2020届广西桂林高三第一次联合调研考试数学理试题解析版

1、2020年高考桂林市第一次联合调研考试数学(理科)一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1 .已知集合 A y y 7x 1 ,B x2x 4 ,则 AI B ()A. 0,2B. 1,2C. 1,D. ,2【答案】B【解析】【分析】计算A y y 1 ,B xx2,再计算AI B得到答案.【详解】A y y 1 ,B x x 2 ,A B 1,2 .故选：B.【点睛】本题考查了交集的运算，意在考查学生的计算能力.2.若复数z满足"D_= 1+则|z () zA. ,2B. 2C. 2 2D.、5【答案】A【解析】【分

2、析】化简得到z 1 i ,再计算模长得到答案【详解】z21 i 2i 2i 1 i1 i 好 1 i 1 iz 2-故选：A.【点睛】本题考查了复数的化简和求模，意在考查学生的计算能力3.人体的体质指数（BMI ）的计算公式：BMI 体重 身高2 （体重单位为kg ,身高单位为m）.其 判定标准如下表：BMI18.518.523.92429.930以上等级偏瘦正常超标重度超标某小学生的身高为1.4m,在一次体检时，医生告诉她属于正常类，则她的体重可能是（）A. 35.6B. 36.1C. 42.4D. 48.2【答案】C【解析】【分析】根据题意可得，体重BMI身高2 ,代入数据即可求解.【详解

3、】由题意得，体重 BMI身高2 ,因为此人属于正常，所以 BMI 18.5,23.9所以此小学生的体重范围为1.96 18.5,1.96 23.9 ,即体重范围为36.26,46.84 ,故选：C【点睛】本题考查推理与证明，考查推理论证能力以及估算思想4.设m,n是两条不同的直线，是两个不同的平面，则的一个充分不必要条件（）A. m , mB. m ,n,m nC. m/n,m,nd. m/ ,m【答案】D【解析】【分析】利用空间线面位置关系的判定与性质定理即可得出.【详解】对于A, m ,m ，则 / ,故排除A；对于B, m ,n ,m n,则与相交或 / ,故排除B；对于C, m/n,m

4、 ,n ，则 / ,故排除C；对于D, m / / , m ，则 ；反之，若 ，m与，的位置关系不确定，当m 时，m/或m ,故的一个充分不必要条件 m / ,m ，故D正确；故选：D【点睛】本题主要考查直线、平面的平行与垂直的判断、充分条件与必要条件的判断等基础知识，意在考查学生的空间想象能力、转化与化归能力，属于基础题5.设x,y满足约束条件3x y 3 0x 2y 4 0,则目标函数z x 2y的最大值为(2x y 2 0A. 8【答案】AB. 7C. 6D. 5【解析】【分析】2 y过点先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，只需求出直线z xA 2,3时，求出z最大值即可.【

5、详解】作出变量x,y满足约束条件3x y 3 0x 2y 4 0的可行域如图:2x y 2 011由 z x 2y ,可得 y -x z , 2 1所以动直线y x21z的纵截距1 z取得最大值时, 22目标函数取得最大值3x y 3 0 A”由得A 2,3 ,x 2y 4 0结合可行域可知当动直线经过点A 2,3时,目标函数取得最大值z 2 2 3 8.故选：A【点睛】本题主要考查了简单的线性规划问题，解题的关键是作出约束条件的可行域、理解目标函数 表本的几何意义，属于基础题6 .九章算术是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三 人等，问各得几何？ ”其意思

6、为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分五钱，甲、乙两人所得与丙、丁、 戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列，问五人各得多少钱？ ” （“钱”是古 代乙种质量单位），在这个问题中，甲比戊多得（）钱？2 A.31B.- 31 D.6【答案】A【解析】【分析】设等差数列的公差为d ,利用等差数列的通项公式即可求解.【详解】设甲、乙、丙、丁、戊五人所得钱数分别为4e2e3相4e5 ,公差为d ,52al da12则 aia2 a3a4a5即2 ,解得53al 9d - d2aia54d故选：A【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式，需熟记公式，属于基础题f (x)的解析式可能为()7 .

