圆的认识教学案例

1、圆的认识教学案例【背景分析】圆的认识是小学数学教材中非常传统的一个内容， 许多名家将它作为典型研 究课例，以不同视角作过精彩演绎。朱乐平老师巧用“脸部整圆术”教学圆的知 识，利用两课时的时间让学生逐步感知圆的特征； 潘小明老师创设现实中投圈是 否公平这一问题情境，展开对圆的探索；张齐华老师运用数学文化的视角为圆的 认识打开另一片天空。其实对于圆的认识这样一节研究课，已经被上课者挖掘得 非常彻底了，甚至于老师们欣赏圆的认识这节课也已经达到了相当高的水准了。 我们知道，圆的科学定义是：在平面内，到达一个定点距离等于定长的点的轨迹 叫做圆。但是很少人尝试着从圆的本质属性出发， 教学圆的认识。所以我尝

2、试着 从圆的本质属性出发，引领学生用“点的轨迹”的思想去感悟、 体验和理解圆的 本质属性，实现深入浅出的教学圆的认识。所以我提出了对圆的认识教学的几点思考：1、教学圆的特征时，能否在小学阶段就让学生领悟“圆是平面内到定点距离相等的点的集合”这一本质特征，为学生后续学习和今后有效发展铺设奠基石？2、探究圆的特征时，除了借助探究材料和有效的实践操作， 是否可以利用想象、 推理有价值的数学思考方式来学习圆的特征？3、圆具有深厚的文化内涵，是否可以将圆的文化融合在数学学习过程之中，实 现数学知识与数学文化水乳相溶，使数学课堂显得丰满而圆润？【过程描述】一、课前游戏：师：在规定的时间内看谁画的点多。规则

3、：先在白纸上画一个点，然后再画一些点，要求到第一个点的距离都是 3厘米。师：如果有时间给你画，你能画多少个点?生：可以画无数个点 师：这些点将会成为什么图形？生：圆形。师：我能在很短的时间内画无数个这样的点。你信吗？（老师用圆规将图画成圆形，板书课题：圆的认识）二、教学新课师：你能把刚才自己画的那幅图补充成圆形吗？师：这是我们第一次用圆规画圆，你觉得哪儿最容易出问题？生：圆画到最后可能会合不拢。师：为什么会合不拢？是什么原因呢？生：圆规两只脚忽大忽小就会这样。师：就是说圆规两只脚距离不能改变。还有其他情况吗？生：也有可能针尖动了，也会画不圆。师：针尖也不能动，看来我们要把重心放在针尖这一边，固

4、定好两脚尖的距离, 旋转一周后就可以得到圆形，这些都是画圆的技巧。师：同学们，看到这个圆，让你联想到生活中的哪些物体？生：硬币、月饼、钟面 生：篮球师：真是很厉害，能把平面图型想象成立体图形，不过老师要告诉你，球形与圆形还是有很大区别的。能说完吗？老师也带来了一些。瞧！（美丽的圆形图片）就连大自然对圆也是情有独钟！（欣赏美丽的光环、绽放的向日葵等）师：圆美吗？生：美！师：难怪古希腊有位数学家说：“在一切平面图形中，圆是最美的。”师：圆看似简单其实一点也又不简单！在圆里，还隐藏着许多数学知识！三、圆的各部分名称与圆的特征师：在这个圆里，中间的这个点叫圆心，用字母0表示，你还知道哪些数学知识?生：

5、半径r。师：能上来画一条半径吗？（生上来画半径）还有哪些知识？生：直径do师：请你也上来画一条，好吗？（生上来画直径）师：用自己的话说一说什么是半径？生：圆心到圆边的线段。师：圆边在数学上叫做圆上。那什么叫做直径呢？生：路过圆心，两个端点在圆上的线段叫直径。师：这只是我们感性的认识，要想得到更科学的概念，我们还得请教书本。（自学书本第135页找到半径与直径的概念，并读一读师：半径是连接圆心到原上任意一点的线段， 这“任意一点”你是怎么理解的？生：就是随便哪一点都可以，圆上有无数个点，取一个点就可以。师：现在请你在自己的圆内标出圆心，并画一条半径。师：你还能画多少条半径（继续画）？画的完吗？生：

