乘法公式(题型扩展)

1、乘法公式的复习一、复习 :(a+b)(a-b)=a 2-b 2(a+b)2=a2+2ab+b2(a-b)2=a2-2ab+b 2(a+b)(a 2-ab+b 2)=a 3+b3(a-b)(a2+ab+b2)=a 3 b3归纳小结公式的变式，准确灵活运用公式： 位置变化， xyy xx2y22 y2x 2y2 符号变化，xyxyx 指数变化， x2y2x2y2x4y4 系数变化， 2a b2a b224ab 换式变化， xyzmxyzmxy22z mx2y2z m z mx2y2z2zm zm2y222xz2zm m 增项变化， x yzxy z2mx22yzz2xy x yx2xyxyy 2z

2、222xyy22xzx2 y2 连用公式变化， xyxyx22x22yyx4y4 逆用公式变化， xyz 2xy z 2x y z x y z x y z x y zxyz2224xy4xz例 1已知 ab2 ， ab1，求 a 2b2的值。解： (a b) 2a 22abb2 a 2b 2 = (ab) 22ab a b 2， ab 1 a2b 2 = 222 1 2例 2已知 ab8 ， ab2 ，求 ( ab) 2 的值。解： ( a b) 2a 22abb2(ab)2a 22abb 2 (a b) 2(a b)24ab ( ab)24ab= (a b) 2 a b 8， ab 2 (a

3、 b)28242562例 3：计算 1999 -2000 × 1998解析此题中2000=1999+1，1998=1999-1，正好符合平方差公式。解： 19992-2000 × 1998=1999 2- （1999+1）×（ 1999-1 ）=19992- （ 19992 -1 2） =19992-1999 2+1 =1例 4：已知 a+b=2，ab=1，求 a2+b2 和 (a-b) 2 的值。解析此题可用完全平方公式的变形得解。222解： a +b =(a+b) -2ab=4-2=2（a-b) 2=(a+b) 2-4ab=4-4=0例 5：已知 x-y=2

4、，y-z=2 ， x+z=14。求 x2-z 2 的值。解析此题若想根据现有条件求出 x、y、z 的值，比较麻烦，考虑到 x2-z 2 是由x+z 和 x-z 的积得来的，所以只要求出x-z 的值即可。解：因为 x-y=2 ，y-z=2 ，将两式相加得x-z=4 ，所以 x2 -z 2=（x+z）(x-z)=14 ×4=56。例 6：判断（ 2+1）（22+1）（ 24+1）（ 22048+1）+1 的个位数字是几？解析此题直接计算是不可能计算出一个数字的答案，故有一定的规律可循。观察到 1=（2-1 ）和上式可构成循环平方差。242048解：（2+1）（2 +1）（2 +1）（ 2

5、+1） +1=2=1640961024因为当一个数的个位数字是6 的时候，这个数的任意正整数幂的个位数字都是6，所以上式的个位数字必为 6。例 7运用公式简便计算（1）1032（ 2） 1982222210000 600 910609解：（1）103100 3100210033（2）1982200 222002220022240000 800 439204例 8计算（ ） a4b c a b c（ 2）3x yx y2134 32 3解：（ ）原式a3c4bacbac222213434ba6ac 9c（2）原式x yxyx2y24y 4 9x2y24y 432 32 9例 9解下列各式（1）已

6、知a22，求2 ， a b 2 的值。b13ab 6a b（2）已知a b 2，2，求22，ab的值。7a b4ab216b（3）已知 a a1a222ab 的值。b2，求 a b2（4）已知 x13 ，求 x414 的值。x222x22分析：在公式 a b和 ab 分别看作是一个整体，ab2ab 中，如果把 a b， ab则公式中有三个未知数，知道了两个就可以求出第三个。解：（ 1）a22，b13ab 6a b 2 a2b2 2ab 13 2 6 25a b 2a2b2 2ab 13 2 6 1（ ） a b27， a b242a227222ab ba2ab b 4 得2a22，即 a2b2

7、11b112 得 4 ab 3，即 ab34（3）由 a a 1a2 b 2得 a b 2221 a2b22ab1a b122a bab222222（ 4）由 x1，得 x19即 x212 9x213x22 11xxxx21121即 x4 12121x41119x2x4x4例 10四个连续自然数的乘积加上1，一定是平方数吗？为什么？分析：由于 12 3 4212552 34511211123 4561361192得猜想：任意四个连续自然数的乘积加上1，都是平方数。解：设n， n1，n，n3是四个连续自然数2222则 n n 1 n 2n 3 1n n 3 n 1n 2 1n3n 2 n 3n

