广义的Bousinesq方程

1、广义的Boussinesq方程解的存在唯一性徐瑰瑰， 林国广（云南大学 数学统计学院 云南 昆明 650091）摘要：本文利用方法获得了一类广义的Boussinesq方程的整体强解的存在唯一性以及能量不等式.关键词：方法; 存在唯一性; 能量不等式; 初边值问题.中图分类号：0175.29 . 1 前言 在弹性波导的非线性波传播的研究中，考虑波导和外部环境的相互作用以及波导横截面能量交换的可能性是十分必要的.如果相互作用是在非线性的高弹性杆与介质之间，并且杆的纵向位移由以下的方程来确定 以及. 其中是正常数，是常数.在中，陈和王等人讨论了如下更广义的初边值问题的整体解的存在性和不存在性 .;

2、. 对于他们证明了整体解的存在性，另外在某些条件下，整体解的不存在性也被证明.近来，主要研究了方程在满足比凸函数更一般的条件下和当时解的长时间行为.本文讨论了带有调和算子项以及的广义Boussinesq方程的整体强解的存在性、唯一性以及能量不等式.考虑如下广义Boussinesq方程的初边值问题. ， . ， . 其中常数，是中的具有光滑边界的有界区域.2 预备知识首先引入以下缩写形式和算子形符号; ; ; ; ; ， 而是空间的内积.为了方便起见，我们用同一个字母表示不同的正常数，用来表示依赖于括号中量的正常数.由于，定义算子 ， .， ， .则是一个正自伴无界算子且是与的同构映射.于是我们

3、可以定义的幂且是具有如下内积和范数的空间， .相应地， .把方程及初边值条件，写成如下的算子形式. ， . ， . 3 主要结论定理1 假设是中的具有光滑边界的有界区域，是正常数，则初边值问题有唯一解，并且，.证明： 构造近似解设是中的一组标准正交基，即，则也是中的正交基.令，则由如下的常微分方程组来确定， 其中，.则方程组在上有解，并且 在中. 在中. 先验估计令，则方程可化为， 用与方程做内积，有， 其中. . 于是 其中. 把式代入式有 . 由不等式可知， ， 其中，.联立式及式可知. 用与方程做内积，有 . 用与方程做内积，有. 有： . 其中 +， . 由于 ， .于是， . 比较式

4、和式可知， 把式代入式可知，对上式，由不等式可知.其中，.由上式和式可知， 其中.由式及式可知只与初始值有关.作极限选取的子列可以得到 在中弱收敛. 在中弱收敛.并且有， 当时.在中，由于得稠密性可知：是初边值问题的解并且，由于，对有; .因而算子在上是正的且有界, 即，.由式及式可知, .即, .于是 只与初始值有关，而与无关.在中，令，得.由于得稠密性可知，有.因此满足，故定理1中解的存在性得证.设是初边值问题的两个解，令，则， ; . 用与方程做内积，有. 由于 . 把上式代入式并利用不等式有，即 .故唯一性得证.定理2：在定理1的假设下，设，则初边值问题具有唯一解，并且，.定理3：假设

5、是中的具有光滑边界的有界区域，是正常数，则初边值问题具有唯一整体强解，并且，.证明：用作用于方程，有 ， ， . ， . 类似于定理1的证明，由方法可知初边值问题的解存在且唯一，并且有, .定理4：在定理1的条件下，初边值问题有如下的能量不等式， 其中.证明:令，则式可以写作， 对式关于从到积分，则有. 令，设，则由可知. 由于，于是式左边趋于. 由于在中弱收敛于，由拓扑性质的下连续性可知. 由式与式可知.由得任意性可知.参考文献1 R.Temam, Infinite dimensional dynamical systems in Mechanics and Physics, Springe

6、r- Verlag , New York, 1997.2 J.L. Lions, 非线性边值问题的一些解法M. 郭柏灵等译. 广州: 中山大学出版社，1992 3 A.M. Samsonov，Nonlinear strain waves in elastic waveguide，in: A. Jeffrey，J. Engelbrecht (Eds.)，Nonlinear Waves in Solids, in: CISM Courses and Lecture，vol. 341，Springer，Wien，1994.4 Guowang Chen，Yanping Wan, Shubin Wang

7、，Initial boundary value problem of the general-ized cubic double dispersion equation，Journal of Mathematical Analysis and Applications，299 (2004) :563577.5 Shubin Wang，Guowang Chen, Cauchy problem of the generalized double dispersion equation,Nonlinear Analysis: Theory，Methods & Applications, 64

8、 (2006): 159173.6 Yacheng Liu，Runzhang Xu，Potential well method for Cauchy problem of generalized dou-ble dispersion equations, Journal of Mathematical Analysis and Applications ,338 (2008):11691187.7 Yacheng Liu，Runzhang Xu，Potential well method for initial boundary value problem of the generalized

9、 double dispersion equations，Communications on Pure and Applied Analysis, 7 (2008: 6381.The solution existence and uniqueness ofgeneralized Boussinesq equationXu Gui-gui， Lin Guo-guang(School of Mathematics and Statistics，Yunnan University，Kunming 650091，China)Abstract: In the paper，it is discussed that the existence and uniqueness of the global strong solution and the energy