高等数学：8-4 空间平面及其方程

1、第四节第四节 空间平面及其方程空间平面及其方程一、空间直线的方程一、空间直线的方程二、线面的位置关系二、线面的位置关系三、平面束方程三、平面束方程四、杂例四、杂例五、小结五、小结 思考题思考题一、空间直线方程一、空间直线方程xyzo01111DzCyBxA02222DzCyBxA1 2 L因此其一般式方程1 1. 一般式方程一般式方程 直线可视为两平面交线，(不唯一)111222ABCABC其中 ，与其中 ，与，不成比例，不成比例),(0000zyxM2. 对称式方程对称式方程故有mxx0设直线上的动点为 则),(zyxMnyy0pzz0此式称为直线的对称式方程(也称为点向式方程，标准方程)s

2、已知直线上一点),(0000zyxM),(zyxM和它的方向向量 , ,smnp sMM/0与已知直线平行的非零向量称为该直线的与已知直线平行的非零向量称为该直线的方向向量方向向量 。说明: 某些分母为零时, 其分子也理解为零.00yyxx直线方程为例如, 当,0, 0时pnmmxx0nyy0pzz0此直线平行于z轴。3. 参数式方程参数式方程设得参数式方程 :tpzznyymxx000tmxx0tnyy0tpzz0若直线经过两点11112222(,)(,)Mxy zMxy z和，和，则直线的方向向量可取为：12212121,sM Mxxyy zz ，于是直线的方程为：111212121xxy

3、yzzxxyyzz直线的两点式方程解: 取已知平面的法向量421zyx则直线的对称式方程为0432zyx垂直的直线方程. 为所求直线的方向向量. 1322 ,3 , 1n n例1. 求过点(1,2 , 4) 且与平面参数式方程为12234xtytzt 例例2.2.用对称式及参数式表示直线解:先在直线上找一点.043201 zyxzyx632zyzy再求直线的方向向量2,0zy令 x = 1, 解方程组,得交成已知直线的两平面的法向量为是直线上一点 .)2,0, 1(故.s11 , 1, 1 ,n 22 ,1 , 3n 21ns,ns21nns故所给直线的对称式方程为参数式方程为tztytx32

4、 41t41x1y32z解题思路: 先找直线上一点;再找直线的方向向量.4 ,1 ,321nns312111kji一般地，直线111111122222220 0A xB yC zDABCA xB yC zDABC 不不成成立立的方向向量为：12snn 111222ijkABCABC 111111222222, , BCCAABBCCAAB 思考：如何将直线的点向式（参数式）方程化为一般 方程？二、线面间的位置关系二、线面间的位置关系1. 两直线的位置关系两直线的位置关系 11122212111222:; :xxyyzzxxyyzzLLmnpmnp 设两直线的方程为：(, ), (,) (1,2

5、) ,iiiiiiiiiLM x y zsmnpi 其其中中 过过点点 方方向向向向量量为为 那么12LL与共面与共面1212,.s sM M 共面共面那么12LL与共面与共面1212,s sM M 共面共面2121211112220 xxyyzzmnpmnp 12LL与异面与异面2121211112220 xxyyzzmnpmnp 12LL在 与共面的情况下在 与共面的情况下12LL与相交与相交2121211111112222220.xxyyzzmnpmnpmnpmnp且不成立且不成立12LL与平行与平行111222212121:():():()mnpmnpxxyyzz 12LL与重合与重合

6、111222212121:():():()mnpmnpxxyyzz 2L1L则两直线夹角 满足21, LL设直线 两直线的夹角指其方向向量间的夹角(通常取锐角)的方向向量分别为212121ppnnmm212121pnm222222pnm11112222,smnpsmnp2121cosssss 1s2s在相交的情况下，研究两直线的夹角：特别有:21) 1(LL 21/)2(LL0212121ppnnmm212121ppnnmm21ss 21/ss2. 直线与平面的夹角直线与平面的夹角设有直线000:xxyyzzLmnp和平面:0,AxByCzD 直线与平面相交 sn与不垂直与不垂直0AmBnCp

7、000:xxyyzzLmnp:0,AxByCzD 直线与平面垂直直线与平面垂直 sn与平行与平行ABCmnp直线与平面平行直线与平面平行 sn与垂直与垂直0AmBnCp当直线与平面垂直时,规定其夹角线所夹锐角 称为直线与平面间的夹角;当直线与平面不垂直时,.2直线和它在平面上的投影直投影直线： 过直线 L 作平面的垂面 ，1 1 .L 那么与的交线即为直线 那么与的交线即为直线 在平面 上的投影直线在平面 上的投影直线LsnL设直线 L 的方向向量为 平面 的法向量为则直线与平面夹角 满足222222CBApnmpCnBmA, smnp ,nABC ),cos(sinnsnsns sn特别有:

8、L) 1(/)2(L0pCnBmApCnBmAns/ns例3. 求以下两直线的夹角解: 直线直线二直线夹角 的余弦为13411:1zyxL0202:2zxyxL cos22从而4的方向向量为1L的方向向量为2L2 ,2 ,1) 1(1)2()4(212221)4(1222) 1()2(211 ,4 , 1s 2010112kjis 解法一: 用直线的点向式方程：所求直线的方向向量1:210 xyz 和 例4. 求过点(2,5 , 3) 且与两平面12snn 2:20 xyz 平行的直线方程.解法二: 用直线的点向式方程：所求直线平行于两平面的交线：21020 xyzxyz 在此直线上任取两点，