6、画不完，有无数条？师：你是怎么想的？生：因为圆上有无数个点，都可以连接圆心成为半径，所以有无数条半径。师：量一量这些半径的长度，相等吗？生：半径长度都相等，都是3厘米师：你量了几条半径？生：我量了 2条。师：凭什么说半径长度都相等。生：我们可以通过测量半径是3厘米，而刚才的游戏规则就是要求每个点到到圆 心的距离是3厘米。生：我还可以用圆规来量（用圆规在圆上走一圈），两脚的距离没有变，所以说 半径都相等。师：掌声还在等什么？（众生鼓掌）师：现在我们已经研究了半径的特征， 现在可否想象一下直径有多少条， 长度都 相等吗？ 生：直径也有无数条，长度都相等。师：直径有无数条，我们可以借助半径有无数条类

7、比推理。 那么直径长度都相等， 你是怎么知道的呢？生：可以借助测量半径的经验，测的所有直径的长度都是 6厘米。生：还可以看出直径是半径的两倍，半径都相等，直径肯定都相等。师：直径是半径的2倍，你是怎么知道的？生：直径可以分成2条半径呀？师：真不错，半径和直径的关系的秘密竟一眼被你看出来了。 不过呆会儿我们还 要用多种方法来证明。（半径与直径的辨析练习。教师适时点出圆内、圆外、圆上等名词）师：拿出圆形纸片，怎样可以找到圆心的位置？（学生操作，指导）师：这个同学用眼自信的找到了圆心，你们觉得对吗？生：一看就知道圆心位置找偏了。师：那该用什么方法来确定圆心的位置？生：对折再对折的方法可以找到圆心。师

8、：所以我们还需要用更方便、更科学的方法寻找圆心。师：同桌合作，通过折一折、量一量、比一比的方法研究圆的半径与直径的关系？并说明你是用什么方法来证明？生：我是量一量的方法，半径是 3厘米，直径6厘米，所以直径是半径的2倍。师：用测量法证明，直径是半径的 2倍，还可以说半径是直径的二分之一。生：比一比的方法，一条直径可以看成 2条半径，所以直径是半径的2倍。师：用观察法证明，很不错。还有其他方法吗?生：我是用折一折的方法，对折以后有一条直径，再对折变成了 2条半径，所以 直径是半径的2倍。师：太了不起了，如此抽象的数学知识，在你们的手里竟如此简单地迎刃而解了。师：难道圆规仅仅只能画半径是 3厘米的

9、圆吗？我想画的更大些，怎么办？生：圆规的两角距离拉大。拉到 4厘米。（师画了一个同心圆）师：还能再大吗？（能）能比3厘米小一些吗？（能）师：什么决定了圆的大小？（半径）师：这两个圆虽然大小不同，什么是相同的？（指出数学上称为同心圆）师：刚才得出结论半径都相等，这两条半径相等吗？（不相等）看来刚才的结论 还需要增加一个条件。（同圆、等圆内）。师：我想到其他的位置画圆，该怎么办？是什么决定圆的位置？（圆心）四、巩固拓展师：周髀算经里有这么一句话“圆出于方，方出于矩”，所谓“圆出于方”就是说最初的圆并不是由圆规画成的， 而是由正方形不断的切割而成的。 如果告 诉你正方形的边长是10厘米，你能知道圆的

10、半径与直径吗？生：半径是5厘米，直径10厘米。师：到现在美术老师还会用这种方法教我们画圆。其实关于对圆的研究，何止只有一部周髀算经呢？二千多年前，我国古代思想家墨子就提出：圆，一中同 长也。你知道一中什么意思？（一个圆心）同长呢？（半径同样长，直径同样长） 这个发现比西方整整早了 1000多年。你们感到自豪吗？师：体育老师想在操场上画一个比较大的圆，难道还用圆规？生：画个正方形，再切割成圆。师：活学活用呀，不过太麻烦了。生：用绳子固定在圆心。另一边旋转就可以画圆了师：老师就准备了这样的钉绳工具，你们俩上来画一个圆，好吗？（生画圆）师：这些方法与圆规画圆的方法有什么共同的地方？生：圆心固定不动。

