简明微积分洛必达法则ppt课件

1、第二节第二节 洛必达法则洛必达法则型型一、一、00型型二、二、00三、可化为型或型极限 如果函数 ，其分子、分母都趋于零或都趋于无穷大. 那么，极限 可能存在，也可能不存在.通常称这种极限为未定型.)()(lim)(xgxfxax时或当)()()(xaxxgxf 并分别简记为 .这节将介绍一种计算未定型极限的有效方法洛必达 法则.型型或00)HospitalL( ，0)(lim, 0)(lim ) 1 (xgxfaxax 一、一、型00定理 如果f(x)和g(x)满足下列条件：，且存在与可以除外的某邻域内在点0)(, )()(),( )2(xgxgxfaxa，或无穷大存在)()()(lim )

2、3(xgxfax.)()(lim )()(lim xgxfxgxfaxax那么 定理 如果f(x)和g(x)满足下列条件：，0)(lim0)(lim ) 1 (xgxfxx, 0)()()(| )2(xgxgxfx存在，且和足够大时，当，那么或为无穷大存在)()()(lim )3(xgxfx型，有时的对于00 x.)()(lim)()(limxgxfxgxfxx那么.eelimaxaxax求)()ee (limeelimaxaxaxaxaxax例1为 型，由洛必达法则有00解.e1elimaxax.cotarc1limxxx求)cot(arc)1(limcotarc1limxxxxxx例2为

3、型，由洛必达法则有00解. 1111lim22xxx.sin2eelim0 xxxxxx求)00( cos12eelimsin2eelim00型xxxxxxxxxx例3为 型，由洛必达法则有00解)00( sineelim0型xxxx. 2coseelim0 xxxx. 8126128lim23232xxxxxxx求)00( 12123823lim 8126128lim22223232型xxxxxxxxxxxx. )2(626lim2xxx例4为 型，由洛必达法则有00解,)(lim,)(lim) 1 (xgxfaxax 二、二、型定理 如果函数f(x)，g(x)满足下列条件：, 0)(,)(

4、 )()( )2( xgxgxfaxax且存在与，可以除外的某邻域内在，或无穷大存在)()()(lim )3(xgxfax.)()(lim)()(limxgxfxgxfaxax那么,)(lim)(lim ) 1 (xgxfxx，定理4 如果函数f(x)，g(x)满足下列条件：, 0)()()(,| )2( xgxgxfx存在，且与足够大时在，或无穷大存在)()()(lim )3(xgxfax.)()(lim)()(limxgxfxgxfxx那么.lncotlnlim0 xxx求xxxxxxx1)csc(cot1limlncotlnlim200. 1cos1limsinlim00 xxxxxxx

5、xxcossinlim0例5为 型，由洛必达法则有解.elimxxx求.1elimelimxxxxx例6为 型，由洛必达法则有解 三、可化为三、可化为 型或型或 型极限型极限 00.0)()(lim)(型为xgxfxax1.假如 ， 则称)(lim, 0)(lim)()(xgxfxaxxax0对于 型，先将函数变型化为 型或 .再由洛必达法则求之.如00)(1)(lim)()(lim)()(xfxgxgxfxaxxax或,)(1)(lim)()(lim)()(xgxfxgxfxaxxax.00型型，后者为前者为),()(lim,)(lim)()(或同为xgxfxaxxax再由洛必达法则求之.，

6、型型或为将函数进行恒等变型化，型对于 00 2.假如.)()(lim)(型极限为则称xgxfxax.lnlim0 xxx求ttx1lnlim20. 011lim220ttx因此时，如果先令,00，txtx例7.1lnlimlnlim00 xxxxxx解ttxxxx1lnlimlnlim200).ln11(lim1xxxx求)00( ln) 1() 1(lnlim1型原式xxxxxx 1) 1(ln1lnlim1xxxxxxx.21ln2ln1lim1xxx例8 .型，先将所给函数变形为解)00( 1lnlnlim1型xxxxxx11ln1lnlim1xxxxxxx.sincoslim30 xx

7、xxx求. 6sinlimcoslim200 xxxxxx原式应该单独求极限，不要参与洛必达法则运算，可以简化运算.例9为 型，可以由洛必达法则求之.如果注意到00 , 1coslim0 xx解,sin6limcos13limsinlim02030 xxxxxxxxxx而00说明 假如 型或 型极限中含有非零因子，.3sin)21ln(lim0 xxx求如果引入等价无穷小代换，那么.3232lim0 xxx原式例1000解所给极限为 型，可以由洛必达法则求之.，又xxxxx33sin,2)21ln(, 0注意极限过程为.cotarc1cos)11ln(lim xxxx求x1cos但是注意到所求极限的函数中含有因子 ，且 ，因此极限不为零的因子 不