导数的应用1 高中数学选修1-1资源

1、.导数的实际应用导数的实际应用.知识与技能目标知识与技能目标：通过实例了解利用导数解决通过实例了解利用导数解决最优化问题的步骤；最优化问题的步骤；过程与方法目标：过程与方法目标：多让学生举例说明，培养他多让学生举例说明，培养他们的辨析能力，以及培养他们分析问题和解决问题的们的辨析能力，以及培养他们分析问题和解决问题的能力；能力；情感、态度与价值观：情感、态度与价值观：通过学生的参与，了通过学生的参与，了解数学知识来源于生活，又服务于生活，从而培养学解数学知识来源于生活，又服务于生活，从而培养学生的应用意识提高学习数学的兴趣。激发学生学习数生的应用意识提高学习数学的兴趣。激发学生学习数学的兴趣。

2、学的兴趣。教学目标教学目标. 教学重点教学重点利用导数知识解决实际中的最优化问题利用导数知识解决实际中的最优化问题 教学难点教学难点建立函数模型，并利用导数知识求最建立函数模型，并利用导数知识求最值。值。.1、函数的最值、函数的最值 定义定义 在区间在区间 a, b 上的连续函数上的连续函数 f (x), 如如果在点果在点 x0 处的函数值处的函数值 f (x0) 与区间上其余各点的与区间上其余各点的函数值函数值 f (x) 相比较，都有相比较，都有 (1)如果如果 f (x) f (x0) 成立成立, 则称则称 f (x0) 为为 f (x)在在a, b 上的最大值上的最大值, 称点称点 x

3、0 为为 f (x)在在a, b 上的最大点上的最大点. (2)如果如果 f (x) f (x0) 成立成立, 则称则称 f (x0) 为为 f (x)在在a, b 上的最小值上的最小值, 称点称点 x0 为为 f (x) 在在a, b 上的最小点上的最小点. 最大值和最小值统称最值最大值和最小值统称最值.知识链接知识链接.2、求函数求函数 f (x) 在在a, b上最值的一般步骤是上最值的一般步骤是: ( (1) )求出求出 f (x) 在在 (a, b) 内的所有极值内的所有极值( 或求或求出出 f (x) 在在 (a, b) 内的所有可能极值点处的函数内的所有可能极值点处的函数值值, 可

4、以不判定是不是极值可以不判定是不是极值 ); ( (2) )求出函数值求出函数值 f (a), f (b) ; ( (3) )比较比较 f (a)、f (b) 和所有极值和所有极值( 或所有可或所有可能极值点处的函数值能极值点处的函数值 )的大小的大小, 其中最大者为最其中最大者为最大值大值, 最小者为最小值最小者为最小值. .实际问题实际问题数学数学化化数学模型数学模型求解数学模型求解数学模型实际问题的结论实际问题的结论运用数学知识运用数学知识思想、方法思想、方法还原还原检验检验3、解决实际问题的一般思路：、解决实际问题的一般思路：课前预习课前预习 导数在实际生活中有着广泛的应导数在实际生活

5、中有着广泛的应用用, ,利用导数求最值的方法利用导数求最值的方法, ,可以求出可以求出实际生活中的某些实际生活中的某些最优化最优化问题问题. .1.1.几何方面的应用几何方面的应用3.3.物理方面的应用物理方面的应用. .2.2.经济学方面的应用经济学方面的应用( (面积和体积等的最值面积和体积等的最值) )( (利润方面最值利润方面最值) )( (功和功率等最值功和功率等最值) ).1、用导数解决生活中的用导数解决生活中的几何最几何最优化问题优化问题例例 1用边长为用边长为48 cmcm的正方形铁皮做一个无的正方形铁皮做一个无盖的铁盒盖的铁盒, , 在铁皮的四周各截去面积相等的小正在铁皮的四

6、周各截去面积相等的小正方形，然后把四周折起方形，然后把四周折起, , 焊成铁盒焊成铁盒. . 问在四周截问在四周截去多大的正方形去多大的正方形, , 才能使所做的铁盒容积最大才能使所做的铁盒容积最大?48cmcmx(cm)48cmcm.解解设截去的小正方形的边长为设截去的小正方形的边长为 x(cm), 铁铁皮皮容积为容积为 V (cm3 ), 根据题意有根据题意有 V = x(48- -2x)2， x ( (0, 24) )问题归结为求问题归结为求 x 为何值时为何值时, ,函数函数V 在区间在区间( (0, 24) )内取得最大值内取得最大值. . V = (48- -2x)2+ +2x(4

