第22讲参数范围型综合问题

1、数学高考综合能力题选讲22参数范围型综合问题题型预测参数范围的问题，内容涉及代数和几何的多个方面，综合考查学生应用数学知识解决问题的能力。在历年高考中占有较稳定的比重。解决这一类问题，常用的思想方法有：函数思想、数形结合等。范例选讲例1 对于满足0乞p乞4的一切实数，不等式x2 px 4x p 3恒成立，试 求x的取值范围。讲解：将P视为主兀，设f p二px-1亠x2-4x，3，贝U当0p：S4时，f p >0恒成立。' 2等价于：f 0 0。即x 4x 3 0。f (4 )>0x2 -1 A0解得 x . 3 或 x ： -1。点评：换个角度看问题，换个方面去解释，换个方

2、向去思考。在数学学习过 程中，要注意多角度、多方向、多层次地去思考问题，这样不但对问题的认识更 全面、更深刻，还可以发展自己的思维能力。例2已知函数f x =2x 一亘。2x(I)将y=f x的图像向右平移两个单位，得到函数y = g x，求函数y = g x的解析式；(U)函数y=h x与函数y = g x的图像关于直线y = 1对称，求函数y =h x的解析式；(川)设F x = f xi'hx，已知F x 的最小值是m，且m 2 7 ，a求实数a的取值范围x讲解：(I) gx 二 fx2 二 2Or 二一 竽;“一 一 42()设点P x,h x|是函数y二h x上任一点，点P

3、x,h x !关于y =1的对称点是P' x,2 -h x由于函数y =h x与函数y =g x的图像关于直线y =1对称，所以，点P'在函数y =g x的图像上，也即：2_h x = g x。所以,h x -g x一- 一|111x1(K) F x f x h x2 4a -1 x - 2要求m的取值范围，可以通过构造关于 m的不等式来获得解答，方法之一是直接法，即先求出F x的最小值，再令其大于2 ,7即可。解法一。为求F x的最小值，注意到F x的表达式形同mt ，所以，可 以考虑从m,n i即丄-丄和4a -1的正负入手。I a 4丿工11(1) 当；一："，

4、即a <0时，由2x,的值域均为0,；，可得F x ：2。24 a -1 ： 0这与F x _m .2 矛盾；11 10 1(2) 当a 4 ，即0 : a 时，F x是R上的增函数，此时F x无最44a -1 _ 0小值，与题设矛盾；工11 .0(3) 当a 4 ，即a -4时，F x是R上的减函数，此时F x也无最4a -10小值，与题设矛盾；所以，由(1)( 2)( 3)可得：当1 1 0 a 44a -1 . 02x "a"21x2 二4_a 4a"2。等号当且仅当U2= 4a1 ?，即 2x- 4a时成立立。1，即-:a ： 4 时,4_ 1由 m

5、 .2 .7 及 a ：: 4，可得:4a 4a， 71:a : 44从另一个角度考虑,“ F x的最小值是m且m .2 J ”，也就是说F x .2 恒成立。于是，我们可以得到下面的解法:解法二。由 F x ,7 可得：I112x 4a -1. 7。令2x =t，则命题可转化为：当t 0时，i11 t2 -7t亠i4a-1 - 0恒成立。 la 4丿考虑关于t的二次函数t二丄-1 t2 - .7t 4a -11 1要使t 0时，t _0恒成立。首先必须要求.0，此时由于函数a 42” 0,所以，需且只需t = 1 - t2 -、7t 4a -1 的对称轴 t la 4丿-丄 4a -1 :

6、0解之得：1 :：: a :：: 22此时,4a.0,4a -1 .0 ,故 F(x) =4"t 力一14at4a(4a -1)得最小值m4 " 4a 12满足条件。点评：构造关于所求量的不等式，通过解不等式来获得问题的解是有关取值 范围问题常用的方法。在构造不等式的过程中， 式。常常要用到一元二次方程的判别2x 例3设直线I过点P （0, 3）且和椭圆一2y+ 一94=1顺次交于A、B两点，求A P的取值范围.PB讲解：首先，不难得到：竺PBXaXbAP要求PB的取值范围，不外乎两条路:其一是构造所求变量关于某个（或某几个）参数的函数关系式（或方程），通过 求函数的值域来

