一种改进粒子群优化算法在多目标无功优化中的应用

1、2010年7月电工技术学报Vol.25 No. 7 第25卷第7期TRANSACTIONS OF CHINA ELECTROTECHNICAL SOCIETY Jul. 2010一种改进粒子群优化算法在多目标无功优化中的应用李鑫滨1,2朱庆军1(1. 燕山大学电气工程学院秦皇岛 066004 2. 河北省数学研究中心石家庄 050000摘要针对粒子群优化算法容易陷入局部最优等问题,提出了一种新的模糊自适应-模拟退火粒子群优化算法。该算法首先是基于模糊推理的思想,将规范化的当前最好性能评价和粒子群算法的惯性权重、学习因子作为模糊控制器的输入,以算法参数变化量的百分数作为模糊控制器的输出,并根据参

2、数设置经验建立了相应的模糊控制规则,使其能够自适应地调节粒子群优化算法的参数;对调节后粒子新位置的优劣,则通过采用模拟退火算法调节粒子的适应度来加以评价。最后,采用改进后的粒子群优化算法对多目标无功优化模型进行了求解。IEEE 30节点和IEEE 118节点的标准电力系统算例验证了本文所提出的模糊自适应-模拟退火粒子群优化算法的有效性和可行性。关键词:粒子群优化多目标无功优化模糊自适应模拟退火中图分类号:TM714.3Application of Improved Particle Swarm Optimization Algorithm toMulti-Objective Reactive

3、Power OptimizationLi Xinbin1,2 Zhu Qingjun1(1. Yanshan University Qinhuangdao 066004 China2. Hebei Mathematical Research Center Shijiazhuang 050000 ChinaAbstract In order to avoid the defect that a conventional particle swarm optimization (PSO algorithm is easy to trap into a local optimization, a n

4、ew fuzzy adaptive-simulated annealing PSO algorithm is proposed in this paper. Based on the principle of fuzzy logic, the inputs to the fuzzy controller are the normalized current best performance valuation, inertia weighing of the PSO algorithm and the learning factor, the outputs of the controller

5、 are the parameters rate of change. The fuzzy rules are formulated based on the experience of parameters settings so as to adjust the PSO parameters adaptively. The quality of particles new location after the adjustment is valued by simulated annealing (SA. Then, the modified PSO algorithm is introd

6、uced to solve multi-objective reactive power optimization problem. IEEE 30-bus and IEEE118-bus system are simulated to verify the effectiveness and feasibility of SA- fuzzy self-adaptive particle swarm optimization algorithm.Keywords:Particle swarm optimization (PSO,multi-objective reactive power op

7、timization, fuzzy logic, adaptive, simulated annealing (SA1引言电力系统无功优化是保障电力系统安全、经济运行的有效手段,合理的无功分布可以降低网损、提高电压质量并保持电网的正常运行。通常,建立无功优化模型要从经济性和安全性两个角度同时考虑,以有功网损最小、节点电压幅值偏离期望值最小及电压稳定裕度最大为目标函数,构成多目标的无功优化模型。因此,无功优化是一个多变量、多约束、多目标的混合非线性规划问题。对于此类非国家自然科学基金(60874026和河北省自然科学基金(07M007资助项目。收稿日期 2009-07-10 改稿日期 2009-

8、09-11138 电工技术学报 2010年7月凸的、存在多个局部最优点的非线性规划问题的求解,目前常用的方法大致可分为常规优化方法和现代启发式方法。其中梯度法、线性规划和非线性规划等常规数学优化方法,虽然都各有其一定的优越性和适应性,却普遍存在要求目标函数可微、求解时间较长和容易产生维数灾等缺点1。随着进化计算技术的发展,遗传算法、蚁群算法和粒子群优化算法等现代启发式算法逐渐引发了人们的研究兴趣,并显示出极大的应用潜力。粒子群优化(Particle Swarm Optimization, PSO算法是一种基于群体智能的全局优化进化算法。近年来,PSO算法已广泛应用于函数优化、神经网络训练、组合

9、优化、模式识别、电力系统优化等领域2-3。PSO算法具有原理简单、容易实现、易于与其他算法融合等特点,但也存在容易早熟收敛等问题4。在算法执行过程中,PSO算法的参数(惯性权重w、加速常数c1和c2通常被设置成常数或按线性变化规律自适应地从一个较大的初值递减到一个较小的值。由于粒子群算法的搜索过程是一个非线性、动态优化的过程,从全局到局部搜索的线性过渡过程并不能真实反映粒子在寻找最优解时实际的搜索过程,因此,考虑利用模糊控制理论的方法对PSO算法的参数进行调整便成为一种较好的选择。文献5提出了基于模糊系统的惯性权重调整策略,但没有考虑对两个加速系数也进行调节,而加速系数在决定粒子下一时刻位置时

