【解析】北京四中2020届高三下学期开学考试数学试题

1、北京四中2019-2020学年度第二学期开学考试高三数学测试2.13试题一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1 .已知集合 A x|x2 2x 0 , B0,1,2，则 A B （）A. 0B. 0,1C. 0,2D. 0,1,2【答案】C试题分析：集合 >! = x|-2x = 0 = 0:2,所以,故选 C.考点：交集的运算，容易题.2 .在复平面内，复数 z对应的点白坐标为（2, 1）,则（1 i）z等于（）A. 3 iB. 2 iC. 1 iD. 1 i【答案】A【分析】由已知可得z,代入（1+i） z,利用复数代数形式的乘除运算化简得答案.【详解】解：由已知得，

2、z=2- i ,1' （1+i） z= （1+i） （2-i） = 3+i .故选A.【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题.3 .已知数列 an ,a2 1,3n an 1 2n,n N，则 a1+a3 的值为（）A. 4B. 5C. 6D. 8【答案】A【分析】将n=1和n=2代入递推关系式，求解即可. - _ *【详解】数列an, a2=l, an an 1 2n,n N ,可得 a+a2=2, a2+a3=4,解得 ai = 1, a3= 3,ai+a3 = 4.故选A.【点睛】本题考查数列递推关系式的应用，考查转化思想以及计算能力.

3、4 .已知 a,b R,则 “a b” 是 “ log2a logzb” 的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【分析】根据不等式的关系，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可.【详解】若log2a log 2b ,则0<a<b,则a b是0<a<b成立 必要不充分条件，故选B.【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合不等式的关系进行转化是解决本 题的关键.如图所示5 .“结绳计数”是远古时期人类智慧的结晶，即灿通过在绳子上打空出己录数量, 的是一位猎人记录自己采摘果实的个数，在从右向次排列的不同绳子

4、吉，满四进一,- 31 -根据图示可知，猎人采摘的果实的个数（B. 382由题意满四进一，可得该图示是四进位制进嘛示）123185化为十进位制为：143 3 422 413 40123.故选D6.设f X是定义在R上的奇函数，且 flog3 6x3 .则f 2020的值为（A. -1B. -2C. 1根据f3一x为奇函数与f X f X可求得2f X的周期为 3,再利用D. 2f X的性质将f 2020中自变量转换到1,0上再计算即可.，函数f X的一f 2020 f故选：B.【点睛】本题主要x关于0,X关于X303,4ff 13 x f222log392.与对称性周期性等求解函数值的问题7.

5、已知椭圆C ： 2- y-2r 1（a b 0）的左右焦点为F1F2离心率为 a b与A,B两点，若AF1B的周长为473 ,则C的方程为（）2B. ty212C.12丫28，属于中档题.F2的直线l交CD.22上上112 4【详解】若AFiB的周长为4 J3,由椭圆的定义可知4a 4/3, a .3Qe2,2所以方程为y- 1 ,故选A.2考点：椭圆方程及性质8 .某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积为（A.一3俅左K区4 B.38C. 3D. .3然后求解几何体的体积即由已知中的三视图，可知该几何体是一个底面为正方形的四棱锥, 可.A BCDE为三视图还原后的几【详解】该三视图还原成

6、直观图后的几何体是如图的四棱锥 何体,CBA和ACD是两个全等的直角三角形；A C=C D=B C=2 ,几何体的体积为:【点睛】本题考查由三视图求体积，解决本题的关键是还原该几何体的形状.2个，现在有D. 9秒钟9 .有一种细菌和一种病毒， 每个细菌在每秒钟杀死一个病毒的同时将自身分裂为1个这种细菌和200个这种病毒，问细菌将病毒全部杀死至少需要（）A. 6秒钟B. 7秒钟C. 8秒钟分析：由题意可得1 2 2223 . 2n 1 200，解不等式可得结果详解：根据题意，每秒细菌杀死的病毒数成等比数列设需要n秒可将细菌将病毒全部杀死 ，则 1 2 22 23 . 2n 1200，200 ，2