11、有一个固定长度，不能发生改变。师：真是了不起，“没有圆规，也成方圆。”师：自行车轮子为什么选用圆形，而不选用三角形与正方形？生：用圆形没有阻力，三角形与正方形有棱有角的，不好滚。师:难道用圆形做轮子就可以吗？（课件演示车轴在圆心和不在圆心的两种情况）生：车轴应该安在圆心，这样所有的半径都相等，车子就会平稳。师：原来车轮里也蕴含了数学知识。巧妙地利用了同一个圆里所有半径都相等这 一特征，所以车子跑起来又快又稳。五、课堂总结（略）【自我反思】整堂课以围绕感知、体验和深化圆的本质属性的学习框架而展开。游戏 环节以初步感知圆是到定点距离等于定长的点的集合；画圆环节以体验圆是确定 固定长度（半径）围绕固

12、定点（圆心）旋转一周形成的封闭图形；练习环节在多 样的画圆方法中，提炼出画圆的共同点，深刻理解圆的本质属性。我引领学生用“点的轨迹”思想学习圆的本质属性， 得到了成功的尝试，总结起来有以下几点 体会：一、返朴归真一一用数学的本质魅力来吸引学生创设情境有利于调动学生的学习兴趣与欲望，但最终能够真正持久地吸引学生的 是数学的本质魅力，它才是维系学生不懈学习数学的源泉。 课堂上我没有创设情 境，但学生在学习活动中投入了极大的热情， 这股热情源于学生对数学本身魅力 的吸引，源于对数学思考的挑战，源于对数学真理的追求。为什么“在白纸画一 个点，然后再画一些点，要求到第一个点的距离都是3厘米。”形成的图形

13、会接 近于圆形？而当有无数个这样的点就会形成一个圆形， 究竟里面隐藏着怎样的奥 秘？是数学的本身魅力吸引着学生。 更重要的是，利用这样一个画点平台，用圆 规将它补充成一个圆的时候，半径与直径的特征就在潜移默化中悄悄解决了。“为什么圆有无数条半径？”“因为圆上有无数个点，都可以连接圆心成为半径，所以有无数条半径。” “为什么所有的半径的长度都相等？” “我们刚才的 游戏就是要求每个点到到圆心的距离是3厘米。”“我还可以用圆规在圆上走一圈，两脚的距离没有变，所以说半径都相等。”看似非常简单的画点游戏，却 蕴含了深刻的哲理一一圆的本质属性：圆就是平面内到定点距离相等的点的集 合。二、数学思考一一有效

14、操作最终为思维的深刻性服务数学课堂中，数学操作有利于学生数学的思考，但是操作仅仅是作为学习的手段， 把它作为“拐杖”，最终实现操作活动数学化。按照皮亚杰的观点，在操作活动 数学化的过程要让学生积累丰富的感性经验， 再在这个基础上作反省抽象，从而 认识概念的本质内涵。所以教师要引导边操作、边思考，逐渐在头脑中建立一定 的数学模型，最终使他们能够脱离操作进行数学的思考，实现知识的建构。圆的半径有无数条这一特征，假如想利用操作理解这一特征实在很抽象， 但是借助画 点这一有效操作手段建立一个认知经验， 再通过有效操作后的合理想象，比较容 易得出圆有无数条半径，以此类推出圆的直径有无数条也是水到渠成。

15、同时在解 决半径与直径之间的关系时，通过测量法、观察法、折叠法来学习数学时，我们在操作时只研究了一条直径与对应的两条半径存在的倍数关系，但是借助不断的想象与推理，以此类推：任何一条直径都有与之相对应的两条半径， 最终得出一 条直径等于两条半径。可以说，此时的操作并不是主要学习的手段， 反而数学的 思考一一想象、推理成为学习圆的特征主要学习方式。这些有价值的数学思维， 随着学生年龄的增长，越来越显现出其重要的地位与作用。三、文化底蕴一一数学学习过程中实现数学知识与数学文化有机融合数学史料是不仅仅只作为课堂教学的一种点缀，更重要的是通过学习内容的融合 中品味其中的含义，用于巩固、深化和拓展对圆的知

