武汉市2024-2025学年下学期第一次月考八年级数学试题（一）（含答案）

第第页武汉市2024-2025学年八年级数学下学期第一次月考卷（考试时间：120分钟试卷满分：120分）考前须知：1．本卷试题共24题，单选10题，填空6题，解答8题。2．测试范围：二次根式~勾股定理（人教版）。第Ⅰ卷一、单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）1．（3分）若式子2m−3有意义，则m的取值范围是（）A．m≤23 B．m≥−32 C．m≥2．（3分）下列二次根式是最简二次根式的是（）A．32 B．15 C．23 3．（3分）下列运算正确的是（）A．2•3=5 B．9C．6×2=12 D．244．（3分）估算50−2A．在0与1之间 B．在0与2之间 C．在2与3之间 D．在3与4之间5．（3分）已知a、b、c是△ABC的三边，下列条件：①a＝6，b＝10，c＝8；②∠C＝23°，∠B＝57°；③∠B﹣∠C＝∠A；④a2﹣c2＝b2，能够判断△ABC为直角三角形的有（）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个6．（3分）“今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问：水深几何？”这是我国数学史上的“葭生池中”问题．即AC＝5，DC＝1，BD＝BA，则BC＝（）A．8 B．10 C．12 D．137．（3分）如图，三角形纸片ABC中，∠BAC＝90°，AB＝2，AC＝3，沿AD和EF将纸片折叠，使点B和点C都落在边BC上的点P处，则AE的长是（）A．136 B．56 C．768．（3分）已知a+b＝﹣6，ab＝7．则代数式aaA．−2277 B．2277 9．（3分）如图，在正方形方格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，点A，B，C，D，E均在小正方形方格的顶点上，线段AB，CD交于点F，若∠CFB＝α，则∠ABE等于（）A．180°﹣α B．180°﹣2α C．90°+α D．90°+2α10．（3分）如图，四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝90°，∠BCD＝30°，BC＝2，AC=14，则CDA．4 B．27 C．5 D．10二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）11．（3分）比较下列两个数的大小：−31312．（3分）读材料：我们规定，若a+b＝﹣1，则称a与b是关于﹣1的平衡数，若4+23与m是关于﹣1的平衡数，则m＝13．（3分）如图，从一个大正方形中裁去面积为8cm2和18cm2的两个小正方形，则留下的阴影部分面积和为．14．（3分）如图，庭院中有两棵树，小鸟要从一棵高10m的树顶飞到一棵高4m的树顶上，两棵树相距8m，则小鸟至少要飞米．15．（3分）勾股数是指能成为直角三角形三条边长的三个正整数，世界上第一次给出勾股数公式的是中国古代数学著作《九章算术》．现有勾股数a，b，c，其中a，b均小于c，a=12m2−12，c=12m2+16．（3分）如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝90°，AC=74，BC=210，CD＝6，则BD三．解答题（共8小题，满分72分）17．（8分）计算：（1）(33−1)(3318．（8分）先化简，再求值：25xy+xyx−4yxy19．（8分）如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，点D是Rt△ABC外一点，连接CD，AD，且CD＝12，AD＝13．求四边形ABCD的面积．20．（8分）如图，在一条绷紧的绳索一端系着一艘小船．河岸上一男子拽着绳子另一端向右走，绳端从C移动到E，绳子始终绷紧且绳长保持不变．（1）若CF＝7米，AF＝24米，AB＝18米，求男子需向右移动的距离；（结果保留根号）（2）此人以0.5米每秒的速度收绳，请通过计算回答，该男子能否在30秒内将船从A处移动到岸边点F的位置？