9、然后可得到直线的方向向量，再写出直线方程。如何找点？1:210 xyz 和 例4. 求过点(2,5 , 3) 且与两平面2:20 xyz 平行的直线方程.解法三: 用直线的一般方程：如何写出两个平面的方程？所求直线在过已知点且平行于 的平面 上， 1 3 也在过已知点且平行于 的平面 上， 2 4 再联立两个平面 和 的方程即可。3 4 1:210 xyz 和 例4. 求过点(2,5 , 3) 且与两平面2:20 xyz 平行的直线方程.1 3 2 4 解法一: 用直线的两点式方程：11:121yzLx 例5. 求过点P(1,1, 1) 且与直线垂直相交的直线 L 的方程.先求过点 P 且与已

10、知直线 L1 垂直的平面1: 再求直线 L1 与平面 的交点Q，1 PQ即为所求直线。P1LQM解法二: 用直线的一般方程：所求直线在过已知点且垂直于 的平面 上， 1L1 也在由已知点和直线 所确定的平面 上， 1L2 再联立两个平面 和 的方程即可。1 2 1L1 2 解法三: 用直线的点向式方程：一方面设所求直线的方向向量为 , ,sm n p 1,ss 即20; mnp（1）（1）另一方面1,(-1,1,0)s s PMM 共面，共面，即1210 201mnp（2）（2）联立(1)(2)求出一组 m,n,p 的值再写出直线方程。P (1,1,1)1LQ( 1,1,0)M s 1(1,2

11、, 1)s 三、过直线的平面束01111DzCyBxA02222DzCyBxA设直线 L 由方程组111222ABCABC其中 ，与其中 ，与，不成比例，不成比例所确定，作三元一次方程11112222()0A xB yC zDA xB yC zD 其中为参数11112222()0A xB yC zDA xB yC zD 12121212)()()()0AA xBByCCzDD（因为111222ABCABC其中 ，与，不成比例,其中 ，与，不成比例,所以121212,AA BB CC不全为0，于是12121212)()()()0AA xBByCCzDD（表示过直线L 的一平面。当取不同值时，它表

12、示过直线L的不同平面，不包括平面 22220A xB yC zD平面束：通过定直线的所有平面的全体.11112222()0A xB yC zDA xB yC zD（）更一般情形：可以用来表示所有过直线L 的平面。111122220A xB yC zDA xB yC zD （）11112222()0A xB yC zDA xB yC zD 一般用一下两种形式以减少参数个数。投影直线：过直线 L 作平面的垂面 ，1 1 .L 那么与的交线即为直线 那么与的交线即为直线 在平面 上的投影直线在平面 上的投影直线投影直线：过直线 L 作平面的垂面 ，1 1 .L 那么与的交线即为直线 那么与的交线即为

13、直线 在平面 上的投影直线在平面 上的投影直线例6. 求直线0101zyxzyx在平面上的投影直线方程.提示：过已知直线的平面束方程0)1()1()1 ()1 (zyx0) 1(1zyxzyx即0zyx从中选择01)1(1)1 (1)1 (得001zyxzy这是投影平面使其与已知平面垂直：从而得投影直线方程, 1思考：不用平面束，怎么做？1. 空间直线方程空间直线方程一般式对称式参数式0022221111DzCyBxADzCyBxAtpzztnyytmxx000pzznyymxx000)0(222pnm 内容小结 ,1111111pzznyymxxL：直线0212121ppnnmm,22222

14、22pzznyymxxL：212121ppnnmm2. 线与线的关系线与线的关系直线夹角公式:),(1111pnms ),(2222pnms 021ss21LL 21/ LL021ss2121cosssss , 0DzCyBxACpBnAm平面 :L L / 夹角公式：0CpBnAmsin,pzznyymxx3. 面与线间的关系面与线间的关系直线 L :),(CBAn ),(pnms 0 ns0nsnsns L)1 ,2, 1(A,11231:1zyxLiL设直线解：,2上在因原点LO12:2zyxL相交,求此直线方程 .的方向向量为过 A 点及 的平2L面的法向量为则所求直线的方向向量方法1

15、 利用叉积. ),2, 1( isi, n,1nss所以OAsn2121112kjikji333例：例：一直线过且垂直于直线 又和直线nOA2L2s设所求直线与的交点为512231zyx12000zyx0000,2yzyx待求直线的方向向量方法2 利用所求直线与L2 的交点 .即故所求直线方程为 2L),(000zyxB则有2L) 1 , 2 , 1 (Anss1333123kji)523(3kji),(000zyxB0) 1()2(2) 1(3000zyx78,716,78000zxy512231zyx0000,2yzyx将代入上式 , 得由点法式得所求直线方程而) 1, 2, 1(000z

16、yxAB)5,2,3(731L)715,76,79(AB2L) 1 , 2 , 1 (A),(000zyxB)1,2,1(M12-2-5-24:zyxL 的距离。例：例：求点到直线 MLsd分析：在直线上任取一点PPMsds P(1,9, 2) (2, 2,1)5 2(2, 2,1)d 解：在直线上取一点P（4，5，2）例：例：已知入射光线的路径为l： 求该光线经平面 反射后的反射光线。112,431xyz:25170 xyz 分析: 1Ml1l2M1PP1、求直线l与平面的交点M1；2、在直线l上取一点P；3、过P作垂直于平面的直线l1，垂足为M2；4、求点P关于平面的对称点P1；5、直线M1P1即所求直线。证明两直线异面：证明两直线异面：例：例：证明直线 和 是两条异面直线，并求两直线间的距离和公垂线方程。1331:411xyzl 224:0 xzly 1l2l1P2P1s 2s 1212,s sP P 异面例：例：证明直线 和 是两条异面直线，并求两直线间的距离和公垂线方程。1331:411xyzl 224:0 xzly 求两异面直线间的距离方法一：求两异面直线间的距离方法一：1l2l1P 1、作过l2，且平行于l1的平面；2、在l1上取一点P1；3、P1到平面的距离即所求。d 12|Pr|sj P