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第第页武汉市2024-2025学年八年级数学下学期第一次月考卷(考试时间:120分钟试卷满分:120分)考前须知:1.本卷试题共24题,单选10题,填空6题,解答8题。2.测试范围:二次根式~勾股定理(人教版)。第Ⅰ卷一、单项选择题(本题共10小题,每小题3分,共30分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。)1.(3分)若式子2m−3有意义,则m的取值范围是()A.m≤23 B.m≥−32 C.m≥2.(3分)下列二次根式是最简二次根式的是()A.32 B.15 C.23 3.(3分)下列运算正确的是()A.2•3=5 B.9C.6×2=12 D.244.(3分)估算50−2A.在0与1之间 B.在0与2之间 C.在2与3之间 D.在3与4之间5.(3分)已知a、b、c是△ABC的三边,下列条件:①a=6,b=10,c=8;②∠C=23°,∠B=57°;③∠B﹣∠C=∠A;④a2﹣c2=b2,能够判断△ABC为直角三角形的有()A.0个 B.1个 C.2个 D.3个6.(3分)“今有方池一丈,葭生其中央,出水一尺,引葭赴岸,适与岸齐.问:水深几何?”这是我国数学史上的“葭生池中”问题.即AC=5,DC=1,BD=BA,则BC=()A.8 B.10 C.12 D.137.(3分)如图,三角形纸片ABC中,∠BAC=90°,AB=2,AC=3,沿AD和EF将纸片折叠,使点B和点C都落在边BC上的点P处,则AE的长是()A.136 B.56 C.768.(3分)已知a+b=﹣6,ab=7.则代数式aaA.−2277 B.2277 9.(3分)如图,在正方形方格中,每个小正方形的边长都是一个单位长度,点A,B,C,D,E均在小正方形方格的顶点上,线段AB,CD交于点F,若∠CFB=α,则∠ABE等于()A.180°﹣α B.180°﹣2α C.90°+α D.90°+2α10.(3分)如图,四边形ABCD中,AB=AD,∠BAD=90°,∠BCD=30°,BC=2,AC=14,则CDA.4 B.27 C.5 D.10二.填空题(共6小题,满分18分,每小题3分)11.(3分)比较下列两个数的大小:−31312.(3分)读材料:我们规定,若a+b=﹣1,则称a与b是关于﹣1的平衡数,若4+23与m是关于﹣1的平衡数,则m=13.(3分)如图,从一个大正方形中裁去面积为8cm2和18cm2的两个小正方形,则留下的阴影部分面积和为.14.(3分)如图,庭院中有两棵树,小鸟要从一棵高10m的树顶飞到一棵高4m的树顶上,两棵树相距8m,则小鸟至少要飞米.15.(3分)勾股数是指能成为直角三角形三条边长的三个正整数,世界上第一次给出勾股数公式的是中国古代数学著作《九章算术》.现有勾股数a,b,c,其中a,b均小于c,a=12m2−12,c=12m2+16.(3分)如图,在四边形ABCD中,AB=AD,∠BAD=90°,AC=74,BC=210,CD=6,则BD三.解答题(共8小题,满分72分)17.(8分)计算:(1)(33−1)(3318.(8分)先化简,再求值:25xy+xyx−4yxy19.(8分)如图,在四边形ABCD中,∠B=90°,AB=3,BC=4,点D是Rt△ABC外一点,连接CD,AD,且CD=12,AD=13.求四边形ABCD的面积.20.(8分)如图,在一条绷紧的绳索一端系着一艘小船.河岸上一男子拽着绳子另一端向右走,绳端从C移动到E,绳子始终绷紧且绳长保持不变.(1)若CF=7米,AF=24米,AB=18米,求男子需向右移动的距离;(结果保留根号)(2)此人以0.5米每秒的速度收绳,请通过计算回答,该男子能否在30秒内将船从A处移动到岸边点F的位置?21.