21．（8分）如图是由小正方形组成的9×7网格，每个小正方形的顶点叫做格点，△ABC的三个顶点都是格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中按下列要求完成画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示．（1）在图1中按下列步骤完成画图．①画出△ABC的高CD；②画△ACD的角平分线AE；③画点D关于AC的对称点D'；（2）如图2，P是网格线上一点，过点P的线段MN分别交AB，BC于点M，N，且PM＝PN，画出线段MN．22．（10分）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝17，BC＝15，点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿折线A﹣C﹣B﹣A运动．设点P的运动时间为t（t＞0）．（1）AB＝；（2）求斜边AC上的高线长；（3）①当P在BC上时，CP的长为，t的取值范围是；（用含t的代数式表示）②若点P在∠BCA的平分线上，则t的值为．23．（10分）（1）如图1，在Rt△ABC和Rt△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，且点D在BC边上滑动（点D不与点B，C重合），连接EC．求证：BD2+CD2＝2AD2；[拓展延伸]（2）如图2，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ACB＝∠ADC＝45°．若BD＝17cm，CD＝8cm，求AD的长；（3）如图3，把斜边长都为18cm的一副三角板的斜边重叠摆放在一起，则两块三角板的直角顶点之间的距离AB长为cm．24．（12分）如图，在平面直角坐标系中，点A（0，a）在y轴上，点B（b，0）、C在x轴上，OB＝OC，且a，b满足b=a（1）如图1，则点A坐标，点B坐标，∠ABC＝；（2）如图2，若点D在第一象限且满足AD＝AC，∠DAC＝90°，线段BD交y轴于点G，求线段BG的长；（3）如图3，在（2）的条件下，若在第四象限有一点E，满足∠BEC＝∠BDC．请探究BE、CE、AE之间的数量关系，并证明．参考答案一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．（3分）若式子2m−3有意义，则m的取值范围是（）A．m≤23 B．m≥−32 C．m≥【分析】根据二次根式的被开方数是非负数列出不等式，解不等式得到答案．【解答】解：由题意得：2m﹣3≥0，解得：m≥3故选：C．2．（3分）下列二次根式是最简二次根式的是（）A．32 B．15 C．23 【分析】对于一个二次根式，被开方数中不含分母或不含开得尽方的因数或因式，这种二次根式即为最简二次根式，据此进行判断即可．【解答】解：32不是二次根式，则A15是最简二次根式，则B符合题意；23中含有分母，则C0.7=710故选：B．3．（3分）下列运算正确的是（）A．2•3=5 B．9C．6×2=12 D．24【分析】直接利用二次根式的乘除运算法则分别化简得出答案．【解答】解：A、2•3=B、93×127=9C、6×2=D、24•32故选：D．4．（3分）估算50−2A．在0与1之间 B．在0与2之间 C．在2与3之间 D．在3与4之间【分析】求出原式＝5−6，先确定6的范围，再确定5−【解答】解：50−23＝5−6∵2＜6∴﹣2＞−6∴5﹣2＞5−6即2＜5−6∴2＜50故选：C．5．（3分）已知a、b、c是△ABC的三边，下列条件：①a＝6，b＝10，c＝8；②∠C＝23°，∠B＝57°；③∠B﹣∠C＝∠A；④a2﹣c2＝b2，能够判断△ABC为直角三角形的有（）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【分析】根据三角形的内角和定理和勾股定理的逆定理求解即可．