苏科版初三《圆》章节知识点复习专题.

1、一、圆的概念集合形式的概念：1.圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；2. 圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合；3. 圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合轨迹形式的概念：1. 圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；2. 垂直平分线： 到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）；3. 角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；4. 到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；5. 到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一

2、条直线。二、点与圆的位置关系1. 点在圆内d r点 C 在圆内；Ad2. 点在圆上d r点 B 在圆上；rBO3. 点在圆外d r点 A 在圆外；dC三、直线与圆的位置关系1. 直线与圆相离dr无交点；2. 直线与圆相切dr有一个交点；3. 直线与圆相交dr有两个交点；rdd=rrd四、圆与圆的位置关系外离（图1）无交点dRr ；外切（图2）有一个交点dRr ；相交（图3）有两个交点Rrd R r ；内切（图4）有一个交点dRr ；内含（图5）无交点dRr ；ddRrRr图 1图 2ddrRrR图4图5dR r图 3五、垂径定理垂径定理 ：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。推论 1：（ 1

3、）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（ 2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（ 3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧以上共 4 个定理，简称2 推 3 定理：此定理中共5 个结论中，只要知道其中2 个即可推出其它3 个结论，即：AB是直径ABCDCEDE 弧BC弧BD 弧AC弧AD中任意 2 个条件推出其他3 个结论。推论 2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。即：在 O 中， AB CD弧 AC弧BDACDOOABECDB六、圆心角定理圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等， 弦心距相等。此定理也称1

4、推 3 定理，即上述四个结论中，只要知道其中的1 个相等，则可以推出其它的3 个结论，即：AOBDOE ； ABDE ；OCOF ； 弧BA弧BD七、圆周角定理1. 圆周角定理： 同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。即：AOB 和ACB 是弧 AB 所对的圆心角和圆周角EFODACBC AOB 2 ACB2. 圆周角定理的推论：BOA推论 1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中， 相等的圆DC周角所对的弧是等弧；即：在 O 中，C 、D 都是所对的圆周角CD推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半圆，所对的弦是直径。即：在 O 中， AB 是直径或C90C9

5、0AB是直径推论3：若三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。即：在ABC 中， OCOAOB ABC 是直角三角形或C90BOACBAOCBAO注：此推论实是初二年级几何中矩形的推论：在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理。八、圆内接四边形圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。即：在 O 中，DC四边形 ABCD 是内接四边形 CBAD 180BD180DAECBAE九、切线的性质与判定定理（ 1）切线的判定定理： 过半径外端且垂直于半径的直线是切线；两个条件： 过半径外端且垂直半径，二者缺一不可即： MNOA 且 MN 过半径 O

6、A 外端MN 是 O的切线O（ 2）性质定理： 切线垂直于过切点的半径（如上图）推论 1：过圆心垂直于切线的直线必过切点。MAN推论 2：过切点垂直于切线的直线必过圆心。以上三个定理及推论也称二推一定理：即：过圆心；过切点；垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。十、切线长定理切线长定理： 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。B即： PA 、 PB 是的两条切线PAPBOPPO 平分BPA十一、圆幂定理（ 1）相交弦定理 ：圆内两弦相交，交点分得的两条线段的乘积相等。ADB O P即：在 O 中，弦AB 、 CD 相交于点 P ，CAP

7、A PBPC PD（ 2）推论： 如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。CBOEA即：在 O 中，直径ABCD ，D CE2AE BE PA2 PC PB（ 4）割线定理 ：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等（如上图） 。即：在 O 中， PB 、 PE 是割线 PC PB PD PE十二、两圆公共弦定理圆公共弦定理： 两圆圆心的连线垂直并且平分这两个圆A的的公共弦。O1O2如图： O1O2 垂直平分 AB 。B即： O1 、 O2 相交于 A 、 B 两点 O1O2 垂直平分 ABAB十三、圆的公切线C两圆公切线长的计算公

8、式：O1O2（ 1）公切线长：Rt O1O2C 中， AB2CO1 2O1O2 2CO2 2 ；（ 2）外公切线长： CO2 是半径之差； 内公切线长： CO2 是半径之和 。十四、 圆内正多边形的计算C（ 1）正三角形在 O 中 ABC是正三角形，有关计算在Rt BOD 中进行：OOD :BD:OB 1:3:2；BAD（ 2）正四边形BC同理，四边形的有关计算在Rt OAE 中进行， OE : AE : OA 1:1:2 ：OAED（ 3）正六边形同理，六边形的有关计算在RtOAB 中进行， AB : OB : OA1: 3:2.OBA十五、扇形、圆柱和圆锥的相关计算公式1. 扇形：（ 1）

9、弧长公式：nRl；180OS（ 2）扇形面积公式：Sn R21 lR3602n ：圆心角R ：扇形多对应的圆的半径l ：扇形弧长S ：扇形面积2. 圆柱：（ 1）圆柱侧面展开图ADS表S侧 2S底 = 2 rh 2 r 2底面圆周长BC（ 2）圆柱的体积： Vr 2hB1（ 2）圆锥侧面展开图O（1） S表S侧 S底 = Rrr 21R（ 2）圆锥的体积： Vr 2h3CArBAlBD1母线长C1一、考点分析与例题分析1、 线段的比1）比例的合比性质，比例的等比性质2）线段求比需注意：单位要统一2、 黄金分割1）定义：在线段 AB上，点 C把线段 AB分成两条线段 AC和 BC（ACBC），如