(8分)如图是由小正方形组成的9×7网格,每个小正方形的顶点叫做格点,△ABC的三个顶点都是格点,仅用无刻度的直尺在给定网格中按下列要求完成画图,画图过程用虚线表示,画图结果用实线表示.(1)在图1中按下列步骤完成画图.①画出△ABC的高CD;②画△ACD的角平分线AE;③画点D关于AC的对称点D';(2)如图2,P是网格线上一点,过点P的线段MN分别交AB,BC于点M,N,且PM=PN,画出线段MN.22.(10分)如图,在△ABC中,∠ABC=90°,AC=17,BC=15,点P从点A出发,以每秒3个单位长度的速度沿折线A﹣C﹣B﹣A运动.设点P的运动时间为t(t>0).(1)AB=;(2)求斜边AC上的高线长;(3)①当P在BC上时,CP的长为,t的取值范围是;(用含t的代数式表示)②若点P在∠BCA的平分线上,则t的值为.23.(10分)(1)如图1,在Rt△ABC和Rt△ADE中,∠BAC=∠DAE=90°,AB=AC,AD=AE,且点D在BC边上滑动(点D不与点B,C重合),连接EC.求证:BD2+CD2=2AD2;[拓展延伸](2)如图2,在四边形ABCD中,∠ABC=∠ACB=∠ADC=45°.若BD=17cm,CD=8cm,求AD的长;(3)如图3,把斜边长都为18cm的一副三角板的斜边重叠摆放在一起,则两块三角板的直角顶点之间的距离AB长为cm.24.(12分)如图,在平面直角坐标系中,点A(0,a)在y轴上,点B(b,0)、C在x轴上,OB=OC,且a,b满足b=a(1)如图1,则点A坐标,点B坐标,∠ABC=;(2)如图2,若点D在第一象限且满足AD=AC,∠DAC=90°,线段BD交y轴于点G,求线段BG的长;(3)如图3,在(2)的条件下,若在第四象限有一点E,满足∠BEC=∠BDC.请探究BE、CE、AE之间的数量关系,并证明.参考答案一.选择题(共10小题,满分30分,每小题3分)1.(3分)若式子2m−3有意义,则m的取值范围是()A.m≤23 B.m≥−32 C.m≥【分析】根据二次根式的被开方数是非负数列出不等式,解不等式得到答案.【解答】解:由题意得:2m﹣3≥0,解得:m≥3故选:C.2.(3分)下列二次根式是最简二次根式的是()A.32 B.15 C.23 【分析】对于一个二次根式,被开方数中不含分母或不含开得尽方的因数或因式,这种二次根式即为最简二次根式,据此进行判断即可.【解答】解:32不是二次根式,则A15是最简二次根式,则B符合题意;23中含有分母,则C0.7=710故选:B.3.(3分)下列运算正确的是()A.2•3=5 B.9C.6×2=12 D.24【分析】直接利用二次根式的乘除运算法则分别化简得出答案.【解答】解:A、2•3=B、93×127=9C、6×2=D、24•32故选:D.4.(3分)估算50−2A.在0与1之间 B.在0与2之间 C.在2与3之间 D.在3与4之间【分析】求出原式=5−6,先确定6的范围,再确定5−【解答】解:50−23=5−6∵2<6∴﹣2>−6∴5﹣2>5−6即2<5−6∴2<50故选:C.5.(3分)已知a、b、c是△ABC的三边,下列条件:①a=6,b=10,c=8;②∠C=23°,∠B=57°;③∠B﹣∠C=∠A;④a2﹣c2=b2,能够判断△ABC为直角三角形的有()A.0个 B.1个 C.2个 D.3个【分析】根据三角形的内角和定理和勾股定理的逆定理求解即可.【解答】解:①∵62+82=102,∴a2+c2=b2,∴△ABC是直角三角形,故本选项符合题意;②∵∠C=23°,∠B=57°,∠A+∠B+∠C=180°,∴∠A=100°,∴△ABC是钝角三角形,故本选项不符合题意;③∵∠B﹣∠C=∠A,∴∠A+∠C=∠B,∵∠A+∠B+∠C=180°,∴2∠B=180°,∴∠B=90°,∴△ABC是直角三角形,故本选项符合题意;④∵a2﹣c2=b2,∴a2=b2+c2,∴△ABC是直角三角形,故本选项符合题意;综上,能够判断△ABC为直角三角形的有3个,故选:D.6.