初一数学规律探究

1、学科：红专题：规律探究题一题面：下面是按一定规律排列的一列数:竺，那么第n个数是9题二观察下列有序整数对：(1, 1)。(1, 2), (2, 1)。(1, 3), (2, 2), (3, 1)(1,4),(2,3),(3,2), (4, 1)。(1,5),(2,4),(3,3), (4, 2),(5, 1)。它们是按一定规律排列的，依照此规律，第10行从左到右第5个整数对是。题三题面：观察等式：91 =2M4,251=4父6,491 = 6父8按照这种规律写出第n个等式：.题四题面：观察下列各式：1 12=-123-0123123= - 234 -1 23313 43 4 5 -2 3 43

2、计算：3X(1 X2+2X 3+3X 4+ - +99X 100)=D. 100 M01 M02A. 97 >98 >99B, 98 >99X100C. 99 M00M01题五题面：用棋子摆出下列一组口 ”字，按照这种方法摆下去，则摆第 n个口 ”字需用棋子B. (4n-4)枚C. (4n+4)枚D. n2 枚A. 4n 枚个点，第三层每边有三个点， 依次类推,如果n层六边形点阵的总点数为331，则n等题六 如图，有一个形如六边形的点阵，它的中心是一个点，作为第一层，第二层每边有两n个图形需要围棋子的枚数是题七题面：用围棋子按下面的规律摆图形，则摆第 « «

3、; 第1个第讣题八1111111.题面：观祭：a1=1 一一，切=一 一一，23=一一一，a4 = ，贝U an =(n=1,324354 62, 3,).题九题面：如图，是用棋子摆成的图案，摆第1个图案需要7枚棋子，摆第2个图案需要19枚棋子，摆第3个图案需要37枚棋子，按照这样的方式摆下去,则摆第6个图案需要棋子，摆第n个图案需要枚棋子.题十题面：已知awQ § =2a ,-2-2S2 =,S3 =,，S2 010SiS2§2009,则 S2010含a的代数式表示）.课后练习详解题一答案：,n=1 时，分子：2= (-1) 2?21,分母：3=2X1+1;n=2 时，分

4、子：-4= ( - 1) 3?22,分母：5=2 X2+1;n=3 时，分子：8= (-1) 4?23,分母：7=2X3+1 ;n=4 时，分子：-16= (-1) 5?* 分母：9=2 X4+1;，第n个数为:("2n2n 12n故答案为：(_1)n1.*_2n 19n(_1严o2n 1解析：根据题意，首先从各个数开始分析，n=1时，分子：2= ( - 1) 2?21,分母：3=2X1 + 1;n=2时，分子：-4=(- 1)3?22,分母：5=2X2+1;，即可推出第n个数为题二答案：(5, 6)解析：有序数对的第一个是列数，第二个用行数减去列数加1。题三答案：2n 1 2 -1

5、 =2n(2n 2)解析：先看等式左边，式是32-1,式是52-1,式是72-1所以第n个等式左边应是2(2n+1 ) 1;再看等式右边，式是 2M4,式是4M6,式是6M8,所以第n个等 式右边应是2n(2n+2).题四答案：C解析：从材料可以得出1X2, 2M, 3>4,可以用式子表示，即原式 =1113- 13 1 2 3-0 1 23 2 3 4-1 2 3 ,“ 99 100 101-98 99 100= 1 2 3 -0 1 2 2 3 4-1 2 3:;:- 99 100 101-98 99 100=99X100X101,所以选择 C.题五 答案：A。第一个口 ”可以看出有

6、4个棋子，第二个有8个棋子，第三个有12个棋子， 所以以此类推第 n个有4n个棋子.解析：主要考查学生的列代数式能力，对于此类题，可以先把前面几个图形中得到的数据表示出来，然后再找规律； 而对于选择题，也可先通过表示出前几个后，直接代入答案中去检验。题六答案：11解析：第2个图层内共有7=1 + 6个点，第3个图层内共有19 = 1 + 6+12个点，第4个图 层内共有37= 1+6+12+18个点，由此规律可得第 7个图层内共有1 + 6+12+6X7-1) 个点，第 n 个图层内共有 1 + 6+ 12+ 6X ( n-1) = 1 +6X1+2 + 3+ + ( n-1 )= 3n2 3

7、n+1 ,所以如果n层六边形点阵的总点数为331 ,则得3n2 3n + 1= 331,解得n=11探索规律题一般是从各个数与次序之间建立一定的函数关系式，也就是说每个数与正整数 1、2、3、4、之间的对应关系。题七答案：观察图形，第1个图形中围棋子的枚数为5=3X 1+2;第2个图形中围棋子的枚数为8=3 >2+2 ;第3个图形中围棋子的枚数为11=3 >3+2,，因此可知，第 n个图形中围棋子的枚数为3n+2.解析：解决这类问题，首先从简单的图形入手，随着 序号”增加，后一个图形与前一个图形 相比，在数量上增加情况的变化，找出数量上的变化规律，从而推出一般性结论题八-11答案：