【解答】解：①∵62+82＝102，∴a2+c2＝b2，∴△ABC是直角三角形，故本选项符合题意；②∵∠C＝23°，∠B＝57°，∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠A＝100°，∴△ABC是钝角三角形，故本选项不符合题意；③∵∠B﹣∠C＝∠A，∴∠A+∠C＝∠B，∵∠A+∠B+∠C＝180°，∴2∠B＝180°，∴∠B＝90°，∴△ABC是直角三角形，故本选项符合题意；④∵a2﹣c2＝b2，∴a2＝b2+c2，∴△ABC是直角三角形，故本选项符合题意；综上，能够判断△ABC为直角三角形的有3个，故选：D．6．（3分）“今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问：水深几何？”这是我国数学史上的“葭生池中”问题．即AC＝5，DC＝1，BD＝BA，则BC＝（）A．8 B．10 C．12 D．13【分析】设BC＝x，则BD＝BA＝x+1，在Rt△ABC中，由勾股定理得出方程求解即可．【解答】解：设BC＝x，则BD＝BA＝x+1，在Rt△ABC中，由勾股定理得，AB2＝AC2+BC2，即（x+1）2＝52+x2，解得x＝12，即BC＝12，故选：C．7．（3分）如图，三角形纸片ABC中，∠BAC＝90°，AB＝2，AC＝3，沿AD和EF将纸片折叠，使点B和点C都落在边BC上的点P处，则AE的长是（）A．136 B．56 C．76【分析】根据题意可得AP＝AB＝2，∠B＝∠APB，CE＝PE，∠C＝∠CPE，可得∠APE＝90°，继而设AE＝x，则CE＝PE＝3﹣x，根据勾股定理即可求解．【解答】解：∵沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在边BC上的点D处，∴AP＝AB＝2，∠B＝∠APB，∵折叠纸片，使点C与点D重合，∴CE＝PE，∠C＝∠CPE，∵∠BAC＝90°，∴∠B+∠C＝90°，∴∠APB+∠C＝90°，∴∠APE＝90°，∴AP2+PE2＝AE2，设AE＝x，则CE＝PE＝3﹣x，∴22+（3﹣x）2＝x2，解得x=13即AE=13故选：A．8．（3分）已知a+b＝﹣6，ab＝7．则代数式aaA．−2277 B．2277 【分析】根据题意得a＜0，b＜0，a2+2×7+b2＝36，再利用二次根式的性质进行化简即可求解．【解答】解：∵a+b＝﹣6，ab＝7，∴a＜0，b＜0，a2+2×7+b2＝36，∴a2+b2＝22，aa=aab=−aab=−a=−(a=−22故选：A．9．（3分）如图，在正方形方格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，点A，B，C，D，E均在小正方形方格的顶点上，线段AB，CD交于点F，若∠CFB＝α，则∠ABE等于（）A．180°﹣α B．180°﹣2α C．90°+α D．90°+2α【分析】过B点作BG∥CD，连接EG，根据平行线的性质得出∠ABG＝∠CFB＝α．根据勾股定理求出BG2＝17，BE2＝17，EG2＝34，那么BG2+BE2＝EG2，根据勾股定理的逆定理得出∠GBE＝90°，进而求出∠ABE的度数．【解答】解：如图，过B点作BG∥CD，连接EG，∵BG∥CD，∴∠ABG＝∠CFB＝α．∵BG2＝12+42＝17，BE2＝12+42＝17，EG2＝32+52＝34，∴BG2+BE2＝EG2，∴△BEG是直角三角形，∴∠GBE＝90°，∴∠ABE＝∠GBE+∠ABG＝90°+α．故选：C．10．（3分）如图，四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝90°，∠BCD＝30°，BC＝2，AC=14，则CDA．4 B．27 C．5 D．