(3分)“今有方池一丈,葭生其中央,出水一尺,引葭赴岸,适与岸齐.问:水深几何?”这是我国数学史上的“葭生池中”问题.即AC=5,DC=1,BD=BA,则BC=()A.8 B.10 C.12 D.13【分析】设BC=x,则BD=BA=x+1,在Rt△ABC中,由勾股定理得出方程求解即可.【解答】解:设BC=x,则BD=BA=x+1,在Rt△ABC中,由勾股定理得,AB2=AC2+BC2,即(x+1)2=52+x2,解得x=12,即BC=12,故选:C.7.(3分)如图,三角形纸片ABC中,∠BAC=90°,AB=2,AC=3,沿AD和EF将纸片折叠,使点B和点C都落在边BC上的点P处,则AE的长是()A.136 B.56 C.76【分析】根据题意可得AP=AB=2,∠B=∠APB,CE=PE,∠C=∠CPE,可得∠APE=90°,继而设AE=x,则CE=PE=3﹣x,根据勾股定理即可求解.【解答】解:∵沿过点A的直线将纸片折叠,使点B落在边BC上的点D处,∴AP=AB=2,∠B=∠APB,∵折叠纸片,使点C与点D重合,∴CE=PE,∠C=∠CPE,∵∠BAC=90°,∴∠B+∠C=90°,∴∠APB+∠C=90°,∴∠APE=90°,∴AP2+PE2=AE2,设AE=x,则CE=PE=3﹣x,∴22+(3﹣x)2=x2,解得x=13即AE=13故选:A.8.(3分)已知a+b=﹣6,ab=7.则代数式aaA.−2277 B.2277 【分析】根据题意得a<0,b<0,a2+2×7+b2=36,再利用二次根式的性质进行化简即可求解.【解答】解:∵a+b=﹣6,ab=7,∴a<0,b<0,a2+2×7+b2=36,∴a2+b2=22,aa=aab=−aab=−a=−(a=−22故选:A.9.(3分)如图,在正方形方格中,每个小正方形的边长都是一个单位长度,点A,B,C,D,E均在小正方形方格的顶点上,线段AB,CD交于点F,若∠CFB=α,则∠ABE等于()A.180°﹣α B.180°﹣2α C.90°+α D.90°+2α【分析】过B点作BG∥CD,连接EG,根据平行线的性质得出∠ABG=∠CFB=α.根据勾股定理求出BG2=17,BE2=17,EG2=34,那么BG2+BE2=EG2,根据勾股定理的逆定理得出∠GBE=90°,进而求出∠ABE的度数.【解答】解:如图,过B点作BG∥CD,连接EG,∵BG∥CD,∴∠ABG=∠CFB=α.∵BG2=12+42=17,BE2=12+42=17,EG2=32+52=34,∴BG2+BE2=EG2,∴△BEG是直角三角形,∴∠GBE=90°,∴∠ABE=∠GBE+∠ABG=90°+α.故选:C.10.(3分)如图,四边形ABCD中,AB=AD,∠BAD=90°,∠BCD=30°,BC=2,AC=14,则CDA.4 B.27 C.5 D.10【分析】把△ABC绕点A逆时针旋转90°得到△ADE,连接CE,作EF⊥CD于F,则AC=AE=14,结合旋转的性质求得∠ADE+∠ADC=240°,在Rt△EDF中,∠DEF【解答】解:如图,把△ABC绕点A逆时针旋转90度,得到△ADE,连接CE,过点E作EF⊥CD延长线于点F,根据旋转可知:AE=AC=14,ED=BC=2,∠ABC=∠ADE根据四边形ABCD的内角和=360°,∴∠ABC+∠BCD+∠ADC+∠DAB=360°,∵∠BAD=90°,∠BCD=30°,∴∠ABC+∠ADC=240°,∴∠ADE+∠ADC=240°,∴∠CDE=120°,∴∠EDF=60°,在Rt△EDF中,DE=2,∴DF=1,EF=3在Rt△AEC中,CE=2AC=2∴CF=C∴CD=CF﹣DF=5﹣1=4.