7、n 201，结合n N解得n 8 ,即至少需8秒细菌将病毒全部杀死，故选 C.点睛：本题主要考查等比数列在生产生活中的实际应用，是基础题，解题时要认真审题，注意等比数列的求和的项数一定要准确.3 2. 、, uuv uuv 心10.已知点A 1, 2 , B 2,0 , P为曲线y J3 -x2上任意一点，则 AP AB的取值范围为（）A. 1,7B. 1,7C. 1,3 2 3D.1,3 2 3【答案】A【分析】结合已知曲线方程，引入参数方程，然后结合和角正弦公式及正弦函数的性质即可求解.【详解】解：设P x,y则由y k 3x2可彳# 土 L 1 y 0 ,443令 x 2cos , y

8、173sin , （0,uuvuuvAP x 1,y 2 , AB 1,2 ,uuvuuvAPAB2yx 2y3 2cos2、. 3sin3 4sin3,Q06661 .dsin1 ,2 61 4sin-37,6【点睛】本题主要考查了平面向量数量积的运算及三角函数性质的简单应用，参数方程的应 用是求解本题的关键.二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11 .直线x 6y 1 0的倾斜角为.【答案】300【分析】求出直线的斜率，然后求解直线的倾斜角【详解】x V3y 1 0,则y «x 立，斜率为 则tan 停，解得 30故答案为30。【点睛】本题主要考查了直线的倾斜角，解

9、题的关键是求出直线的斜率，属于基础题 3212 .已知f(X), g(X)分别是定义在 R上的偶函数和奇函数，且f(x) g(X) X X 1,则f(1) g(1) .【答案】1试题分析：f(X) g(X) X3 X21, f( 1) g( 1)1 1 1 1 ,又. f (X), g(X)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，f(1) f( 1), g(1) g( 1),f( 1) g( 1) f(1) g(1), f(1) g(1) 1.考点：函数的奇偶性.一 413 .VABC中，若面积为6, c 5, tan A ,则a的值为3【答案】4b 3，再利用余弦根据同角三角函数的关系可求得sin

10、A4 一人 A ,一、，一A 一，再结合三角形的面积公式可得5定理求解a即可.【详解】: tan A0, A0,2 ,“4AA , cos A51 . -bc sin A26,3,由余弦定理得：cos Ab22bca 4,故答案为：4.【点睛】本题主要考查了解三角形的运用，需要根据题意确定正余弦定理以及面积公式的运用属于中档题.x x 2 ,x a14 .设函数f X,ln x, x a若a 1 ,则f x的零点的个数为.若f x的值域为1,则实数a的取值范围是 .【答案】（1）. 2（2）.-,e代入a 1,再分段求解函数的零点即可 .画出y x x 2与y In x的图像，再数形结合分析实

11、数 a的取值范围即可.【详解】当x 1时，令f x x x 2 0,解得x 0或x2,此时函数f x有两个零点；当x 1时，令f x Inx 0,解得x 1 （舍），此时函数f x无零点；综上，当a 1时，函数f x有2个零点；作出函数y xx 2及函数y Inx的图象如下图所示，由图象可知，若f x的值域为1,，则实数a的取值范围是-,故答案为：2；1, e【点睛】本题主要考查了分段函数的零点问题，同时也考查了根据分段函数的值域求解参数的问题，需要根据题意画出图像，再分析随a的变化函数图像的变化求解范围.属于中档题.15 .已知向量uv, £是平面 内的一组基向量， 。为 内的定点

12、，对于内任意一点P,当ULTVUV UV0P xe ye2时，则称有序实数对x, y为点P的广义坐标，若点 A、B的广义坐标分别为Xi,yi、 X2,y2 ,对于下列命题： 线段A、B的中点的广义坐标为xiX2 yiy2,_一，、一 ,22A、B两点间的距离为 J x1x2y1y2;，一 ULUIf向重0A斗仃于向重uuu_OB的充要条件是x1y2x?yi ；uuv_向量OA垂直于向重uuu_0B的充要条件是 xix2yy20.其中的真命题是【答案】（请写出所有真命题的序号）根据点A、B的广义坐标分别为x-i, yix2,y2 ,uuv uv uv uuvOA xiSyie2，OBuv uvm