10、起着同样重要的作用。文献6则将规范化的当前最好性能评价和规范化的最好性能值未改变次数作为模糊控制器的输入,把PSO算法的控制参数作为模糊控制器的输出,利用模糊规则同时调节算法的惯性权重和加速系数。该算法的问题是规范化的最好性能值未改变的次数较大时,算法却不一定陷入局部最优,因为粒子的适应值可能经过很多次迭代都未发生改变,此时若调节算法的参数就难免有些盲目。另外,模糊调节参数后的粒子新位置是否比原位置更优,现没有文献做出研究。针对上述研究的问题,本文基于模糊控制理论及模拟退火原理对PSO算法进行了改进,进而得到了一种新的模糊自适应-模拟退火粒子群优化算法。该算法先是通过设计模糊控制器使之能够自适

11、应地调节PSO算法的惯性权值和加速系数,然后再通过模拟退火算法对调节后粒子的适应度进行修正,进而来决定新位置是否被接受,从而避免了对算法参数的盲目调节。最后,应用改进的PSO算法对电力系统的多目标无功优化问题进行了求解,并给出了相应的仿真算例。2多目标无功优化的数学模型本文兼顾电力系统运行的经济性和安全性,以有功网损最小、电压偏差最小和电压稳定指标最小为电力系统多目标无功优化的数学模型7。2.1有功网损最小模型有功网损最小模型如下:(22Loss1min2cosl Nk k i j k i j ijkP g T V V T VV=+ (1式中,N l为参与损耗计算的支路总数;g k为支路k 的

12、电导;i、j分别为支路k两端的节点号;T k为变压器k的电压比;V i和V j分别为节点i和j的电压;ij为节点i和j之间的相角差。2.2电压偏差最小模型节点电压值是检验系统安全性和电能质量的重要指标之一。因此将电压与指定电压的偏差也作为目标函数之一,使得电压能保持在满意的水平上,即Lmax1minNi iiiV VVV=(2式中,i V为负荷节点i的指定电压幅值,通常1iV=;maxiV为负荷节点i允许的最大电压偏差,即max max mini i iV V V=;N L为系统的负荷节点数。2.3电压稳定指标模型由Kessel等提出的局部稳定L指标,是从一个潮流解的变量和参数来计算的电压稳定

13、指标8。在发电机节点电压维持恒定的情况下,稳定状态对应L<1.0;当系统趋于失稳时, 1.0L。根据L和1.0的距离,可表征系统的稳定裕度。故可将电压稳定指标L最小作为目标函数之一,以使系统的电压稳定裕度最大,即(Lmin max jj NL L=(3式中,L j为第j个负荷节点的局部电压稳定指标。2.4约束条件(1功率潮流约束(bg d1PV PQcos sin1,Ni i i j ij ij ij ijjP P V V G Bi N N=+=+"(4第25卷第7期李鑫滨等 一种改进粒子群优化算法在多目标无功优化中的应用 139(bg d c 1sin cos N i i i

14、 ij ij ij ij ij j Q Q Q V V G B =+PQ 1,i N =" (5 式中,N b 、N PV 、N PQ 分别为节点数、PV 节点数、PQ 节点数;G ij 、B ij 、ij 分别为节点i 和j 之间的电导、电纳和相角差;P g i 、Q g i 分别为节点i 发电机有功和无功功率;P d i 、Q d i 分别为节点i 的有功和无功功率;Q c i 为节点i 并联电容器补偿的无功功率。(2状态变量约束min max L L L PQ 1,i i i V V V i N =" (6 min max g g g g 1,i i iQ Q Q i

15、 N =" (7(3控制变量约束min max g g g PV 1,i i iV V V i N =" (8 min maxt 1,k k k T T T k N =" (9 min max c c c c 1,i i iQ Q Q i N =" (10式(6式(10中,N g 、N t 、N c 依次为发电机节点数、变压器支路数、并联电容器的节点数;V g i 、V L i 分别为发电机节点i 的电压和负荷节点i 的电压;min L i V 、max L i V 、min g i Q 、maxg i Q 、min k T 、max k T 、min