故选:A.二.填空题(共6小题,满分18分,每小题3分)11.(3分)比较下列两个数的大小:−313>【分析】先根据二次根式的性质将根号外的数字3和4,分别放入根号内,再比较大小即可求解.【解答】解:−3∵−2<−∴−31故答案为:>.12.(3分)读材料:我们规定,若a+b=﹣1,则称a与b是关于﹣1的平衡数,若4+23与m是关于﹣1的平衡数,则m=−5−23【分析】根据新定义列出算式计算即可.【解答】解:由题意,得:m=−1−4−23故答案为:−5−2313.(3分)如图,从一个大正方形中裁去面积为8cm2和18cm2的两个小正方形,则留下的阴影部分面积和为24cm2.【分析】直接利用正方形的性质得出两个小正方形的边长,进而得出大正方形的边长,即可得出答案.【解答】解:∵两个小正方形面积为8cm2和18cm2,∴大正方形边长为:8+18=22+32=∴大正方形面积为(52)2=50(cm2),∴留下的阴影部分面积和为:50﹣8﹣18=24(cm2).故答案为:24cm2.14.(3分)如图,庭院中有两棵树,小鸟要从一棵高10m的树顶飞到一棵高4m的树顶上,两棵树相距8m,则小鸟至少要飞10米.【分析】根据勾股定理求出AB的长即可.【解答】解:如图,由题意可知,AC=AD﹣CD=10﹣4=6(m),BC=8m,在Rt△ABC中,由勾股定理得,AB=AC2则小鸟至少要飞10m,故答案为:10.15.(3分)勾股数是指能成为直角三角形三条边长的三个正整数,世界上第一次给出勾股数公式的是中国古代数学著作《九章算术》.现有勾股数a,b,c,其中a,b均小于c,a=12m2−12,c=12m2+12【分析】根据勾股数的定义解答即可.【解答】解:∵a,b,c是勾股数,其中a,b均小于c,a=12m2−1∴b2=c2﹣a2=(12m2+12)2﹣(12m=14m4+14+12m2﹣(=14m4+14+12m=m2,∵m是大于1的奇数,∴b=m.故答案为:m.16.(3分)如图,在四边形ABCD中,AB=AD,∠BAD=90°,AC=74,BC=210,CD=6,则BD=【分析】作AE⊥AC,AE=AC,连接EC,延长EB交CD于点F,构造旋转全等,再结合勾股定理求解.【解答】解:作AE⊥AC,AE=AC,连接EC,延长EB交CD于点F,∵AE⊥AC,∠BAD=90°,∴∠BAE=∠DAC,∵AE=AC,AB=AD,∴△ABE≌△ADC(SAS),∴BE=CD=6,∠AEB=∠ACD,∵∠1=∠2,∴∠CFB=∠CAE=90°,在Rt△AEC中,EC=2在Rt△BCF中,Rt△ECF中,有(237解得:BF=6,∴CF=2,FD=4,∴在Rt△BDF中,BD=36+16故答案为:213三.解答题(共8小题,满分72分)17.(8分)计算:(1)(33(2)(212【分析】(1)利用平方差公式,完全平方公式计算即可;(2)先计算乘除,再计算加减.【解答】解:(1)原式=(33)2﹣1﹣(12﹣43+=27﹣1﹣12+43−=13+43;(2)原式=212=122−=112−18.(8分)先化简,再求值:25xy+xyx−4yxy【分析】先把各二次根式化为最简二次根式,再合并得到原式=xy,然后把x、y【解答】解:∵x=13>∴原式=5xy+xy=xy当x=13,y=4时,原式19.(8分)如图,在四边形ABCD中,∠B=90°,AB=3,BC=4,点D是Rt△ABC外一点,连接CD,AD,且CD=12,AD=13.求四边形ABCD的面积.【分析】根据勾股定理计算AC,根据勾股定理的逆定理判定△ADC是直角三角形,根据面积公式计算即可.