7、达到目的；其二则是构造关于所求量的一个不等关系。 由此出发, 可得到下面的两种解法。AP x解法1：在=一丄中，有两个变量xA , xB，但这两个变量的范围很难确定，PBXb故需要利用第3个变量。比较自然的想法是“直线 AB的斜率k”。于是，问题 就转化为“如何将Xa，Xb转化为关于k的表达式”。只需将直线方程代入椭圆方程，消去 y得出关于x的一元二次方程，利用求 根公式即可。当直线I垂直于x轴时，可求得匕=一1；PB 5当丨与X轴不垂直时，设A X!, y! , B （x2， y2），直线l的方程为：y = kx 3，代入椭圆方程，消去y得9k 9k 44 x254 kx 45 =0解之得

8、X" 27 k6.9k2 -52 .9k 4由椭圆关于y轴对称，且点P在y轴上，所以只需考虑k o的情形.-27k6.9k2 -5-27k -6 . 9k2 -529k 418由 厶=(_54k)2180 9k2 - 4 _0 ,解得92.5k2所以AP二PBx2X1 - 19k_ 上9占45 k 20 =1 - 18k 2=19k 2、9k2 _59k 2 9k324 k 2 , _ 51818所以181-1 _ 1 -9 2 - J 51818AP 1- 1 <一 PB 一 52:如果想构造关于所求量的不等式，生不等关系的根源。由判别式非负可以很快确定综上解法则应该考虑到：

9、判别式往往是产k的取值范围，于是问题转化为18如何将所求量与k联系起来。一般来说，韦达定理总是充当这种问题的桥梁，但APx本题无法直接应用韦达定理，原因在于=丄不是关于X1；X2的对称式.问题PBx2找到后，解决的方法自然也就有了，即我们可以构造关于X1；X2的对称式生X2 X1(*)简解如下：设直线l的方程为：y =kX 3，代入椭圆方程，消去y得亠 54 kX 亠 45 = 09k24 X2 54 k4518X1X2 二29k1818X21818在（*）中，由判别式厶一 0,可得从而有2324 k4 <36:一2 . _ ，45 k 205所以解得结合01： _1 得1 o5综上，A

10、P1一1乞PB5点评：范围问题不等关系的建立途径多多，诸如判别式法，均值不等式法， 变量的有界性法，函数的性质法，数形结合法等等 本题也可从数形结合的角度 入手，给出又一优美解法.咼考真题1. (1990年全国高考题)设f x = J Y " (n -答案与提示：仁(I)2 一1 ；(U)略。2。(I)当时,函数f X的两个不动点为-1,3 ；(H) 0 : a : 1 ；(m) bmin)心，其中a是实数，'丿nn是任意给定的自然数，且n2.(I)如果f(x)当x ( %，1时有意义，求a的取值范围；(U)如果a (0，1，证明2f x :：: f 2x当xM 0时成立.2. ( 2002年上海春季高考 22题)对于函数f x，若存在R，使得 f X。；=：X0成立，则称X。为f X 的不动点。已知函数2f x ax 1b x1 -b。 -<0(I)当a =1,b = 一2时，求函数f x的不动点；(U)若对任意实数b，函数f x恒有两个相异的不动点。求a的取值范围；(川)在(U)的条件下，若y=f x图像上A、B两点的横坐标是函数f x的不动点，且A、B两点关于直线y = kx 1 对称，求b的最小值。2a +13. (2002北京春季高考22题)已知某椭圆的焦点是F1( -,0)、F2(4,0)，过 点F2并垂直于x轴的直线与椭圆的