的运行轨道，是以地心作为一个焦点的椭圆已知它的近地点距地面km，远地点距地面km，并且、在同一直线上，地球半径约为km，求卫星运行的轨道方程（精确到km）解：如图，建立直角坐标系，使点、在x轴上，为椭圆的右焦点（记为左焦点）因为椭圆的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为，则

35、，解得：用计算器求得因此，卫星的轨道方程是例8：已知P（x0,y0）是椭圆（ab0）上的任意一点，F1、F2是焦点，求证：以PF2为直径的圆必和以椭圆长轴为直径的圆相内切.证明 设以PF2为直径的圆心为A，半径为r.F1、F2为焦点，所以由椭圆定义知|PF1|+|PF2|=2a，|PF2|=2r|PF1|+2r=2a，即|PF1|=2（ar）连结OA，由三角形中位线定理，知|OA|=故以PF2为直径的圆必和以长轴为直径的圆相内切.例9：设P是椭圆（ab0）上的一点，F1、F2是椭圆的焦点，且F1PF2=90°，求证：椭圆的率心率e证明 P是椭圆上的点，F1、F2是焦点，由椭圆的定义，

36、得|PF1|+|PF2|=2a 在RtF1PF2中, 由2，得|PF1|·|PF2|=2(a2c2) 由和，据韦达定理逆定理，知|PF1|·|PF2|是方程z23az+2(a2c2)=0的两根，则=4a28(a2c2)0,()2，即e.例10：P为椭圆（ab0）上的点，F1、F2是椭圆的焦点，e为离心率.若PF1F2=，PF2F1=，求证：证明 由椭圆定义，知|PF1|+|PF2|=2a，|F1F2|=2c由正弦定理，得|PF1|=2Rsin,|PF2|=2Rsin，|F1F2|=2Rsin(+)例11：P是椭圆（ab0）上的任意一点，F1、F2是焦点，半短轴为b,且F1P

37、F2=.求证：PF1F2的面积为证明 由椭圆的定义知|PF1|+|PF2|=2a，又|F1F2|=2c.在PF1F2中，由余弦定理，得例12：已知双曲线两个焦点的坐标为F1（5，0）、F2（5，0），双曲线上一点P到F1、F2的距离的差的绝对值等于6，求双曲线的标准方程.解：因为双曲线的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为： (a>0,b>0).2a=6,2c=10,a=3,c=5.b2=5232=16所以所求双曲线的标准方程为例13：已知双曲线的焦点在y轴上，并且双曲线上两点P1、P2的坐标分别为（3，）、（），求双曲线的标准方程.解：因为双曲线的焦点在y轴上，所以设所求双曲线的标

38、准方程为： (a>0,b>0) 因为点P1、P2在双曲线上，所以点P1、P2的坐标适合方程.将（3，）、（）分别代入方程中，得方程组解得：a2=16,b2=9.故所求双曲线的标准方程为：例14：一炮弹在某处爆炸，在A处听到爆炸声的时间比在B处晚2 s.（1）爆炸点应在什么样的曲线上？（2）已知A、B两地相距800 m，并且此时声速为340 m/s，求曲线的方程.解（1）由声速及A、B两处听到爆炸声的时间差，可知A、B两处与爆炸点的距离的差，因此爆炸点应位于以A、B为焦点的双曲线上.因为爆炸点离A处比离B处更远，所以爆炸点应在靠近B处的一支上.（2）如图814，建立直角坐标系xOy，使A、B两点在x轴上，并且点O与线段AB的中点重合.设爆炸点P的坐标为（x,y），则即2a=680,a=340.又2c=800,c=400,b2=c2a2=44400.x>0.所求双曲线的方程为： (x>0).例15：双曲线型自然通风塔的外形，是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面，它的最小半径为12 m，上口半径为13 m，下口半径为25 m，高55 m.选择适当的坐标系，求出此双曲线的方程（精确到1m）.解：如图817，建立直角坐标系xOy，使A圆的直径AA在x轴上，圆心与原点重合.这时上、下口的直径CC、BB平行于x轴，且=13×2