8、1 n 是整数，n2 3n n2 3n 2 1n2 3n 1 2n 2， 3n 都是整数n 231一定是整数n2n3n 1 是一个平方数四个连续整数的积与1 的和必是一个完全平方数。例 11计算（1） x2x 12（2） 3m n p 2解：（1） x2x1 2x22x 2122 x 2x2 x2 1 2x 1 x4x2 1 2x3 2x2 2x4233221xxxx（ ）m n p 23m22p22 3mn 2 3mp2 n2226mn 6mp 2np2 3np 9m n p分析：两数和的平方的推广a b c2a bc2a b22 a2222ac2bc2b c ca2ab bca2 b2 c

9、2 2ab 2bc 2ac即 a b c 2 a2 b2 c2 2ab 2bc 2ac几个数的和的平方，等于它们的平方和加上每两个数的积的2 倍。二、乘法公式的用法( 一) 、套用 : 这是最初的公式运用阶段，在这个环节中，应弄清乘法公式的来龙去脉，准确地掌握其特征，为辨认和运用公式打下基础，同时能提高学生的观察能力。22例 1.计算：5x 23y 25x 23y 2解：原式5x 23y225x 49 y4( 二) 、连用 : 连续使用同一公式或连用两个以上公式解题。例 2. 计算： 1 a a 1 a2 1 a4 1解：原式1a2 1a2 1a 41 a4 1 a41 a8例 3. 计算：

10、3x 2y 5z 1 3x 2y 5z 1解：原式2y5z3x 12 y5z 3x 12y23x25z14 y29x225z220 yz6x1三、逆用 : 学习公式不能只会正向运用，有时还需要将公式左、右两边交换位置，得出公式的逆向形式，并运用其解决问题。例 4.计算： 57825782abcabc解：原式5a7b8c5a7b8c5a7b8c5a7b8c10a 14b16c140ab160ac四、变用 : 题目变形后运用公式解题。例 5.计算： xy2zxy6z解：原式xy2z4zxy2z4zxy222z4zx2y212z22xy4xz4yz五、活用 : 把公式本身适当变形后再用于解题。这里以

11、完全平方公式为例，经过变形或重新组合，可得如下几个比较有用的派生公式：1. a22aba2b2b2.a22aba2b2b3.a2a22 a2b2bb4.a2a24abbb灵活运用这些公式， 往往可以处理一些特殊的计算问题，培养综合运用知识的能力。例 6. 已知 ab4， ab5，求 a2b2 的值。解： a2b2ab2ab4225262例 7.计算： abcd 2bc da 2解：原式bca2bc2da d2b2a2cd2a22b22c22d 24bc4ad例 8.已知实数 x、 y、 z 满足 xy5， z2xyy9 ，那么 x2y3z（）解：由两个完全平方公式得：122aba ba b4从

12、而 z2 152x2y 9y41 5252 yy9244y26y9y26y9y23 z2y 320 z 0，y 3 x 2 x2 y3z22308三、学习乘法公式应注意的问题（一）、注意掌握公式的特征，认清公式中的“两数”例 1 计算 (-2 x2-5)(2 x2-5)分析：本题两个因式中“-5 ”相同，“ 2x2”符号相反，因而“ -5 ”是公式 ( a+b)( a- b)= a2- b2 中的 a，而“ 2x2”则是公式中的 b解：原式 =(-5-2 x2)(-5+2 x2)=(-5)2-(2 x2) 2=25-4 x4例 2 计算 (- a2+4b) 2分析：运用公式 ( a+b) 2

13、=a2+2ab+b2 时，“ - a2”就是公式中的a，“ 4b”就是公式中的 b；若将题目变形为 (4 b- a2) 2 时，则“4b”是公式中的 a，而“a2”就是公式中的 b（解略）（二）、注意为使用公式创造条件例 3 计算 (2 x+y- z+5)(2 x- y+z+5) 分析：粗看不能运用公式计算，但注意观察，两个因式中的“2x”、“ 5”两项同号，“ y”、“z”两项异号，因而，可运用添括号的技巧使原式变形为符合平方差公式的形式解：原式 =(2 x+5)+( y- z) (2 x+5)-( y- z) =(2x+5) 2-( y- z) 2=4x2+20x+25- y+2yz -

14、z2例 4 计算 ( a-1) 2( a2+a+1) 2( a6+a3 +1) 2分析：若先用完全平方公式展开，运算十分繁冗，但注意逆用幂的运算法则，则可利用乘法公式，使运算简便解：原式 =( a-1)( a2+a+1)( a6+a3+1) 2=(a3-1)(a6 a32+ +1)=(a9-1) 2 =a18-2 a9+1例 5 计算 (2+1)(2 2+1)(2 4+1)(2 8 +1) 分析：此题乍看无公式可用，“硬乘”太繁，但若添上一项（2-1 ），则可运用公式，使问题化繁为简2+1)(2 4 +1)(2 8+1)解：原式 =(2-1)(2+1)(2=(22-1)(22+1)(24+1)