7、已知函数y f(x)的大致图象如图所示，则函数A. f(x)cosx lnU1 xB.f (x)cosxlnU x 1C. f(x)sinxlnL1 xD.f(x)sin x【解析】【分析】结合图像，判断函数的性质即可求解【详解】 从图像可知，函数 y f(x)为偶函数,对于A, f (x) cosx 1x ln cosx1 xxIn - xcosxlncosxInf(x),排除 A；对于B,f(x)cosx 1x lnx 1cosxx 1 ln x 1cosxIncosxInf(x),排除 B；y Inln-1 ,1其定义域均为当x从1的右侧趋近1时,x 1_ln1 0 , sin x 0,

8、x 1即 f(x)sin xx 1 ln x 10 ,结合图像排除D叽【点睛】8.已知锐角,r1 r向量 a sin , ,b 21,cos ,满足 a b则为（）A.12B.-3C.-6D.4【解析】【分析】rb可得故选：D.r是锐角,sin【详解】由a1 ,又【点睛】本题考查了向量平行求参数，意r b。，即 si 2r ra b可得故选：C本题考查了函数图像的识别，注意从函数的性质进行深入分析，考查了函数的性质，属于基9 .如图是某几何体的三视图，则该几何体的外接球的体积为（）A. 27B. 36C. 12D. 18【答案】B【解析】【分析】利用圆台的结构特征求出其外接球的半径，再利用球的

9、体积公式即可求解【详解】由三视图知，该几何体是一个圆台，圆台的上底面半径为1,下底面半径为 "，圆台的高为3H设圆台的外接球半径为 R,如图：则赤一记了 3夜，解得R 3,43外接球的体积为-R3 36 .3故选：B【点睛】本题考查了旋转体的外接球问题以及球的体积公式，需熟记公式，属于基础题 10 .已知函数f(x) 2sin2x 1 sin2x,将函数f(x)的图象上的所有点的横坐标伸长到原来的2倍，再把所得图象向上平移2个单位长度，得到函数 y g(x)的图象，若g(x)g(x2)16,则x1 x2的值可能为()A.B.C. 2D. 32【答案】C【解析】【分析】化简 f (x)

10、 2sin 2x 一 ,得到 g(x) 2sin x -2,得到 x1 x2 nT T 2 ,n N* ,计66算得到答案.【详解】f (x) 2sin,PF1的最小值为8,则双曲线C的离心率为（） x 1 73sin 2x 73sin 2x cos2x 2sin 2x ,6经过变换后得到函数 g(x) 2sin x 2 ,6则g(x)的值域为0,4 ,又g x1g &16,g Xig x2 g x max 4, % x?nT T 2 ,n N *故选：C.【点睛】本题考查了三角函数化简，平移伸缩变换，值域，意在考查学生的综合应用能力2 X11.已知双曲线C ： -ya21 a 0 ,

11、 F1, F2是C的左右焦点, 8P是双曲线C右支上任意一点，若A. ,3B. 3C. 2【答案】B【解析】【分析】根据双曲线的定义可得 PFi【详解】由双曲线的定义知PFi2PF2 2aPF2PF2 2a,代入PFiPF2 2a4a2PF2PFiPF24a 2! PF2,利用基本不等式即可求解4a2PF24a 8a,当且仅当PF2 2a时取等号8a 8,a 1,c . a2 b23, e 3故选：B验证等号成立的【点睛】本题考查了双曲线的定义以及基本不等式求最值，注意利用基本不等式时,条件，属于基础题.12.已知函数 f (x) ex lnx 1 ,x,若存在a 2,1 ,使得f2a 3 e