16、识。课始，在简单而抽象的 圆中展开想象：圆让你联想到生活中的什么物体，老师适时地呈现收集到的精美 图片，然后引用古希腊数学家的一句话：“在一切平面图形中，圆是最美的。” 有了这样的一种亲身体验美的过程，对圆的思考与研究就添加了有效的催化剂。周髀算经关于圆的记载：圆出于方，方出于矩。最初画圆并不是由用圆规画 的，而是由正方形不断的切割而成的。事实上，这种方法至今仍在沿用，美术老 师还会用这种方法教我们画圆，进一步思考，如果正方形的边长是10厘米，你 能想到圆的直径与半径的长度吗？在默默学习古人画圆方法的过程中，体会到原来自己美术课上画圆的方法也有这样一段美丽的典故呢？数学文化正悄悄滋润 着每位学

17、生的心田。其实古人关于圆的研究，又何止一部周髀算经呢？二千 多年前，我国古代思想家墨子就提出：圆，一中同长也。请你运用所学知识解释 墨子研究的成果。练习设计一个数学文化渗透，一个技能练习（求半径和直径）， 一个用圆的知识解决生活中的问题（且落实了画圆的技能），一个是分析生活中 的现象。在落实知识与技能的同时，学会用数学的眼光分析生活问题，学习有价 值的数学，精彩地演绎着数学文化。在不断学习与深化的过程中，始终有伟人与 史料做伴，数学文化使得数学课堂变得丰满而圆润。教学设计与反思课题：圆的认识科目：数学教学对象： 六年级学生课时：1提供者：简约？智慧工作坊03组 张锦发 单位：永定县高陂中心小学

18、一、教学内容分析人教版数学第一册第四单元，教科书第8587页，练习二十二的第1 5题。教材 首先讲圆的认识，通过圆的直径和半径以及它们长度之间的关系，使学生认识圆的特征； 然后讲圆的画法，进一步加深对圆的认识。通过对圆的认识，培养学生抽象概括能力， 发展学生的空间观念。学习本节内容，不仅使学生全面系统地认识圆，而且为学生今后 学习圆柱、圆锥、绘制简单的统计图打好基础。二、教学目标1、认识圆，知道圆的各部分名称，掌握圆的特征，理解和掌握在同一个圆里半径和 直径的关系，会用圆规圆圆。2、通过观察、操作、猜想等数学活动，让学生经历知识再发现，再创造的过程，完 成知识赋予的意义，培养探究意识、初步的探

19、索能力口解决简单实际问题的能力，发展 空间观念。3、从学生已有的经验出发，激发学生学习兴趣，培养学生积极思维的品质，使学生 充分感受到数学与现实生活的密切联系，体会圆的美。三、学习者特征分析学生在低年级虽然也认识了圆， 但只是直观的，对于掌握圆的特征还是有难度的。 由 认识直线图形到认识曲线图形，是认识发展的一次飞跃。小学六年级的学生思维处于经 验性的逻辑思维，思维的形成与发展需要依赖具体形象的经验材料来理解和抽象事物之 问的内在联系，以前学的几种常见图形是由线段围成的，而圆则是由曲线围成的图形， 无论从内容本身，还是研究问题的方法，都有所变化。故此，在教学中要紧密联系学生 的实际生活，列举出

20、日常生活、生产中所见到的圆形物体，引出圆的概念，了解圆的特 征。圆的相关知识与特征，学生通过自己的操作、探索都能获得，“学”数学就是“做”数学；而学生的心理特点，决定r应当重视引导学生运用多种感官，参与知识的形成过 程，因此我借助多媒体课件为自己的探索所得提供科学验证和知识深化、运用的机会。 通过认识圆、画圆过程，体验数学的乐趣。四、教学策略选择与设计1、让学生在生活问题的解决过程中，实现知识的再创造。创设情境，由“套圈比赛是否公平”的生活问题，唤起学生的生活经验：围成f,每 个人到“小猴玩具”的距离相等，由此为依托，讨论、揭示出圆的本质属性：曲线（圆） 上的每个点到中心点（圆心）的距离都相等

21、。让学生经历“牛吃草范围”生活问题的解决过程，探究出圆的位置由圆心决定，圆的大小由半径决定。2、让学生围绕画图的一系列活动，完成知识的建构；(1)尝试画圆，有的根据生活经验，沿圆形物体的边沿画圆；有的用圆规画，在尝试中 获得初步的经验；(2)画三角形，作为对比材料；(3)画不封闭的圆和不规则的曲线图形，徒手画圆、闭上眼睛画圆，作为反例，增强学 生的体验；(4)估算，在脑中圆圆，培养学生空间观念；(5)用画图的办法解决“牛吃苹范围”的生活问题，密切生活与数学的联系，提高学生 数学化能力；(6)运用知识，为工程铲车添上轮子，检验知识的掌握；(7)用圆规画一个和老师所发圆同样大小的圆，富于挑战的活动