16、g i V 、max g i V 、 min c iQ 、maxc iQ 分别为相应变量的下限和上限。2.5 多目标无功优化的模糊解法对上述电力系统多目标模型如果直接求解可以得到Pareto 最优解集,但从中决策出满意解比较困难,因此本文采用多目标的模糊解法将其先转化为单目标模型后再利用改进的粒子群算法进行优化求解。采用模糊多目标解法要求目标函数必须是模糊的,因此,需要把上述多目标无功优化模型转化为仅在0,1区间取值的隶属度函数。转化的对象主要是各子目标函数和状态变量,对于控制变量不等式约束和潮流等式约束,则直接编程优化6。本文对各子目标函数和状态变量进行模糊化处理时采用如图1所示的线性隶属度

17、函数。需要说明的是对负荷节点电压的隶属度函数选择梯形分布比较合适,如图1d 所示。图中 为可接受的节点电压偏移量(正数,即当负荷节点电压的基准值偏移在, 时,认为可以接受;否则,不可接受。由隶属度曲线可以看出,当基准电压值减小或增大时,其隶属度均降低,当节点电压变化量超出节点电压允许的偏移量时,隶属度为零,这是不允许的。图1 模糊隶属度曲线Fig.1 Membership of objective functions and constraints将目标函数和状态变量按上述隶属度函数模糊化处理后,再根据模糊判决,利用最大化最小隶属度函数最终可以把此多目标无功优化问题转化成如下的单目标形式6:(

18、p 121212max ,s.t.,0 ,0x x H x x C x x µ= (11 式中,(p 12,x x µ表示最优隶属度;(12,0H x x =表 示潮流等式约束;(12,0C x x 表示控制变量约束。 由此可以由下式计算出无功优化的最优解:(p 121Loss 234L 5g ,min ,i i x x P U L V Q µµµµµµ=(p 12max ,x x x µ= (13由上式求得的最优解x *即是待求多目标问题的有效解或弱有效解7。(12140电 工 技 术 学 报 2010

19、年7月3 改进的粒子群优化算法3.1 标准粒子群优化算法PSO 算法的基本原理是群中的每个粒子在搜索空间中,按照如下公式不断地调整自身的速度和位置,直到满足收敛终止条件。(1122g 1id id id id d id v k v k c r p k x k c r p k x k +=+ (11id id id x k x k v k +=+ (15式中,(id v k 为粒子i 在第k 次迭代中第d 维的速 度;(id x k 为粒子i 在第k 次迭代中第d 维的位置;为惯性权重;c 1、c 2为加速系数或称学习因子;(id P k 为粒子i 在第k 次迭代中第d 维的个体极值点的位置;(

20、g d p k 为整个粒子群在第k 次迭代中第 d 维的全局极值点的位置;r 1、r 2为0,1区间独立的均匀分布的随机数。 3.2 模糊控制器设计本文提出采用模糊控制的方法对PSO 算法的权重和两个学习因子进行动态调节。在设计模糊控制器时,提出将规范化的当前最好性能评价(Normalized Current Best Performance Evaluation ,NCBPE 和当前PSO 算法的控制参数、c 1、c 2作为模糊控制器的输入,把PSO 算法控制参数变化量的百分数%、1%c 、2%c 作为模糊控制器的输出。minmax minCBPE CBPE NCBPE CBPE CBPE

21、= (16式中,CPBE max 、CPBE min 分别为当前种群最优性能评价的上下限。为保证算法收敛性,根据PSO 算法控制参数已有的设置经验,参数值应保持在规定的范围内5,10,即0.2 1.1,11 2.0c ,21 2.0c ,算法控制参数变化量的百分数之变化范围均为0.14,0.04。本文对模糊控制器中模糊规则的建立主要来源于以下对控制参数的调整经验:(1当NCBPE 在迭代后期很小时,可以认为算法已接近最优值,可减小惯性权重、同时增大加速系数c 1、c 2,以便加强算法的局部搜索能力。(2随着迭代次数的增加,个体认知逐渐削弱而群体认知逐渐加强,c 1应逐渐由大变小,而c 2应逐渐

22、由小变大9。这样,在早期提高了粒子在整个搜索空间的全局搜索能力并且在末期鼓励粒子收敛到全局最优。对输入和输出变量定义模糊子集:小(S ,中(M ,大(B ,变量对应的隶属度函数均设置成三角函数。输入输出变量的隶属度曲线如图2所示。图2 输入输出隶属度曲线 Fig.2 Membership of in-out variables通过对上述的调整经验进行分析,本文给出了下列相应的模糊控制规则表,如表1表3所示。表1 %的模糊规则 Tab.1 Fuzzy rules of %NCBPE S M B M S S B M S S M BB M S表2 c 1%的模糊规则 Tab.2 Fuzzy rule