12、 成立，则实数m的取值范围为()A. 2,13B. 1,2 C.3【解析】【分析】f'(x)In x，令 g(x)In x计算函数的单调性，得到计算得到答案.【详解】f '(x)In,1 ，、In x 一 1 ,则 g '(x) x.1故当一x 1时，g (x) 0, g(x)单调递减，当x 1时，g (x) o,g(x)单调递增， 2_11,、g(x) g(1) 0,从而当x -, 时，f'(x) 0, f(x)在区间一，上单调递增.2222设 ha a 2a 3 e a 1 4e,则h a在 2, 1上单调递减，在 1,1上单调递增，h(a)max h 1e

13、,存在a2 c八.一1a2 2a 3 e成立，等价于f 2 一 m- m - m12，解得m 1.-32故选：A.【点睛】本题考查了能成立问题，转化为函数值域问题是解题的关键、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.二项式6展开式中的常数项为240,则实数a的值为【答案】23 r2 ,由6【解析】【分析】 直接利用二项式定理计算得到答案.r【详解】Tr 1 C； x6 ra-C； a解得a 2.故答案为:2.【点睛】本题考查了二项式定理的应用，意在考查学生的应用能力和计算能力214.已知等比数列 an中，a1 3,a3a4,则 as【答案】127【解析】【分析】利用等比数列的通项公式

14、即可求解a1 3【详解】由题意可得2a3 a4a132 43 ,解得qai q &q所以as4aiq 3181127故答案为:127【点睛】本题主要考查等比数列的通项公式，需熟记公式，属于基础题215.已知F1为椭圆C： 4y2 * 4 1的左焦点，过点UUTF1的直线l交椭圆C于A,B两点，若BF1LUIT3F1A,则直线l的斜率为【答案】上【解析】【分析】根据题意求出F1l的方程为:k x向，将直线与椭圆方程联立消y求交点的横坐标，由UJITBF1UULT3F1A,可得 xa3xb 4、30,代入交点的横坐标即可求解c2a2 b2 ,即 cV3 ,所以 F13,0根据题意可得直线的

15、斜率存在，设直线 l的斜率为k,直线l的方程为：y k x 73y k x 、, 3则 2,消 y可得 1 4k2 x2 83k2x 12k2 4 0,x 2/7 y 1解得8 一3k2 ,8.3k2 2 4 4k2112k2 44、3k2 211x2 4k2 11 4k2设 A xaJa，B xbb ,mirunr因为BF1 3RA,所以3xb3档xa J3 ,整理可得xa3xb 4 3 0由xa4.3k2 2；k2 11 4k24 .3k2 2. k2 11 4k2代入XA 3xB 4g 0可得也"产4石。，解得k亚.【点睛】本题考查了直线与椭圆的位置关系，考查了学生的计算能力，

16、属于中档题 16 .已知函数f(x)x2 6x 5 ,若函数g(x) f (x) kx有4个零点，则实数k的取值范围为【答案】0,6 2,5【解析】【分析】2化简f(x),画出函数图像，根据图像计算得到答案x 6x 5, x 1,52x 6x 5, x ,15,22x 6x 5, x 1,5【详解】f (x) x 6x 52x 6x 5,x,15,取 g(x)f (x) kx 0,即 f(x)kx,画出函数图像，根据图像知:2k 620 0.【点睛】本题考查了函数零点问题，画出函数图像是解题的关键x2 6x 5 kx ,即 x2 k 6 x 5 0,取故k 6 2点或k 6 275 (舍去)，

17、即k 0,6 2屈故答案为：0,6 2.5 .三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每 个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.(一)必考题：共60分17 .在锐角 ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c,已知2c 2b cosA acosB c.(1)求证：b 2c;(2)若sinA 叵a 2,求 ABC的面积.4【答案】(1)证明见解析；(2)巫.4【解析】【分析】(1)利用正弦定理边化角可得2sin C 2siB cosA sin AcosB sinC ,再利用两角和的正弦公式以及三角形的性质即可求解.1

18、一 一. 一,(2)利用同角二角函数的基本关系可得cosA ,再利用余弦定理结合(1)即可得出c,b,再由三4角形的面积公式即可求解.【详解】(1)证明：由正弦定理有2sinC 2sin B cosA sinAcosB sinC得 2sin CcosA2sin BcosA sin AcosBsinC ,有 2sinCcosAsin BcosA sin C sin C得 2sinCcosAsinBcosA 0,由 cosA0,可得 sin B 2sin C ,由正弦定理得b 2c1由余弦定理有b2 c2 2bc -4(2)由题意有cosA2214,得 b c - bc 4 ,代入 b 2c ，2

