江苏省2019届高三数学《解三角形》题型归纳

1、15.3cos A sin C江苏省2019届高三数学解三角形题型归纳(含解析)题型一：求某边的值2(1) ABC的内角A, B, C的对边分别为a,b,c .已知a = J5, c = 2,cos A = 则b =3(2)如图，在四边形 ABCD 中，已知 AD_LCD, AD=10, AB=14,NBDA=60 口， ZBCD= 135 ° ,则 BC=.(3)在 ABC 中，内角 A, B, C 的对边依次为 a, b, c,若 a2 c2=3b,且 sinB= 8cosAsinC, 则边b=.1 一.(4)钝角 ABC 的面积是 AB=1, BC =，2 ,则 AC=.(5)

2、在祥BC中，内角A, B, C所对的边分别为 a, b, c,已知AABC的面积为3巾5, b一1 .c=2, cos A=-则 a 的值为.(6)在ABC中，已知AB=3,A = 120'，且ABC的面积为 二一，则BC边长为(7)在 ABC中，已知AB =5,BC =3,B = 2A,则边AC的长为.答案：(1) 3 (2) 8/(3) 4(4)m (5) 8 (6) 7(7) 2品题型二：三角形的角(1)在4ABC中，B = ： BC边上的高等于1BC,则cos A =.43(2)在AABC中，内角A, B, C的对边依次为a, b, c,已知8b = 5c,C = 2B,则co

3、sC =(3)在ABC4角A, B, C所对边分别为a, b, c,且1+生nA=2c.则A=.tanB b a c(4)设AABC的二个内角 A,B, C所对的边依次为 a,b,c,且=一，则A=.(5)在 AABC 中，若 tan A: tan B: tan C =1: 2:3，则 A =.(6)设AABC的三个内角A, B, C所对边分别为a, b, c,若三边的长为连续的三个正整数，且 A > B >C , 3b = 20a cos A ,则 sin A: sin B : sin C =.答案：(1)噌-725 sinAcosB 2sinC +-sinBcosA sin B

4、一 一TT.- 0 <A<tz, . . A =-.3(3)A =解析：1 +3tanA 2ctanB bsinBcosA sinAcosB 2sinC即二,sinBcosAsin B.sin(A B) 2sinCsinBcosA sin B，cosA = 1 2(5)(6)66:5:4题型三：三角形面积的最值问题(1)在 MBC 中，角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c, a =2且(2+b)(sinAsinB) = (cb)sinC,则MBC面积的最大值为.(2)已知 MBC的三个内角 A, B, C的对边依次为a, b, c,外接圆半径为 1,且满足处A=2c二b,则M

5、BC面积的最大值为 .tan B b(3)在AABC中，若AB =2,AC2 +BC2 =8,则MBC面积的最大值为 .(4)若AB=2,AC=J2BC,则AABC面积的最大值为 .22_ _ _ _(5)已知AABC面积S和二边a,b,c满足：S=a (bc ) ,b+c = 8则AABC面积的最 大值为.答案：(1) J3解析 由 a = 2, (2+b)(sin A sinB) = (c b)sin C得.222(a+b)(sin AsinB) =(cb)sin C .由正弦定理得(a+b)(ab) =(cb)Gb +c -a =bc一 1- -2 22.2 2 . 2 2 . 一 一

6、一,cosA =，A=.因为 b +c -a =bc,所以 b +c 4=bcb +c =bc+4至2bc;bc4,当 23且仅当b =c时取等号.所以 Sabc = 1bcsin A ' 3 .2tan A 2c -b解析：由=tan B bsin AcosB 2sin C -sin Bsin B cos Asin Bsin AcosB 2sinC -sin Bcos A, 也 即 sin AcosB =2sinCcosA sin BcosA ,sin(A+B) =2sinCcosA ,也 即 2cosA=1 ,则 A = 600,由正弦定理可a = 2sin A = 3,再由余弦定

7、理可得2-2. 一3 = (c + b) - 3cb，即 3 + 3cb = (c + b) > 4cb ,所1 一 一一以 cbw3,故SaBC =bcsin A =3 ,3 3 rbc wj,应填44(3).32.2(5)6417题型四：求三角形边的最值或范围(1)已知 AABC是锐角三角形，若的取值范围是(2)在锐角MBC,若C =2B ,c则的取值范围是 ba -1(3)设A是AABC的最小角，它所对的边为 a,若，cosA=，则a的取值范围是 a 1BE(4)在ABC中，若3sinC =2sin B ,点E , F分别是AC , AB的中点，则 的取CF值范围为(5)在钝角AA