8、1n n 211解析：根据分母呈现的规律：分母之间相差 2,得到答案-.n n 2本题属于规律探索题，主要考查学生对数字的规律探究能力，较好体现不同学生活学数学的要求.题九答案：91, 3n2 -3n+1。图案是一圈一圈的。可以根据每圈中棋子的个数得出规律。第 1 个图案需要7=1 + 6枚棋子，第2个图案需要19=1 + 6+12枚棋子，第3个图案需要37 = 1 + 6+12+18枚棋子，由此规律可得第 6个图案需要127=1 + 6+12+6X (61)枚棋 子，第 n 个图案需要 1 + 6+ 12+ +6X(n-1) = 1+6X1+2 + 3+ + (n-1) = 3n2 3n+1

9、 枚棋子解析：探索规律题一般是从各个数与次序之间建立一定的函数关系式，也就是说每个数与正整数1、2、3、4、之间的对应关系。题十答案：(3)求第n行各数之和.题三题面：符号 仔表示一种运算，它对一些数的运算结果如下： f(1)=0, f(2) = 1 , f(3)=2 , f(4)= 3,a解析：；*S=2a, S2= =1 S3=-=- = 2a , sS4= aa6 aS2 1S32aa经过观察发现这些值存在着一些关系，即存在着以2为循环，那么2010 + 2=1005,正好能1除尽，所以S2010 =1。a学科：数罡专题：规律探究主讲教师：张迎春 北京一零一中学数学教师题一题面：观察下列

10、算式：31 = 3, 32=9, 33 = 27, 34=81, 35=243, 36=729, 37=2187, 38 =6561,通过观察，用你所发现的规律确定32000的个位数字是()A. 3B. 9C. 7D. 1题二如下数表是由从1开始的连续自然数组成，观察规律并完成各题的解答.123456789101112131415161718192021222324252627282930313233343536(1)表中第8行的最后一个数是 ,它是自然数 的平方，第8行共有 个数；(2)用含n的代数式表示：第 n行的第一个数是 ,最后一个数是,第n行共有 个数；(2) f 1 =2, f 1

11、 =3,f 1 =4, f 1 =5 (2)(3)(4)(5)利用以上规律计算：f 1- f(2010)= (2010)题四题面：阅读下列材料：11父2 =-(1父2父3-0父1父2),cc1/CC、23=§(234 一123),134= -(345-234),由以上三个等式相加，可得1 ,1 2 2 3 3 4 = 3 4 5 = 20.3读完以上材料，请你计算下列各题：(1) 1父2+2父3 + 3父4+10M11 (写出过程)；(2) 1 父2+2父3+3父4 +.十 nx(n+1)=;(3) 1M2M3 + 2父3M4+3父4M5+7父8M9=题五题面：如下图是一组有规律的图

12、案，第 1个 图案由4个基础图形组成，第 2个图案由7 个基础图形组成， ，第n（n是正整数）个图案中由 个基础图形组成.(1)(2)(3)题六用“。摆出如图所示的图案，若按照同样的方式构造图案个“O'OOOOOOOOOOQ0©。OOOOO0XDK3<30 0©®。OOOO©(2)(4)题七题面：观察下表，可以发现 ：第 个图形中的 ”的个数是“C的个数的5倍.序号123图形OOOOO OO 。人人。 O OOO OOO OO O A A A O o ooo题八6 5 4 3 “二15,，12 3 43 25 4 34已知：C2 =匚=3,

13、 C； =5 4 3 =10, C63 1 212 3观察上面的计算过程，寻找规律并计算C16）题九题面：如图，将第一个图（图）所示的正三角形连结各边中点进行分割，得到第二个图（图 ）；再将第二个图中最中间的小正三角形按同样的方式进行分割，得到第三个图（图）,则得到的第五个图中,再将第三个图中最中间的小正三角形按同样的方式进行分割,题十题面：我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中杨辉三角”就是一例.如图，这个三角形的构造法则：两腰上的数都是1,其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了（a +b n （n为正整数）的展开式（按 a的次数由大到小的顺序排列）的系数规律.例如，在三角形中第三