10、果 ACBC ，ABAC2AB被点 C黄金分割，点C叫做线段 AB的黄金分割点，即 AC=AB× BC，那么称线段AC与 AB的比叫做黄金比。其中AC 0.618 。AB2）矩形中，如果宽与长的比是黄金比，这个矩形叫做黄金矩形。3、 相似多边形性质：相似多边形的对应角相等，对应边成比例。（可与定义互推）1、如果四边形ABCD四边形A B C D相似，且A=68°，则 A =。2、下列说法中正确的是（）A、所有的矩形都相似B 、所有的正方形都相似C、所有的菱形都相似D、所有的等腰梯形都相似F3、已知，ABCDE五边形 FGHIJ，且 AB=2cm，CD=3cm，DE=2.2c

11、m，GAJGH=6cm， HI =5cm ，FJ=4cm，BE A=120°， H=90°。求:(1) 相似比等于多少(2) 求FG,IJ,BC,AE, F, CCDHI4、 相似三角形1）定义：如果两个三角形中，三角对应相等，三边对应成比例，那么这两个三角形叫做相似三角形。如ABC与 DEF相似，记作 ABC DEF。相似比为k。几种特殊三角形的相似关系：两个全等三角形一定相似。两个等腰直角三角形一定相似。两个等边三角形一定相似。两个直角三角形和两个等腰三角形不一定相似。2）性质：两个相似三角形中，对应角相等、对应边成比例。3）判定：定义法：对应角相等，对应边成比例的两个

12、三角形相似。三角形相似的预备定理：平行于三角形一边的直线和其它两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。参照三角形全等的判定方法：两角对应相等的两个三角形相似。三边对应成比例的两个三角形相似。两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似。1、下列各组三角形一定相似的是（）A两个直角三角形B 两个钝角三角形C两个等腰三角形D两个等边三角形2、如图， ABC AED, 其中 DE BC，写出对应边的比例式。3、如图，已知ABC ADE，AE=50 cm， EC=30 cm， BC=70 cm， BAC=45°， ACB=40°，求： 1） AED和 ADE的度数； 2） DE的长。5

13、、 相似多边形的周长比和面积比关系：若 ABC A BC，相似比为k，那么 ABC与 A BC的周长比为k，面积比为 k 2。6、 位似1）定义：如果两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比。需注意：位似是一种具有位置关系的相似，所以两个图形是位似图形，必定是相似图形，而相似图形不一定是位似图形。两个位似图形的位似中心只有一个。两个位似图形可能位于位似中心的两侧，也可能位于位似中心的一侧。位似比就是相似比。2）性质：位似图形首先是相似图形，所以它具有相似图形的一切性质。位似图形是一种特殊的相似图形，它又具有特

14、殊的性质，位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离等于位似比（相似比）。每对位似对应点与位似中心共线，不经过位似中心的对应线段平行。练习设计1、 ABC与 DEF相似，且相似比是2 ，则 DEF 与 ABC与的面积比是（）3A、 2B 、 3C 、 2D 、 432592、如图， ABC 中，点 D、 E、 F 分别是 AB 、BC 、CA 的中点，求证：ABC DEF 。3、已知：如图， P 为 ABC中线 AD上的一点， 且 BD2=PD?AD，求证： ADC CDP。24、已知：如图，P 为 ABC中线 AD上的一点，且BD=PD?AD，求证：ADC CDP5、如图，正方形 ABCD中，

15、 E、 F 分别在 AB、BC边上，且 AE=CF、 BG CE于 G。试证明 DGFG。中考热点1比例的基本性质 例 1 已知 a5，则 ab =。b2b2相似图形的性质 例 2 在 ABC中，若 D、 E分别是边AB、 AC上的点，且DE BC， AD=1，DB=2，则 ADEA与 ABC的面积比为 _.ED3相似三角形的判定BC 例 3 如图 9，D、 E 分别是 ABC的边 AC、 AB上的点，请你添加一个条件，使ADE与图 9ABC相似你添加的条件是 例 4 如图，小正方形的边长均为 1，则下列图中的三角形( 阴影部分 ) 与 ABC相似的是 ( )A 例 5 如图，有一块三角形土地

16、，它的底边BC=100米，高 AH=80米，某单位要沿着地边BC修一座底面是矩形DEFG的大楼， D、 G 分别在边 AB、AC 上.DG若大楼的宽是40 米，求这个矩形的面积 .BFC考题训练E Ha2a1如果 b 3 ，那么 a b 。2已知：如图 2，在 ABC中， ADE C，则下列等式成立的是（）CADAEAEADDEAEDEADA.C.B.D.ABABACBCBDBCABBC课后作业ADB若 a3，则 a b的值是 ()Bb5b8335EA、 5B、5C、2D 、 8CDA如果两个相似三角形对应高的比是 1：2，那么它们的面积比是。如图， D、 E 两点分别在AC、 AB 上，且 DE