8、BC中，已知a=1,b = 2,则最大边的取值范围是(6)已知顶点在单位圆上的 ABC ,角A, B, C所对的边分别是a,b,c ,且a =ccosB +bcosC ,若b至a ,则2b c的取值范围是(7)在平面四边形 ABCD中，ZA=ZB=ZC=75° , BC=2,贝U AB的取值范围是答案：(1)解析：由题意得，在 抵中,由正弦定理可得a sin Ab sin B为4 = 2B ,所以2二网/二世丝=,又因为锐角三角形，所以4=28（0.巳）b sin U sin B27T且的取开一（/1+24） =加一38（0,王），所以田所以2gs"w 264值范围是也扬（

9、石，行）(3) 13,y )解析：A + B+C =兀，所以 AEB,AEC ,所以 3A En,0 < AM土，所以31 一.一 McosA<1 ,所以答案为13,收2,八 1 7（4）（一，一）4 8（5） （，5,3）解析：因为是钝角三角形的最大边，所以C是最大角.C2A22+12即c由-b= - = 2,得 b=2sin B , c = 2sinC , sin B sin C I 二2b c =4sin B - 2sinC = 4sinB - 2si - B =) 3sEn-3 cos： 12三 二 二 二）因为b之a ,所以一W B < ,即一WB-<一, 3

10、662所以 2bc = 2<3sin（B四）正百,2石）.6（7）（ <6-, J6+J2）解析：如图所示，延长重合与E点时，AB最长，在4BCE中，/ B=/C=75°, / E=30° , BC=2 ,由正弦定理可得BC BERn 2 BE= , 即 o=o , 解 得 BE = v6+v2sin -E sin/Csin 30 sin 75 >5, ，c>而或 c<石（舍），又21<c<2+1,，、后 <c<3,故应填 0/5,3）.所 以=2 3sin(B -6BA, CD交于E,平移AD ,当A与D(6)石,2峋

11、 解析：由已知可得：cosA = L 得A=, 23平移心，当。与C重合时，3 最题,此时与 ”交于在AS4中, 4=/5"乃% N尸3=30%由正弦定理知,&F _ BCXFCB ia2BFC,即一二二-7解得-应，所以四的取值范围 幻口30 yn75£-为-叵.).题型五：求三角形中角的最值或取值范围b c(1) AABC各角的对应边分别为 a,b,c,满足一b-+之1,则角A的范围是. a c a b(2)在锐角三角形 ABC中，若sinA = 2sin BsinC，则tan AtanBtanC的最小值是 -(3)已知&ABC中，角A, B, C的对边

12、依次为a, b, c ,若cos2 A七os2 B 2cos2 C :贝U cosC的最小值是.(4)在AABC中，角A, B, C的对边依次为a, b, c,若a2,(2成等差数列，则cosB的最小值是-a b(5)在4ABC中，角A, B, C的对边分别为 a, b, c,已知 c = a-，则cosC的最小值 2是-答案：(1) (0,解析:3试题分析：由十之1,可得Na+毋+W白+。）之g+oKo +与，整理得配1+/白工之忘J将不口十匚 口十白等式两边同除以2姐可得也妒之一，即8，x之一且0<<可, 相、0<4M一.(2) 8 解析【舞折】siii4 = sin(B

13、+C) = 2sii>3sinC=t3n + lanC = 2tan_BLinC,因此田最小值为8,、12(4)解析：2b 222=a +c , cosB =2ac2acb21，一,当且仅当a = c2时等号成立.1 .（5）一斛析：因为2，所以22a bcosC =2ab2ab3 fb a、 11 1= 3lb+a |_1>1,当且仅当a=b时，等号成立.故cosC的最小值为-8 1ab J 4 2题型六：判断三角形的形状（1）在三角形ABC中，三边a、b、c满足a: b:c =2:而:（J3+1）,则三角形的形状为（2）在aabc中，设屋式amca,则三角形的形状为（3）在AABC中，若tanA:tanB = a2:b2,则三角形的形状为 答案：（1）锐角三角行解析：'；a<b<c则c边最大，且c2 = 4 + 2a/3, a2+b2 =8,22. 2 ，c <a +b ,则最大角C为锐角，所以三角形为锐角三角形(2)等边三角形 解析：'a+b+c2坊+-Ta/V-4b+Ta七&2 42 4 d 42=c ,a +b +2a b = c* *4 2 W同理b +c +2b c = a ,两式相减，得2222T T T T -|2 22a -c +2(a bb c)=c -a ,2; a b = b c,，a