13、sy2e2，利用向量的运算公式分别计算，得出结论.【详解】Q点A、 B的广义坐标分别为xi, yiuuuiuv uvx2,y2 , OA xieiyie2，uuv OBuv uvx2ei丫2色，uv ix2)ei -(Yi2uvy2)euuuv i uuv uuv i ,对于，线段A、B的中点设为M,根据om =- ( OA OB ) =- (xi 22中点的广义坐标为xix2, y一y2，故 正确.22uururuu对于, ab(x2-xi) eiy2yi e2，2 ur 22 ur2LruuA、B两点间的距离为J(x2xi) e(y2yi)a 2x2xiy2yie1e2，故不一定正确_,

14、一 uuv 一， ，一对于，向量0A平行于向量uuvuOB，皿 uuv uuv 口则 OA tOB，即（Xi,y1）=t X2,y2X1y2X2%,故正确.,_ 一 uuv 一， 一 对于，向重oa垂直于向重uuu 皿 uuv uuvOB ，则 OAn 0B=°，ur2XiX2eiuruu（乂佻 X2%）eie2UU2乂丫2金0,故不一定正确故答案为.【点睛】本题在新情境下考查了数量积运算性质、数量积定义，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.三、解答题(本大题共85分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .)16 .如图，四棱锥 P ABCD中，底面 ABCD为矩形，PA 平面

15、ABCD , E为PD的中点.(1)证明：PB平面AEC(2)已知AP 1 , AD J3, AB 拒求二面角D AE C的余弦值.【答案】(1)证明见解+析；(2) 型 .11试题分析:(1)以点A为坐标原点，建立空间直角坐标系， 设AB a,ADb, AP c,可得：直线pb的方向向量为：PBa,0, c ,平面AEC的一个法向量为 mbc, ac, ab ,结合 PB rm abc abc 0 可得：PB平面 AEC .v(2)结合(1)的结论结合题意可得平面AEC的一个法向量为 mbc, ac,ab 、，3, - 2, 6 .， v uuv ，、 一平面DAE的一个法向量为：iv AB

16、 0,0, J2，据此计算可得二面角 D AE值为-66 . 11试题详细分析：(1)以点A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设 AB a,AD b,APC的余弦c,b c由几何关系有：P 0,0, c ,B a,0,0 ,A 0,0,0 , E 0,-,- ,C a, b,0则直线PB的方向向量为:uuvuuivPB a,0, c , AE0,b,cuuv,AC a,b,0 ,ur设平面AEC的法向量 m x, y, z ,则:v u|V b c 八m AE y z 022v UUU/m AC ax by 0据此可得：平面 AEC的一个法向量为 m bc, ac,ab ,PB平面 A

17、EC.结合PB mi abc abc 0可知：PB mi，据此可得:(2)结合(1)的结论可知：a J2, b 73,c 1,则平面AEC的一个法向量为mibc, ac, ab 3,2, 6 .由AB 平面DAE可知平面DAE的一个法向量为:vuuvn AB 0,0, V2 ,据此可得：m v 2点m326.1122,2 2v v 贝 U cosm,nm n 2 366r-vrv -f=尸 .，m n .11.211观察可知二面角 D AE C的平面角为锐角，故二面角D AE C的余弦值为 答.17 .为了解甲、乙两个快递公司的工作状况，假设同一个公司快递员的工作状况基本相同，现4.5元；乙公

18、司规定从甲、乙两公司各随机抽取一名快递员，并从两人某月(30天)的快递件数记录结果中随机甲公司某员工乂乙公司某员工田3965833 2 r?46667701 | 44222抽取10天的数据，制表如图:每名快递员完成一件货物投递可获得的劳务费情况如下：甲公司规定每件每天35件以内(含35件)的部分每件4元，超出35件的部分每件(1)根据表中数据写出甲公司员工A在这10天投递的快递件数的平均数和众数；(2)为了解乙公司员工 B的每天所得劳务费的情况，从这10天中随机抽取1天，他所得的劳务费记为X (单位：元)，求X的分布列和数学期望；(3)根据表中数据估算两公司的每位员工在该月所得的劳务费【答案】