【解答】解:∵∠B=90°,AB=3,BC=4,∴AC=A∵CD=12,AD=13,AC=5,且CD2+AC2=52+122=132=AD2,∴∠ACD=90°,∴四边形ABCD面积为:1=120.(8分)如图,在一条绷紧的绳索一端系着一艘小船.河岸上一男子拽着绳子另一端向右走,绳端从C移动到E,绳子始终绷紧且绳长保持不变.(1)若CF=7米,AF=24米,AB=18米,求男子需向右移动的距离;(结果保留根号)(2)此人以0.5米每秒的速度收绳,请通过计算回答,该男子能否在30秒内将船从A处移动到岸边点F的位置?【分析】(1)根据勾股定理求AC、BC的长,然后作差求解即可;(2)求出从A处移动到岸边点F的时间,再比较即可.【解答】解:(1)∵∠AFC=90°,AF=24米,CF=7米,∴AC=A∵AB=18米,∴BF=AF﹣AB=24﹣18=6(米),∴BC=B∴CE=AC﹣BC=(25−85答:男子需向右移动的距离为(25−85(2)由题意知,需收绳的绳长为:AC﹣CF=25﹣7=18(米),∴此人的收绳时间为180.5∵36>30,∴该男子不能在30秒内将船从A处移动到岸边点F的位置.21.(8分)如图是由小正方形组成的9×7网格,每个小正方形的顶点叫做格点,△ABC的三个顶点都是格点,仅用无刻度的直尺在给定网格中按下列要求完成画图,画图过程用虚线表示,画图结果用实线表示.(1)在图1中按下列步骤完成画图.①画出△ABC的高CD;②画△ACD的角平分线AE;③画点D关于AC的对称点D';(2)如图2,P是网格线上一点,过点P的线段MN分别交AB,BC于点M,N,且PM=PN,画出线段MN.【分析】(1)①取格点T,连接CT交AB于点D,线段CD即为所求;②取BC的中点E,连接AE即可;③作点B关于AC的对称点B′,T关于AC的对称点T′,连接CT′交AB′于点D′,点D′即为所求;(2)连接BP并延长交网格线于点Q,则BP=PQ,连接AP并延长交网格线于点L,则AP=PL,连接QL交BC于点N,延长NP交AB于点M,则线段MN即为所画的线段.【解答】解:(1)①如图1中,线段CD即为所求;②如图1中,线段AE即为所求;③如图1中,点D′即为所求.(2)如图2,线段MN即为所求.22.(10分)如图,在△ABC中,∠ABC=90°,AC=17,BC=15,点P从点A出发,以每秒3个单位长度的速度沿折线A﹣C﹣B﹣A运动.设点P的运动时间为t(t>0).(1)AB=8;(2)求斜边AC上的高线长;(3)①当P在BC上时,CP的长为3t﹣17,t的取值范围是173≤t≤323②若点P在∠BCA的平分线上,则t的值为14312【分析】(1)利用股定理即可求解;(2)过点B作BD⊥AC于点D,利用面积法求解即可;(3)①根据点P的运动路径及速度表示出CP即可解答;②过点P作PE⊥AC于E,利用角平分线的性质可知PB=PE,再证Rt△BCP≌Rt△ECP(HL),推出EC=BC,最后利用股定理解Rt△AEP即可.【解答】解:(1)在△ABC中,∠ABC=90°,AC=17,BC=15,∴AB=A故答案为:8.(2)如图所示,过点B作BD⊥AC于点D,∴S△ABC即BD=AB⋅BC∴斜边AC上的高线长为12017(3)①∵点P从点A出发,以每秒3个单位长度的速度沿折线A﹣C﹣B﹣A运动,AC=17,∴当P在BC上时,CP=3t﹣AC=3t﹣17.∵AC3≤t≤AC+BC∴.17故答案为:3t﹣17,173②当点P在∠BCA的角平分线上时,过点P作PE⊥AC于E,如图所示,∵CP平分∠BCA,∠B=90°,PE⊥AC,∴PB=PE.又∵PC=PC,∴Rt△BCP≌Rt△ECP(HL).∴EC=BC=15,则AE=AC﹣CE=17﹣15=2.由(2)易知AP=40﹣3t,BP=3t﹣32,∴PE=3t﹣32.