22、，为沟通知识的联结起 很好的促进作用；(8)回太极图的开放性活动，拓展知识的运用，渗透人文、历史教育。3、有机渗透人文、历史因素，使数学教学更人性化、更具美感。五、教学重点及难点掌握圆的特征，理解和掌握在同一个圆里半径和直径的关系，会用圆规画图。六、教学过程教师活动学生活动设计意图一、课前谈话，拉近师生跑离， 消除紧张气氛。二、从生活问题中引入，丰富实 物表象，激发学习兴趣。师：这节课我们T用数学方法 解决两个生活问题，并在一系列 的画图活动中思考、探究，获得 数学知识。问：在国庆游园活动中，10个小 朋友参加套圈比赛，面对小猴玩 具一字儿排开，同时掷出套圈， 谁最容易套中，谁最不容易套 中？

23、这样比赛公平吗？三、尝试画图，探索圆的本质属 性。1、师：你想不想自己动手画一个 圆？那好，请利用你手边的工具， 用你自己喜欢的方式回一个圆 吧，比比看谁画的最好看。了解本课的学习方法。根据生活经验判断，讨论明 确：小朋友离玩具的跑离是不 相等的，所以也是不公平的。 进而思考，找到解决问题的方 法：围成圆形冉套圈，每个人 到玩具的距离到相等，初步理 解圆的本质特征。学生用/、同方法画圆。预设：A、用钢笔沿着硬币外 围回一圈，回出一个圆。B、 用三角板上的圆形窟隆回一个一堂课好的“序幕”如 同“吸铁石”，可以把 学生牢牢地吸引住，使 学生迅速进入“角色”。 这一环节设计游园活 动套圈比赛的情境，

24、一 开始就牢牢抓住学生 的心，激发学生的学习 兴趣和情感需要，调动 学生进一步探究学习 的欲望；同时也让学生 感受到圆的美及无处 不在，体现数学来源于 生活。因为学生已经对圆有 了大量的生活经验，所 以让学生利用手中的 工具A次自己尝试画圆，让学生通过自己 动手、动口、动脑等实 践活动，体会用圆规画 圆的准确性。要求学生对圆与三角 形这两个图形进行比 较，让学生进一步体会 圆是由一条曲线围成 的图形。通过徒手画圆，让学生 进一步体验圆是一个 封闭图形，并且曲线上 任何一点到一个定点 的距离要相等。通过举反例，判断一个 图形是否是圆，让学生 进一步理解和巩固圆 的特征的认识。进一步培养学生独立

25、思考和交往与合作的 能力，进一步培养学生 数学的表达和交流的 能力。借助学生自身画圆的 体会以及通过老师必 要的引导和讲解，认识 圆心、半径和直径。对2、教师示范画圆。3、师：请用最快的速度画出一个 三角形。4、问：画圆和画三角形有什么不 同感觉呢？引出“曲线”（板书： 曲线）。5、师板画反例：一个不封闭的 “圆”引导学生观察比较，引出 “封闭”。6、再看这条封闭曲线（指套圈 图），为什么说这样排列，圆上的 每个人套中的可能性一样大，比 赛是公平的？师：也就是说曲线上的每个点到 中心点的距离都相等。7、生、师先徒手画圆，再闭眼画 圆。和圆规画的圆比较一下，有 什么不一样？为什么说是不标准 的圆

26、？8、进一步举反例：说说为什么不 是圆。9、圆是什么？你懂了吗？把你知 道的写下来，一个词，一句话， 两句话都可以。10、交流归纳。（板书:封闭曲线， 曲线上每个点到中心点的距离都 相等。）四、操作、观察、推理，发现圆 的特征。（1）我们再看这条封闭曲线（指 套圈图），如果一个人站在圆内（在圆圈内贴上一人），比赛公平 吗？站在圆外呢？（在圆圈外贴 上一人）由此可见，比赛公平是 因为圆圈上的每个人到中心点的 距离都相等。圆。C、在绳，子一端系一支铅 笔，按 住绳子一端，也画出一 个圆。D、用圆规画出一个标 准的圆。学生画一个三角形。学生谈感受。预设：圆是一 条曲线围成的，三角形是三条 线段围成的