19、(1)平均数为36,众数为33； (2)详见解+析；(3)甲公司被抽取员工该月收入 4860元，乙公司被抽取员工该月收入4965元.【分析】(1)直接利用茎叶图中数据求甲公司员工A投递快递件数的平均数和众数.(2)由题意能求出 X的可能取值为136, 147, 154, 189, 203,分别求出相对应的概率，由 此能求出X的分布列和数学期望.(3)利用(2)的结果能估算算两公司的每位员工在该月所得的劳务费【详解】(1)甲公司员工 A投递快递件数的平均数为：-1x 32 33 33 38 35 36 39 33 41 4036,10众数为33.(2)设a为乙公司员工B投递件数，则当a 34时，

20、X 136元，当 a 35 时，X 35 4 a 35 7元,X的可能取值为136,147, 154, 189, 203,1P X 136,P3X 147 一，101023P X 154 一,PX 189,10101P X 203 一，10X的分布列为:X13614715418920313231P1010101010132311655E X 136 147 154 189 203 - 165.5 （元）101010101010（3）根据图中数据，由（2）可估算：甲公司被抽取员工该月收入乙公司被抽取员工该月收入36 4.5 30 4860元,165.5 30 4965元.【点睛】本题主要考查离散

21、型随机变量的分布列与期望，涉及到茎叶图、平均数等知识，考查学生的数学运算能力，是一道容易题.2n 2这三个条件中任选222218 .在 an anan 1 3an 1 9 0 , anan 1 3 , Snn一个，补充在下面问题中.已知：数列an的前n项和为Sn,且a11, .求：对大于1的自然数n ,是否存在大于2的自然数m,使得a1, an , am成等比数列.若存在，求m的最 小值；若不存在，说明理由.【答案】答案不唯一，见解+析【分析】222因为要使得a1，an , am成等比数列，不妨选择an an 1 3,分析可知数列 an是首项为1,公2差为3的等差数列，进而彳#到an 3n 2

22、，从而计算a2 a闰m，再根据二次函数的最值分析m的最小值即可.2222【详解】由a1 1, an an 1 3 ,即an an 1 3 ,可得数列 a2是首项为1,公差为3的等差数列，则 a2 1 3n 1 3n 2,假设对大于1的自然数n ,存在大于2的自然数m ,使得a1，an , am成等比数列可得 a2 aam,即3n 2 J3m 2 ,22222两边平万可得 3m 2 (3n 2)3 3n 4n 23 3 n -33由f n3n2 4n 2 n 1,且n N*递增，可得n 2时，f n取得最小值6,可得此时m取得最小值6, 故存在大于2的自然数m ,使得a1, an, am成等比数

23、列，且m的最小值为6.【点睛】本题主要考查了根据数列的递推公式求解通项公式，并分析存在性的问题属于开放性问题，需要选择合适的条件进行通项公式求解分析.属于中档题.，一一，,1八19 .已知函数 f x aln x - a 0 .x(1)若a 1,求曲线y f x在点1,f 1处的切线方程；(2)求函数f x的单调区间；(3)若x| f x 0 且x| f x 00,1 ,求实数a的取值范围.【答案】(1) y 1； (2)见解+析；(3)e,【分析】(1)代入a 1,再根据导数的几何意义求解即可. ax 1一(2)易得f'x一，因为a 0,故分a 0与a0两种情况分析导数的正负，从而得

24、出单调x区间即可.根据(2)中的单调性，分a 。与a 0两种情况讨论f x的单调性，并求出最值，再根据f x的值域满足的关系结合题意求解即可4111.【详解】(1)若 a 1,则 f x lnx ,故 f ' x - , f 11, f ' 10,xx x所求切线方程为 y 1；(2)函数的定义域为 0, f' x a 4 ax，x x x当a 0时，f' x 0,函数f x在0,上单调递减，当a 0时，令f ' x 0得x减，在-,单调递增；a(3)当a 0时，函数f x在-1又 f e a a In e a-e a当a 0时，由(2)可知，f x0,