19、解得：c 1,b 2故ABC的面积为1 2匹匹 244【点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理以及三角形的面积公式，需熟记定理与公式，属于基础题18.在一块耕地上种植一种作物，每季种植成本为1000元，此作物的市场价格和这块地上的产量均具有随机性，且互不影响，其具体情况如下表：作物厂量（kg ）400500概率0.60.4作物市场价格（元/kg）56概率0.50.5（1）设X表示在这块地上种植1季此作物的利润，求 X的分布列（利润 产量 市场价格 成本）；（2）若在这块地上连续 3季种植此作物，求这 3季中的利润都在区间 1200,1600的概率.、1【答案】（1）详见解析（2）-8【解析】【分析

20、】（1） X所有可能白取值为1000,1400,1500,2000 ,计算概率得至IJ分布歹U .（2）每一季利润在区间1200,1600的概率为0.5,计算得到答案.【详解】（1）设A表示事件“作物产量为 400kg”，B表示事件“作物市场价格为5元/kg ”，由题设知P A 0.6,P B 0.5,利润产量市场价格 成本.X所有可能的取值为400 5 10001000,400 6 1000 1400,500 5 10001500,500 6 1000 2000,P X 1000P A P B 0.5 0.6 0.3,P X 1400 P A P B1 0.5 0.6 0.3,P X 150

21、0P A P B 0.5 0.4 0.2 ,P X 2000 P A P B0.4 0.5 0.2,X的分布列为:X1000140015002000P0.30.30.20.2(2)每一季利润在区间1200,1600的概率为0.3 0.2 0.5,3 1故3季中的利润都在区间1200,1600的概率为0.53 -.8【点睛】本题考查了分布列和概率的计算，意在考查学生的计算能力和综合应用能力19.如图，在长方体 ABCD ABQD1中，AA1 2,AB BC 1, E为BB1的中点，F为Ag的中点.D(1)求证：EF / /平面 ABCD ;(2)求平面AB1D1与平面AECi所成二面角的正弦值.

22、【答案】(1)证明见解析(2)叵9【解析】【分析】(1)如图，连AC、BD相交于点O,连OF ,证明EF/OB得到答案.uuu uuir uuuur(2)如图，以点D为坐标原点，向量 DA, DC,DD1方向分别为x、y、z轴建立如图所示空间直角坐urr标系，平面AEC1的法向量为m 1,1, 1 ,平面AB1D1的法向量为n 2, 2,1，计算夹角得到答案.【详解】(1)证明：如图，连 AC、BD相交于点O,连OF ,QFO/BB1,2FO BB1, FO /BE, FO BE,四边形BEFO为平行四边形，可得 EF/OB ,Q OB 平面 ABCD, EF 平面 ABCD , EF/平面

23、ABCD.uuu uuir uuuur(2)如图，以点D为坐标原点，向量 DA, DC,DD1方向分别为x、y、z轴建立如图所示空间直角坐 标系.各点坐标分别为D 0,0,0、A 1,0,0C 0,1,0、E 1,1,1 ,A 1,0,2 ,B1 1,1,2 ,C1 0,1,2、D1 0,0,2uruuuu设平面AEC1的法向量为m x, y,z ,AC1uuu1,1,2 ,AE 0,1,1 ,v uuuv一m AC1x y 2z 0 仃ddd 1r有v uuv,取 x1,y1,z1,有mn AE y z 01,1, 1 ;ruuuuuuu设平面 AB1D1 的法向量为 n a, b,c ,D