14、行的三个数 1,2, 1,恰好对应（a + b）2 = a2+2ab + b2展开式中的系数；第3四行的四个数1, 3, 3, 1,恰好对应着（a + b） =a3+3a2b+3ab2+b3展开式中的系数等 等.111 （ a+b） 1121 (a+b) 21331 (a+b) 35（1）根据上面的规律，写出 （a+b）的展开式.（2）利用上面的规律计算：25 -524 +10父23 -10父22+5父21课后练习详解题一答案：D。认真研究题中3n （n为正整数）的末位数字的变化情况，不难发现，3n的末位数字呈现以3, 9, 7, 1这四个数字为周期的循环规律 .因为2000能被4整除，所以3

15、2000的个 位数字就是34的个位数字1.解析：近年的中考试卷或数学竞赛中经常出现此类求正整数哥的末位数字问题，把这个问题一般化，就是探索 mn（m, n都为正整数）的末位数字的变化规律.事实上，任何一个正整数的n次哥的末位数字都呈现以 4个数字为周期的循环规律（其中有的是以2个数字为周期，例如4n;有的则完全相同，如 1n, 5n, 6n，但仍可以统一认为是以 4个数字为周期）.由于 任何一个整数的n次哥的末位数的变化情况与这个整数的末位数有关，而任意一个整数的末位数只有01_ 9这十种情况，所以我们可一一验证这个规律题二答案：（1）每行数的个数为1, 3, 5,的奇数列，由题意最后一个数是

16、该行数的平方即得64,其他也随之解得：8, 15;（2）由（1）知第n行最后一数为n2,则第一个数为n2-2n+2,每行数由题意知每行数的个数为1, 3, 5,的奇数列，故个数为2n - 1;22（3）第 n行各数之和：n 2n+2+n x（2n-1） = （n2-n+1） （2nT）.2解析：（1）数为自然数，每行数的个数为 1, 3, 5,的奇数列，很容易得到所求之数； （2） 知第n行最后一数为n2,则第一个数为n2-2n+2,每行数由题意知每行数的个数为 1,3,5, 的奇数列，故个数为 2n-1; （3）通过以上两部列公式从而解得.本题考查了整式的混合运算， （1）看数的规律，自然数

17、的排列，每排个数 1, 3, 5,从而 求得；（2）最后一数是行数的平方，则第一个数即求得；（3）通过以上两部列公式从而解得. 本 题看规律为关键，横看、纵看.题三答案：1解析：根据问题中提供的信息可以发现它们的规律求得f（201s = 2009 , f 1 =2010,（2010）从而求出结果。本题中把规律探索与新定义运算相结合，考查了学生的综合能力。 解决新定义运算类的问题，要理清新定义运算与普通运算之间的联系，此题中还要找出它们的变化规律。题四答案：(1) 1父2+2父3 + 3父410父11111=(1 父2 M3 0父1 父2) + (2父 3M4 1父2 M3)+ (10 父11

18、父 12 9 父 10父 11)3331=-10 11 123=440.，、1,八,八、-n(n +1)(n +2)3(3) 1 2 3 2 3 4 3 4 57 8 91 ， c c、 1， c c 、=(1 2 3 4 -0 1 2 3)+ (2 3 4 5 -1 2 3 4)441 ，一+ (7父8父9父10 6父7父8M9)41=7 8 9 104=1260解析：第(1), (2)题，由阅读材料发现规律，进彳T模仿即可求得，对于第(3),可对阅读材 料 进 行 创 新 迁 移， 得 到一 1一一 ，一一，一n(n +1)(n +2) =n(n +1)(n +2)(n + 3) -(n

19、1)n(n+1)(n +2),进而通过计算可得答 4案.答案:解析:3n+1根据图形可以看出后面的图形比前一个图形多了三个小菱形答案：181解析：第1个图案需要1个“O；第2个图案需要5个“O；第3个图案需要13个“O；第 4个图案需要25个"O'；第n个图案需要n2+（n-1）21个 “。 .答案：观察图形可发现第1、2、3、n个图形：”的个数规律为1、4、9、n2;的个数规律是4、8、12、4n.由题意可得n2=4nx5,解之得n1 = 20 , n2 = 0 （不合 题意，舍去）.解析：本题由给出的图形找出规律，并能够用代数式表示这些规律，最后根据题意列出二元一次方程并解之，解决本题的关键是正确地用代数式表示图形规律答案：观察运算式子会发现分子、分母中因数的个数相同且等于等式左边符号中的上标，分子中最大的因数是左边符号中的下标，且每个因数逐次减1;分母中最小的因数是 1,且每10 9 8 7 6 5个因数逐次加1 ,所以C6 =5=210 .解析：本题是一个材料阅读题，涉及到高中的排列组合，注重初中知识与高中知识的衔接, 重点考查了学生基本运算能力和材料分析能力.答案：17。根据图形所揭示的规律可以发现：第 1个图形有1个正三角形，第2个图形有5 个正三角形，第3个图形有9个正三角形，第4个图形有1