7、8- -2x)(- -2) =12(24- -x)(8- -x),令令V = 0，即令，即令12(24-x)(8-x)=0,解得：解得：x，x（舍）（舍）x在区间（，）内，在区间（，）内，x可能是极值点。且：可能是极值点。且：当：当：x时，时，V 0；当；当x时，时，V 0.因此因此x = 8是极大值点，且是极大值点，且在在( (0, 24) )内唯一的内唯一的极极值点，所以值点，所以x = 8 是其体积的最大值点。是其体积的最大值点。 因此因此, ,当截去的正方形边长为当截去的正方形边长为 8cm时时, 铁盒铁盒容积最大容积最大. .探究引申：探究引申：用边长为用边长为a 的正方形铁皮做的正

8、方形铁皮做一个无盖的铁盒一个无盖的铁盒, , 在铁皮的四周各截去面在铁皮的四周各截去面积相等的小正方形，然后把四周折起积相等的小正方形，然后把四周折起, , 焊焊成铁盒成铁盒. . 问在四周截去多大的正方形问在四周截去多大的正方形, , 才才能使所做的铁盒容积最大能使所做的铁盒容积最大?.x 在区间（，在区间（， ）内，）内，x可能是极值点。且：可能是极值点。且：当：当：x x时，时，V 0；当；当x1x 时，时，V 02 2a a解设截去的小正方形的边长为，铁皮容积解设截去的小正方形的边长为，铁皮容积为为 V V（x x）, , 根据题意有根据题意有 V = x(a- -2x)2， x (

9、(0, ) )问题归结为求问题归结为求 x 为何值时为何值时, ,函数函数V 在区间在区间( (0, ) )内取得最大值内取得最大值. . V = (a- -2x)2+ +2x(a- -2x)(- -2)=12x2-8ax+a2令令V = 0，即令，即令12x2-8ax+a2=0,解得：解得：x ，x （舍）（舍）2 2a a6 6a a6 6a a2 2a a2 2a a2 2a a.因此因此x = 是极大值点，且是极大值点，且在在( (0, ) )内唯一的内唯一的极极值点，所以值点，所以x = 是其体积的最大值点。是其体积的最大值点。 因此因此, ,当截去的正方形边长为当截去的正方形边长为

10、 时时, 铁盒容铁盒容积最大积最大. 6 6a a2 2a a6 6a a6 6a a.用导数解最值应用题，一般分为五个步骤：用导数解最值应用题，一般分为五个步骤：1 1、通过建立实际问题的数学模型，写出变量、通过建立实际问题的数学模型，写出变量间的函数关系式间的函数关系式y=f(x)y=f(x)；2 2、求导函数、求导函数y y/ /；3 3、令、令y y/ /=0=0，求出相应的，求出相应的x x0 0；4 4、指出、指出x=xx=x0 0处是最值点的理由；处是最值点的理由；5 5、对题目所问作出回答，求实际问题中的最、对题目所问作出回答，求实际问题中的最值问题时，可以根据实际意义确定取得

11、最值时值问题时，可以根据实际意义确定取得最值时变量的取值。变量的取值。.注意：1、得出函数关系式后，必须从实际意、得出函数关系式后，必须从实际意义确定自变量的定义域。义确定自变量的定义域。2、问题求解中所得出的结果要符合问、问题求解中所得出的结果要符合问题的实际意义。题的实际意义。总之，实际问题一定要从实际出发。总之，实际问题一定要从实际出发。3、在实际问题中，有时会遇到函数在、在实际问题中，有时会遇到函数在区间内只有一个点使区间内只有一个点使f/(x)=0的情形，如的情形，如果函数在这点有极值，如不予端点值比果函数在这点有极值，如不予端点值比较，可作为最值。较，可作为最值。.探究提升探究提升

12、例例2 2 一正方形内接于另一固定的正一正方形内接于另一固定的正方形（顶点分别在四边上），问内方形（顶点分别在四边上），问内接正方形的一边与固定正方形一边接正方形的一边与固定正方形一边的夹角取什么值时，内接正方形的的夹角取什么值时，内接正方形的面积最小？（如图）面积最小？（如图）ab.探究一：设其固定正方形与内接正方形的边夹设其固定正方形与内接正方形的边夹角为角为x，面积可以表示成什么形式？，面积可以表示成什么形式？夹角为多少时，其面积最小？夹角为多少时，其面积最小？abx.abl探究二探究二:设其内接正方形的对角线长为设其内接正方形的对角线长为l,面积可以表示成什么形式？面积可以表示成什么形式？l为为多少时，边与边的夹角为多少多少时，边与边的夹角为多少时，其面积最小？时，其面积最小？.直击高考直击高考（重庆高考）用长为（重庆高考）用长为18m的钢条围成一的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为与宽之比为2:1，问该长方形的长、宽、，问该长方形的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？是多少？.反思：数学的应用题越来越成为高考的热点问题，同学们在学习中应主动培养“学数学，用数学”的意识，而解决数学应用问题的关键就