25、 上单调递减1ea10,而 ea 0,11f - a 1 In a a11,故函数f x在0,单倜递不合题意;a 1 In a0,即 0 a e时，x| f x 0,不合题意;,.1(iii)当 f 一 aa 1 In a 0 ,即 a e 时，x | f x 00,1，满足题意;， 一 一，1a 1Ina 0 ,即a e 时，则 01,a1f 11 0,函数f x在一， 单倜递增，a当 x 1 时，f x 0,又函数的定义域为0,x|f x 00,1，满足题意.综上，实数a的取值范围为 e, .【点睛】本题主要考查了导数的几何意义以及分类讨论分析含参函数的单调性问题，同时也考查了利用导数求解

26、函数的单调性与值域求解参数的问题.属于中档题.22_120.已知椭圆C :二 y2r 1(a b 0)过点(0, J3),且离心率为-.设A,B为椭圆C的左、 a b2右顶点，P为椭圆上异于 A, B的一点，直线AP, BP分别与直线l : x 4相交于M ,N两点,且直线MB与椭圆C交于另一点H .(I)求椭圆C的标准方程；(n)求证：直线 AP与BP的斜率之积为定值；(m)判断三点 A,H,N是否共线，并证明你的结论 .223【答案】(I)L L i (n)3(出)三点共线434【分析】(I)根据已知条件列 a、b、c的方程组，求a、b、c的值，可得椭圆标准方程(n )设点 P 坐标为(X

27、。，y。)，将点P的坐标代入椭圆方程可得 xo与yo的等量关系，然后利用斜率公式， 结合等量关系可证出结论；(出)设直线 AP的方程为y=k (x-2) (kw0),得直线BP方程， 与直线x= 2联立，分别求点 M N坐标，然后求直线 MNM率，写直线 HM勺方程，并与椭圆 方程联立，利用韦达定理可求点H坐标，计算 AH和AN的斜率，利用这两直线斜率相等来证明结论成立.a 2,b 3,c 1.b .3,C 1 一日 【详解l解：(I)根据题意可知一 一，解得a 22,22a b c ,22所以椭圆C的方程1.43(n)根据题意，直线 AP, BP的斜率都存在且不为零22A 2,0 ,B 2,

28、0，设 P ，则迎 近 1 ( 2 x0 2). 432则kAP kBP六六看2因为包42 y。32y2 31 义4 x2 .所以kAPkBPy。2Xo2 43 4 x。24 x。2 4所以直线AP与BP的斜率之积为定值(III)三点A,H,N共线.证明如下:设直线AP的方程为0 ,则直线BP的方程为y34k所以 M 4,6k , N4,32k,kBM旦3k.4 2设直线HM : y 3k联立方程组43y 3k x1 12k2x2 48k2x48k24 0.设H Xi,yi ，则2为_ 248k412k2，所以x一 2 一24k212k2 1,y1 3k x112k212k2 1所以H224k

29、2 212k1 12k2 ,1 12k2因为A3N 4, 2k32k61 , kAH4k12k1 12k2_2_24k2 八221 12k24k所以kANkAHA,H,N共线.【点睛】本题考查椭圆方程的求法和椭圆性质的应用，考查韦达定理在椭圆综合的应用，考查计算能力与推理能力,综合性较强.21.若数列 An a1，a2,an n 2 满足 ak1 ak1 k 1,2, ,n 1 ,数列An为E数列,记 S Ana1 a2an .(1)写出一个满足a1a5 0,且SA50的E数列A;(2)若a 13, n 2008,证明：E数列An是递增数列的充要条件是an 2020；(3)对任意给定的整数 n n 2 ,是否存在首项为0的E数列An,使得S A 0?如果存在，写出一个满足条件的E数列An；如果不存在，说明理由.【答案】(1) 0, 1, 0, 1, 0； (2)证明见解+析；(3)见解+析【分析】根据由1 ak1 k 1,2, ,n 1与4 a§ 0和S A0可考虑写出0,1交替的数列.(2)先证明必要性 根据E数列An是递增数列，可彳# ak 1 ak 1 k 1,2, ,2007 ,进而求得a2008 2020.再证明充分性，因为ak 1 ak1 k 1,2, ,n 1 ,故ak 1 ak 1 k 1,2, ,