24、1B11,1,0 ,AD11,0,2v uuuuv入n D1B1a b 0r有 v uuuiv,取 a 2,b2,c 1,有 n 2, 2,1 ；n AD1 a 2c 0ir r 有m nLT5, mir rn 3,cos m n53,3故平面AB1D1与平面AECi所成二面角的正弦值为1 2527【点睛】本题考查了线面平行，二面角，意在考查学生的空间想象能力和计算能力20.已知函数 f(x) x aln x b a,b R .(1)讨论函数f(x)的单调性；3(2)是否存在头数 a b,且b ，使得函数f(x)在区间1, e 值域为2,e ?右存在，求出 a b 2的值；若不存在，请说明理由

25、.【答案】(1)答案不唯一，具体见解析(2)存在；a 1,b 1【解析】【分析】a x a(1)求导f'(x) 1 - ,讨论a 0和a 0两种情况，计算得到答案x x讨论a 0, 0 a 1, 1 a e, a e四种情况，分别计算得到答案a x a【详解】(1)函数f(x)的定义域为0, f '(x) 1 ，x x当a 0时，f '(x) 0 ,函数f (x)的增区间为 0,当a 0时，令f '(x) 0可得x a,故函数f(x)的增区间为a, ,减区间为 0,a,f(1) b 1 2/一当a 0时， 、)得a 1,b 1舍去;f (e) e a b e当0

26、 a 1时，f(1)b 1 2得a 1,b 1符合题意; f (e) e a b e3 5当1 a e时，由f(1) 1 b 1 e,不合题意；2 2f (a) a alna b 2 2a alna必有，可得f (e) e a b eb 2令 g(x) 2x xln x 2 1x e , g'(x) 1 In x 0 ,故函数g(x)单调递增,又由g(1) 0,故当1a e时，2a aln a2 ,不存在这样的a ；当a e时,f(1) b 1 ef (e) e a b，得 a 2e 3,b e 1 舍去; 2综上所述：满足条件的a、b 值为 a 1,b 1.【点睛】本题考查了函数的单

27、调性，根据值域求参数，分类讨论是常用的数学方法，需要熟练掌握2221 .已知抛物线C : y 2px p 0 ,抛物线C与圆D : x 1y2 4的相交弦长为4.(1)求抛物线C的标准方程；25 一 ,(2)点F为抛物线C的焦点，AB为抛物线C上两点，AFB 90 ,若 AFB的面积为-5,且直36线AB的斜率存在，求直线 AB的方程.【答案】(1) y2 4x； (2) y 12x 2或y 12x 2.【解析】【分析】(1)利用圆与抛物线的对称性可知，点a,2在抛物线和圆上，代入方程即可求解(2)设直线AB的方程为y kx b k 0 ,点A B的坐标分别为 x1,y1 , x2, y2 ,

28、将抛物线与直线联立，分别消x, y ,再利用韦达定理可得两根之和、两根之积，根据向量数量积的坐标运算可得b2 6kb k2 4, 1AFB的面积为一AF2BF1/x1 1 x2 12【详解】(1)由圆及抛物线的对称性可知，点a,2既在抛物线C上也在圆D上,有：a2pa 42 ，解得 a 1,P 214 4故抛物线C的标准方程的2y 4x(2)设直线AB的方程为y kx b k点AB的坐标分别为 xi,yi , x2, y2 .联立方程 yy4x,消去y后整理为kx b2kb可得xi x24 2 kbb22 ， x1x2TTkk联立方程4x kx,消去x后整理为 bky24y 4b0,可得yy2

29、4bk，1616kb 0,得 kbAFB90有,uuuFAuuux1 1,y1 ,FBx2 1,y2nuFAumFBx1x2 1yy2xx2xx2b2k22 kb k20 ，可得 b2 6kbk2 4 , 1 .AFB的面积为一AF2BF1 x1XXiIx221-X1X2 Xi2x2 12221 b2 4 2kb 彳b2 2kb k2 4- 12 k2k22k2k2k2b2 2kb k2 b2 6kb k2b2 2kb2k2b k可得k6b或b11k6联立方程b226kb k26b4 “解得12或224 1,故此时直线AB的方程为y 12x2 或 y 12xb2联立方程 b26kb k211k4,解方程组知方程