23、s of c 1%c 1NCBPE S M B M S S B M S S M B B M M表3 c 2%的模糊规则 Tab.3 Fuzzy rules of c 2%c 2NCBPES M B M M S B M S S M B B M S经过模糊控制器的调整以及利用加权平均法解模糊化后的PSO 算法的三个参数分别根据以下公(14第25卷第7期李鑫滨等 一种改进粒子群优化算法在多目标无功优化中的应用 141式进行更新:(1(1(%k k k +=+ (17111(1(1(%c k c k c k +=+ (18 222(1(1(%c k c k c k +=+ (193.3 模拟退火算法模

24、拟退火(Simulated Annealing ,SA 算法是一种全局优化算法,它的基本思想是模拟固体退火的过程,通过采用Metropolis 重要性采样准则来改进传统蒙特卡罗(Monte Carlo 采样的计算效率,并通过一组冷却进度表来控制算法进程11。 经过上述模糊控制方法调整了PSO 算法主要控制参数后,再按下式对粒子的适应度进行修正:0exp(k F T p F =×× (20式中,F 为适应度值;F 为个体的目标函数值;k 为进化代数;T 0为模拟退火的初始温度,一般取与目标函数同一数量级的值;p 为衰减系数,一般取略小于1的数。这样,在算法运算的初期阶段,p

25、k 较大,有利于表现粒子的多样性;伴随着算法的演化进化,算法的迭代次数逐渐增加,粒子适应度值逐渐减小,有利于算法收敛到全局最优。 对粒子由原位置x id (k 变为模糊调节后的新位置(idx k 的接受概率用模拟退火中的Metropolis 准则确定,即(newold new old newold 1exp F F p F F F F T k = (21式中,new F 和old F 分别为粒子模糊调节后新位置和原位置的适应度;T (k 为PSO 算法第k 代时的温度。采用经典模拟退火算法的降温方式时,则 (lg 1T T k k =+ (22由式(21可见,若模糊调节后新位置的适应度值小于原

26、位置的适应度值,表明新位置优于原位置,则新位置的接受概率为1;同时将新位置的适 应度值与个体极值(id P k 和全局极值(g d P k 的适应 度值分别进行比较,如果仍然较小,则对(id P k 和 (g d P k 也进行更新。否则,保留粒子原位置,继续下次迭代。4 多目标无功优化的主要求解步骤由上述的设计过程,可以给出基于改进的PSO算法的多目标无功优化求解流程,如图3所示。多目标无功优化的求解的主要步骤如下: (1读入原始数据,包括潮流数据、约束条件、改进的PSO 算法的参数等。(2根据2.5节的方法将多目标无功优化问题转化成单目标优化问题。(3根据第3节提出的改进的PSO 算法对此

27、单目标优化问题再进行求解。图3 多目标无功优化算法流程图Fig.3 Flowchart of multi-objective reactive poweroptimization5 算例及分析以IEEE 30节点和IEEE118节点标准电力系统作为多目标无功优化测试算例12。所有数据都是以100MVA 为功率基值的标幺值。SA-FA-PSO 算法的初始参数选择如下:种群大小N =50;初始惯性权重=0.7;加速系数c 1=c 2=2.0;最大迭代次数取100,作为算法终止条件;模拟退火的初始温度T 0=200;模拟退火的衰减系数p =0.95。标准PSO 算法中,惯性权重按线性递减策略从最大0

28、.9变化到最小0.4,其余参数与SA-FA-PSO 算法取值相同。两种算法均采用Matlab7.0编程。IEEE 30节点系统有41条支路、21个负荷节点;6台发电机、4台可调变压器及2个装有无功补偿的负荷节点。节点1,2,5,8,11,13为发电机节点,在发电机节点中,节点1为平衡节点,2,5,8,11,<142 电 工 技 术 学 报 2010 年 7 月 13 为 PV 节点，其余均为 PQ 节点。PV 节点、PQ 节 点和平衡节点的电压均设置为 0.90 （pu） 1.10 （pu） 。 为减少随机性对算法的影响， PSO 算法和本 将 文提出的改进的 PSO 算法分别连续运行

29、50 次，30 节点系统平均优化结果见表 4。可以看出，采用改 进 的 PSO 算 法 优 化 后 ， 电 压 偏 差 指 标 由 最 初 的 0.0320 降到 0.0112，系统电压得到很大改善，电压 稳定指标 L 也有原来的 0.1578 下降到 0.1245。 优化 结果表明，改进的 PSO 算法明显优于 PSO 算法。 表4 Tab.4 项目名称 网损（pu） 电压偏差（pu） 电压稳定指标 L 网损下降率（%） 由表 5 可以看出，经改进的 PSO 算法优化后， 有功网损明显下降，电压偏差和电压稳定指标明显 减小，与 PSO 算法相比，具有更好的优化效果。用 PSO 算 法 优 化