10【分析】把△ABC绕点A逆时针旋转90°得到△ADE，连接CE，作EF⊥CD于F，则AC＝AE=14，结合旋转的性质求得∠ADE+∠ADC＝240°，在Rt△EDF中，∠DEF【解答】解：如图，把△ABC绕点A逆时针旋转90度，得到△ADE，连接CE，过点E作EF⊥CD延长线于点F，根据旋转可知：AE＝AC=14，ED＝BC＝2，∠ABC＝∠ADE根据四边形ABCD的内角和＝360°，∴∠ABC+∠BCD+∠ADC+∠DAB＝360°，∵∠BAD＝90°，∠BCD＝30°，∴∠ABC+∠ADC＝240°，∴∠ADE+∠ADC＝240°，∴∠CDE＝120°，∴∠EDF＝60°，在Rt△EDF中，DE＝2，∴DF＝1，EF=3在Rt△AEC中，CE=2AC＝2∴CF=C∴CD＝CF﹣DF＝5﹣1＝4．故选：A．二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）11．（3分）比较下列两个数的大小：−313＞【分析】先根据二次根式的性质将根号外的数字3和4，分别放入根号内，再比较大小即可求解．【解答】解：−3∵−2＜−∴−31故答案为：＞．12．（3分）读材料：我们规定，若a+b＝﹣1，则称a与b是关于﹣1的平衡数，若4+23与m是关于﹣1的平衡数，则m＝−5−23【分析】根据新定义列出算式计算即可．【解答】解：由题意，得：m=−1−4−23故答案为：−5−2313．（3分）如图，从一个大正方形中裁去面积为8cm2和18cm2的两个小正方形，则留下的阴影部分面积和为24cm2．【分析】直接利用正方形的性质得出两个小正方形的边长，进而得出大正方形的边长，即可得出答案．【解答】解：∵两个小正方形面积为8cm2和18cm2，∴大正方形边长为：8+18=22+32=∴大正方形面积为（52）2＝50（cm2），∴留下的阴影部分面积和为：50﹣8﹣18＝24（cm2）．故答案为：24cm2．14．（3分）如图，庭院中有两棵树，小鸟要从一棵高10m的树顶飞到一棵高4m的树顶上，两棵树相距8m，则小鸟至少要飞10米．【分析】根据勾股定理求出AB的长即可．【解答】解：如图，由题意可知，AC＝AD﹣CD＝10﹣4＝6（m），BC＝8m，在Rt△ABC中，由勾股定理得，AB=AC2则小鸟至少要飞10m，故答案为：10．15．（3分）勾股数是指能成为直角三角形三条边长的三个正整数，世界上第一次给出勾股数公式的是中国古代数学著作《九章算术》．现有勾股数a，b，c，其中a，b均小于c，a=12m2−12，c=12m2+12【分析】根据勾股数的定义解答即可．【解答】解：∵a，b，c是勾股数，其中a，b均小于c，a=12m2−1∴b2＝c2﹣a2＝（12m2+12）2﹣（12m=14m4+14+12m2﹣（=14m4+14+12m＝m2，∵m是大于1的奇数，∴b＝m．故答案为：m．16．（3分）如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝90°，AC=74，BC=210，CD＝6，则BD＝【分析】作AE⊥AC，AE＝AC，连接EC，延长EB交CD于点F，构造旋转全等，再结合勾股定理求解．【解答】解：作AE⊥AC，AE＝AC，连接EC，延长EB交CD于点F，∵AE⊥AC，∠BAD＝90°，∴∠BAE＝∠DAC，∵AE＝AC，AB＝AD，∴△ABE≌△ADC（SAS），∴BE＝CD＝6，∠AEB＝∠ACD，∵∠1＝∠2，∴∠CFB＝∠CAE＝90°，在Rt△AEC中，EC=2在Rt△BCF中，Rt△ECF中，有(237解得：BF＝6，∴CF＝2，FD＝4，∴在Rt△BDF中，BD=36+16故答案为：213三．解答题（共8小题，满分72分）17．（8分）计算：（1）(33（2）(212【分析】（1）利用平方差公式，完全平方公式计算即可；（2）先计算乘除，再计算加减．【解答】解：（1）原式＝（33）2﹣1﹣（12﹣43+＝27﹣1﹣12+43−＝13+43；（2）原式＝212＝122−＝112−18．（8分）先化简，再求值：25xy+xyx−4yxy【分析】先把各二次根式化为最简二次根式，再合并得到原式=xy，然后把x、y【解答】解：∵x=13＞∴原式＝5xy+xy=xy当x=13，y＝4时，原式19．（8分）如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，点D是Rt△ABC外一点，连接CD，AD，且CD＝12，AD＝13．