27、。学生观察，比较，得出“封 闭”。学生观察发现：圆圈上的每 个人到玩具的距离都相等。学生按要求操作，谈体会。 通过与反例的比较，再一次体 验圆的本质特征：圆的任一点 到圆心的距离相等。根据圆的特征进行判断、说理。学生互相交流，用一两句话 描述“圆”。明确圆的含义。在观察、比较中明确圆内、圆 上、圆外的区别。学生观察讨论汇报。学习用字母表示。观察半径的画出过程。根据观察，概括半径的定义。根据实际情境，明确半径在不 同情境中的作用，深入理解半 径。通过与反例的比较，并说明理 由，进一步理解半径的含义。学生尝试画，观察发现半径无 数条，每条都相等。从字面含义理解，明确半径含 义的表述方法。在对比、延

28、伸中理解直径。观 察，表达、交流、修正完善直 径的含义。学生判断是不是直径，并说明 理由。学生自已想办法探究，得出d=2r, r=d/2 。在口算的过程中，感悟半径和 直径的联系。学生出题考全班同学，在互考 互答的过程中，加深理解半径 和直径的联系。于圆的半径直径的概 念学生自主探究总结 的难度比较大，所以教 师在这里进行适当的 引导是非常有必要的。“儿童的智慧就在他 的手指尖上。”动手操 作的过程，不仅能使学 生学得生动活泼，而且 对所学知识能理解得 更深刻，记忆得更牢 固。在这一环节的处理 上，通过让学生在足够 自主的空间、足够活动 的机会中自主探索、动 手实践、积极合作，这 样做有利于让

29、学生获 得积极的、深层次的体 验，体验成功的喜悦， 体验知识的形成与发 展，在这里学生的学 习不只是“文本课程” 而更是“体验课程”。个别学生亮圆片考大家。（2）我们把圆中心的这一点叫做 圆心，用字母（O）表示。（板书）（3）曲线上（就是圆上）每一个 点（任意点）到圆心的距离都相 等，师示范画出一条半径，我们 把这条线段取名为“半径”用字 母（r）表示（板书），谁能说说什 么样的线段叫半径？如果用圆规 画圆，半径是-（圆规两脚间的 距离）；如果用绳子画圆，半径是 -（纯子的长度）；时针的针尖 运动所形成的圆，它的半径是-（时针的长度）。（出示辨析图）这是半径吗？问 什么？这样的半径会画吗？多画

30、几条， 看有什么发现？（4）字面解释：“径”指直的路， 圆中指哪到哪的路？为什么又叫“半” ？我们把另一半延伸出去， 画完整，现在不叫“半径”，叫什 么？（直径，用字母d表示）（板 书）什么叫直径？会用刚才的方 法，发现一些什么吗？（出示辨析图）这是直径吗？为 什么？那么同一个圆中，半径和直径有 什么关系呢？（板书：d=2r, r=d/2）（6）出题互考:训练=2或r=d/2。 师示范举例：一个圆的半径是4 厘米，直径是-;一个圆的直径 是2米，半径是 ；这个圆瓶盖 的直径是13厘米（举起瓶盖）， 半径是师发给三张圆片，直径、半径 差别较大。分别为：半径10厘米、 直径1米、半径3分米师问：甲圆直径6厘米，乙圆半径4厘米，甲圆直径是不是乙圆 半径的2倍？(强调：“同一个圆 里”这个前提条件)如果要回一个圆，把在座的各 位都围在圆内，估算一下，半径 大概是多少米？直径呢？(7)小结，介绍我国古代就启r 关于圆的精确记载，渗透人文思 想。五、解决现实问题，明确圆心和 半径的作用。(D才头牛用木桩拴在草地上 吃草，你能画一个图来表示牛所 能吃到的草的范围吗？(2)能吃到的范围的草吃光了， 你能想办法，让牛继续吃草吗？ 六、画圆实践，运用知识(1)为工程铲车添上轮子。(2)用圆