30、 118 节 点 系 统 时 ， 网 损 下 降 率 为 1.13%，而采用改进的 PSO 算法时，网损下降率达 到了 10.95%， 进一步说明， 在求解高维优化问题时， 改进的 PSO 算法显示出对维数不敏感的特性， 更适 用于大规模复杂电力系统无功优化。 表5 Tab.5 项目名称 网损（pu） 电压偏差（pu） 电压稳定指标 L 网损下降率(% IEEE118 节点系统平均优化结果 Average results of IEEE118-bus system 初始状态 1.3245 0.0392 0.1498 PSO 1.3095 0.0132 0.1298 1.13 SA-FA-PSO

31、 1.1795 0.0120 0.1195 10.95 IEEE30 节点系统的平均优化结果 Average results of IEEE30-bus system 初始状态 0.0566 0.0320 0.1578 PSO 0.0519 0.0177 0.1305 8.3 SA-FA-PSO 0.0493 0.0112 0.1245 12.9 从图 4 的有功网损随迭代次数的变化曲线和图 5 的电压稳定指标随迭代次数变化曲线可以更直观 地看出，改进算法优化效果优于 PSO 算法。 6 结论 本文提出一种基于模糊控制理论及模拟退火原 理的改进粒子群算法。该算法首先通过设计模糊控 制器对粒子群

32、算法的控制参数进行调整，在设计模 糊控制器时，给定了模糊控制器的输入、输出，并 根据已有的 PSO 算法参数设置经验建立了新的模 糊控制规则；其次，在对算法的参数进行模糊调整 后，采用模拟退火算法对调节后粒子的适应度进行 修正，并以概率的形式来判断新位置是否被接受； 最后，将改进后的算法应用于以有功网损最小、电 压偏差最小、电压稳定指标为多目标的无功优化模 型进行求解。仿真结果也表明了改进粒子群算法的 有效性和可行性。 图4 Fig.4 IEEE30 节点系统网损收敛特性曲线 Performance characterastics of P Loss for IEEE30-bus system

33、 1 参考文献 刘佳, 李丹, 高立群, 等. 多目标无功优化的向量 评 价 自 适 应 粒 子 群 算 法 J. 中 国 电 机 工 程 学 报 , 2008, 28(31: 22-28. Liu Jia, Li Dan, Gao Liqun, et al. Vector evaluated adaptive particle swarm optimization algorithm for multi-objective 2 Kenndy J, reaction Eberhart R power C. optimizationJ. Particle swarm Proceedings of

34、 the CSEE, 2008, 28(31: 22-28. optimizationC. Proceedings of IEEE International Conference on Neutral Networks, Perth, Australia, 1995, 4: 1942-1948. 图5 电压稳定指标曲线 3 吴启迪, 汪镭. 智能微粒群算法研究及应用M. 南 京: 江苏教育出版社, 2005. Fig.5 Voltage stability index curves of SA-FA-PSO and PSO 第 25 卷第 7 期 4 李鑫滨等 一种改进粒子群优化算法在多目标

35、无功优化中的应用 143 韩 江 洪, 李正荣 , 魏 振 春. 一 种 自 适应 粒子 群优化 算法及其仿真研究J. 系统仿真学报, 2006, 18(10: 2969-2971. Han Jianghong, Li Zhengrong, Wei Zhenchun. Simulation research of a kind of adaptive particle swarm optimization algorithmJ. Journal of System Simulation, 2006, 18(10: 2969-2971. 9 algorithmJ. Journal of Mach

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37、imization algorithm: convergence analysis and parameter selectionC. Information Processing Letters, 2003, 85(6: 317-325. 11 高尚, 杨静宇. 群智能算法及其应用M. 北京: 中 国水利水电出版社, 2006. 12 Varadarajan M, Swarup K S. Differential evolution approach for optimal reactive power dispatchJ. Applied Soft Computing, 2007, 12(2: 1-13. 作者简介 李鑫滨 男，1969 年生，博士，副教授，主要研究方向为非线性 5 Shi Y, Eberhart R C. Fuzzy adaptive particle swarm optimizationC. Proceedings of the Congress on Evolutionary 101-106. Computation, Seoul, Korea, 2001: 6 Zh