求四边形ABCD的面积．【分析】根据勾股定理计算AC，根据勾股定理的逆定理判定△ADC是直角三角形，根据面积公式计算即可．【解答】解：∵∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，∴AC=A∵CD＝12，AD＝13，AC＝5，且CD2+AC2＝52+122＝132＝AD2，∴∠ACD＝90°，∴四边形ABCD面积为：1=120．（8分）如图，在一条绷紧的绳索一端系着一艘小船．河岸上一男子拽着绳子另一端向右走，绳端从C移动到E，绳子始终绷紧且绳长保持不变．（1）若CF＝7米，AF＝24米，AB＝18米，求男子需向右移动的距离；（结果保留根号）（2）此人以0.5米每秒的速度收绳，请通过计算回答，该男子能否在30秒内将船从A处移动到岸边点F的位置？【分析】（1）根据勾股定理求AC、BC的长，然后作差求解即可；（2）求出从A处移动到岸边点F的时间，再比较即可．【解答】解：（1）∵∠AFC＝90°，AF＝24米，CF＝7米，∴AC=A∵AB＝18米，∴BF＝AF﹣AB＝24﹣18＝6（米），∴BC=B∴CE＝AC﹣BC＝（25−85答：男子需向右移动的距离为(25−85（2）由题意知，需收绳的绳长为：AC﹣CF＝25﹣7＝18（米），∴此人的收绳时间为180.5∵36＞30，∴该男子不能在30秒内将船从A处移动到岸边点F的位置．21．（8分）如图是由小正方形组成的9×7网格，每个小正方形的顶点叫做格点，△ABC的三个顶点都是格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中按下列要求完成画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示．（1）在图1中按下列步骤完成画图．①画出△ABC的高CD；②画△ACD的角平分线AE；③画点D关于AC的对称点D'；（2）如图2，P是网格线上一点，过点P的线段MN分别交AB，BC于点M，N，且PM＝PN，画出线段MN．【分析】（1）①取格点T，连接CT交AB于点D，线段CD即为所求；②取BC的中点E，连接AE即可；③作点B关于AC的对称点B′，T关于AC的对称点T′，连接CT′交AB′于点D′，点D′即为所求；（2）连接BP并延长交网格线于点Q，则BP＝PQ，连接AP并延长交网格线于点L，则AP＝PL，连接QL交BC于点N，延长NP交AB于点M，则线段MN即为所画的线段．【解答】解：（1）①如图1中，线段CD即为所求；②如图1中，线段AE即为所求；③如图1中，点D′即为所求．（2）如图2，线段MN即为所求．22．（10分）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝17，BC＝15，点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿折线A﹣C﹣B﹣A运动．设点P的运动时间为t（t＞0）．（1）AB＝8；（2）求斜边AC上的高线长；（3）①当P在BC上时，CP的长为3t﹣17，t的取值范围是173≤t≤323②若点P在∠BCA的平分线上，则t的值为14312【分析】（1）利用股定理即可求解；（2）过点B作BD⊥AC于点D，利用面积法求解即可；（3）①根据点P的运动路径及速度表示出CP即可解答；②过点P作PE⊥AC于E，利用角平分线的性质可知PB＝PE，再证Rt△BCP≌Rt△ECP（HL），推出EC＝BC，最后利用股定理解Rt△AEP即可．【解答】解：（1）在△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝17，BC＝15，∴AB=A故答案为：8．（2）如图所示，过点B作BD⊥AC于点D，∴S△ABC即BD=AB⋅BC∴斜边AC上的高线长为12017（3）①∵点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿折线A﹣C﹣B﹣A运动，AC＝17，∴当P在BC上时，CP＝3t﹣AC＝3t﹣17．