在Rt△AEP中,AP2=AE2+EP2即(40﹣3t)2=22+(3t﹣32)2,解得t=143∴点P在∠BAC的平分线上时,t=143故答案为:1431223.(10分)(1)如图1,在Rt△ABC和Rt△ADE中,∠BAC=∠DAE=90°,AB=AC,AD=AE,且点D在BC边上滑动(点D不与点B,C重合),连接EC.求证:BD2+CD2=2AD2;[拓展延伸](2)如图2,在四边形ABCD中,∠ABC=∠ACB=∠ADC=45°.若BD=17cm,CD=8cm,求AD的长;(3)如图3,把斜边长都为18cm的一副三角板的斜边重叠摆放在一起,则两块三角板的直角顶点之间的距离AB长为9(6+2【分析】(1)证明△BAD≌△CAE(SAS),根据全等三角形的性质得到BD=CE,∠ACE=∠B,得到∠DCE=90°,根据勾股定理计算即可;(2)作AE⊥AD,使AE=AD,连接CE,DE,证明△BAD≌△CAE,得到BD=CE=17cm,根据勾股定理计算即可.(3)延长BN到点P,使NP=MB,先证△AMB≌△ANP得AB=AP,∠NAM=∠BAP,据此可得∠BAP=∠MAN=90°,由勾股定理知AB2+AP2=BP2,继而可得2AB2=(MB+BN)2;由直角三角形的性质知BN=9cm,MB=93【解答】(1)证明:∵∠BAC=∠DAE=90°,∴∠BAC﹣∠DAC=∠DAE﹣∠DAC,即∠BAD=∠CAE,在△BAD和△CAE中,AB=AC∠BAD=∠CAE∴△BAD≌△CAE(SAS),∴BD=CE,∠ACE=∠B,∴∠DCE=90°,∴CE2+CD2=ED2,在Rt△ADE中,AD2+AE2=ED2,又AD=AE,∴BD2+CD2=2AD2;(2)解:作AE⊥AD,使AE=AD,连接CE,DE,如图2,∵∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD,即∠BAD=∠CAE,在△BAD与△CAE中,AB=AC∠BAD=∠CAE∴△BAD≌△CAE(SAS),∴BD=CE=17cm,∵∠ADC=45°,∠EDA=45°,∴∠EDC=90°,∴DE=C∵∠DAE=90°,∴AD=AE=15(3)解:如图3,延长BN到点P,使NP=MB,∵∠MAB=90°,∠MBN=90°,∴∠AMB+∠ANB=180°,∵∠ANP+∠ANB=180°,∴∠AMB=∠ANP,∵AM=AN,NP=MB,∴△AMB≌△ANP(SAS),∴AB=AP,∠MAB=∠NAP,∴∠BAP=∠BAM=90°,∴BA2+AP2=BP2,∴2AB2=(MB+BN)2,即AB=2∵MN=18cm,∠BMN=30°,∴BN=1∴MB=∴AB=2故答案为:9(624.(12分)如图,在平面直角坐标系中,点A(0,a)在y轴上,点B(b,0)、C在x轴上,OB=OC,且a,b满足b=a(1)如图1,则点A坐标(0,1),点B坐标(﹣3,0),∠ABC=30°;(2)如图2,若点D在第一象限且满足AD=AC,∠DAC=90°,线段BD交y轴于点G,求线段BG的长;(3)如图3,在(2)的条件下,若在第四象限有一点E,满足∠BEC=∠BDC.请探究BE、CE、AE之间的数量关系,并证明.【分析】(1)先根据二次根式的性质求出a的值,然后再求出b的值,取AB的中点M,连接OM,证明△OAM为等边三角形,得出∠OAB=60°,求出∠ABC=90°﹣60°=30°,即可得出答案;(2)求出AC=AO2+OC2=2,即AB=AC,可得∠ABD=∠ADB,接着求出∠BAG=120°,证明△BAO≌△CAO,即有∠BAO=60°=∠CA
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