∵AC3≤t≤AC+BC∴.17故答案为：3t﹣17，173②当点P在∠BCA的角平分线上时，过点P作PE⊥AC于E，如图所示，∵CP平分∠BCA，∠B＝90°，PE⊥AC，∴PB＝PE．又∵PC＝PC，∴Rt△BCP≌Rt△ECP（HL）．∴EC＝BC＝15，则AE＝AC﹣CE＝17﹣15＝2．由（2）易知AP＝40﹣3t，BP＝3t﹣32，∴PE＝3t﹣32．在Rt△AEP中，AP2＝AE2+EP2即（40﹣3t）2＝22+（3t﹣32）2，解得t=143∴点P在∠BAC的平分线上时，t=143故答案为：1431223．（10分）（1）如图1，在Rt△ABC和Rt△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，且点D在BC边上滑动（点D不与点B，C重合），连接EC．求证：BD2+CD2＝2AD2；[拓展延伸]（2）如图2，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ACB＝∠ADC＝45°．若BD＝17cm，CD＝8cm，求AD的长；（3）如图3，把斜边长都为18cm的一副三角板的斜边重叠摆放在一起，则两块三角板的直角顶点之间的距离AB长为9(6+2【分析】（1）证明△BAD≌△CAE（SAS），根据全等三角形的性质得到BD＝CE，∠ACE＝∠B，得到∠DCE＝90°，根据勾股定理计算即可；（2）作AE⊥AD，使AE＝AD，连接CE，DE，证明△BAD≌△CAE，得到BD＝CE＝17cm，根据勾股定理计算即可．（3）延长BN到点P，使NP＝MB，先证△AMB≌△ANP得AB＝AP，∠NAM＝∠BAP，据此可得∠BAP＝∠MAN＝90°，由勾股定理知AB2+AP2＝BP2，继而可得2AB2＝（MB+BN）2；由直角三角形的性质知BN=9cm，MB=93【解答】（1）证明：∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD＝∠CAE，在△BAD和△CAE中，AB=AC∠BAD=∠CAE∴△BAD≌△CAE（SAS），∴BD＝CE，∠ACE＝∠B，∴∠DCE＝90°，∴CE2+CD2＝ED2，在Rt△ADE中，AD2+AE2＝ED2，又AD＝AE，∴BD2+CD2＝2AD2；（2）解：作AE⊥AD，使AE＝AD，连接CE，DE，如图2，∵∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD，即∠BAD＝∠CAE，在△BAD与△CAE中，AB=AC∠BAD=∠CAE∴△BAD≌△CAE（SAS），∴BD＝CE＝17cm，∵∠ADC＝45°，∠EDA＝45°，∴∠EDC＝90°，∴DE=C∵∠DAE＝90°，∴AD=AE=15（3）解：如图3，延长BN到点P，使NP＝MB，∵∠MAB＝90°，∠MBN＝90°，∴∠AMB+∠ANB＝180°，∵∠ANP+∠ANB＝180°，∴∠AMB＝∠ANP，∵AM＝AN，NP＝MB，∴△AMB≌△ANP（SAS），∴AB＝AP，∠MAB＝∠NAP，∴∠BAP＝∠BAM＝90°，∴BA2+AP2＝BP2，∴2AB2＝（MB+BN）2，即AB=2∵MN＝18cm，∠BMN＝30°，∴BN=1∴MB=∴AB=2故答案为：9(624．（12分）如图，在平面直角坐标系中，点A（0，a）在y轴上，点B（b，0）、C在x轴上，OB＝OC，且a，b满足b=a（1）如图1，则点A坐标（0，1），点B坐标（﹣3，0），∠ABC＝30°；（2）如图2，若点D在第一象限且满足AD＝AC，∠DAC＝90°，线段BD交y轴于点G，求线段BG的长；（3）如图3，在（2）的条件下，若在第四象限有一点E，满足∠BEC＝∠BDC．请探究BE、CE、AE之间的数量关系，并证明．【分析】（1）先根据二次根式的性质求出a的值，然后再求出b的值，取AB的中点M，连接OM，证明△OAM为等边三角形，得出∠OAB＝60°，求出∠ABC＝90°﹣60°＝30°，即可得出答案；（2）求出AC=AO2+OC2=2，即AB＝AC，可得∠ABD＝∠ADB，接着求出∠BAG＝120°，证明△BAO≌△CAO，即有∠BAO＝60°＝∠CA