15、(2 8+1)=(24-1)(24+1)(28+1)= （28-1 ）（ 28+1） =216-1（三）、注意公式的推广计算多项式的平方，由( a+b) 2=a2+2ab+b2，可推广得到：( a+b+c) 2=a2+b2 +c2+2ab+2ac+2bc可叙述为：多项式的平方，等于各项的平方和，加上每两项乘积的2 倍例 6 计算 (2 x+y-3) 2解：原式 =(2x2 y22 · x ·y· x·y(-3) + +(-3)+2 2+2 2 (-3)+2=4x2+y2+9+4xy-12 x-6 y（四）、注意公式的变换，灵活运用变形公式例 7 (1)

16、已知 x+y=10， x3+y3=100，求 x2+y2 的值；(2) 已知： x+2y=7， xy=6，求 ( x-2 y) 2 的值分析：粗看似乎无从下手，但注意到乘法公式的下列变形：x2+y2 =( x+y) 2-2 xy ，x3 y3x y 3-3xyxy，xy2x-y2xy，问题则十分简单+=(+)x( + )(+)-(x) =4xy· ，解： (1) 3y3xy3-3xy(y，将已知条件代入得3+=(+ )+ )100=10 -310xy=30故 x2y2x y2-2xy2×+=(+ )=10 -230=40(2)(x-2y2xy2-8xy2×)=(+

17、2)=7 -86=1例 8 计算 ( a+b+c) 2+( a+b- c) 2+( a- b+c)+( b- a+c) 2分析：直接展开，运算较繁，但注意到由和及差的完全平方公式可变换出( a+b) 2+( a- b) 2=2( a2+b2) ，因而问题容易解决解：原式=(a bc2+(a bc2ca b2+c-(a b2+ )+)-+(-)- )=2(a b)2c2+2c2a b2+( -) =2(a b)2+(a b2+4c2+- )=4a2b2c2+4+4（五）、注意乘法公式的逆运用例 9 计算 ( a-2 b+3c) 2-( a+2b-3 c) 2 分析：若按完全平方公式展开，再相减，

18、运算繁杂，但逆用平方差公式，则能使运算简便得多解：原式 =( a-2 b+3c)+( a+2b-3 c)(a-2 b+3c)-( a+2b-3 c)=2ab cab ac(-4+6 )=-8+12例 10 计算 (2 a+3b) 2-2(2 a+3b)(5 b-4 a)+(4 a-5 b) 2分析：此题可以利用乘法公式和多项式的乘法展开后计算，但逆用完全平方公式，则运算更为简便解：原式 =(2 a+3b) 2 +2(2a+3b)(4 a-5 b)+(4 a-5 b) 2=(2 a+3b)+(4 a-5 b) 2=(6 a-2 b) 2 =36a2-24 ab+4b2四、怎样熟练运用公式：（一）

19、、明确公式的结构特征这是正确运用公式的前提， 如平方差公式的结构特征是： 符号左边是两个二项式相乘，且在这四项中有两项完全相同，另两项是互为相反数； 等号右边是乘式中两项的平方差，且是相同项的平方减去相反项的平方 明确了公式的结构特征就能在各种情况下正确运用公式（二）、理解字母的广泛含义乘法公式中的字母a、 b 可以是具体的数，也可以是单项式或多项式理解了字母含义的广泛性，就能在更广泛的围正确运用公式如计算（ x+2y 3z）2，若视 x+2y 为公式中的 a， 3z 为 b，则就可用（ ab） 2=a2 2ab+b2 来解了。（三）、熟悉常见的几种变化有些题目往往与公式的标准形式不相一致或不

20、能直接用公式计算， 此时要根据公式特征，合理调整变化，使其满足公式特点常见的几种变化是：x y）（y x）交换x 和y 的位置后即可用平方差公式计1、位置变化 如（3+55335算了2、符号变化 如（ 2m 7n）（2m 7n）变为（ 2m+7n）（ 2m7n）后就可用平方差公式求解了（思考：不变或不这样变，可以吗？）3、数字变化如 98×102，992，912 等分别变为（1002）（100+2），（1001）2，（90+1）2 后就能够用乘法公式加以解答了4、系数变化m n）（2mn）变为 2（ 2m n）（ 2mn）后即可用平方差公如（4 +4+424式进行计算了x y z）（

21、xy z）变为（ xy zz）（x y z z）后5、项数变化如（ +3 +23 +6+3 +423+4+2再适当分组就可以用乘法公式来解了（四）、注意公式的灵活运用有些题目往往可用不同的公式来解， 此时要选择最恰当的公式以使计算更简便 如计算（ a2+1） 2·（ a21）2，若分别展开后再相乘，则比较繁琐，若逆用积的乘方法则后再进一步计算，则非常简便即原式 = （a2+1）（a2 1） 2=（ a41）2=a82a4+1对数学公式只会顺向（从左到右）运用是远远不够的，还要注意逆向（从右到左）运用如计算（ 1 12）（1 12）（1 12）（ 1 12 ）（112 ），若分别算出各

22、因式234910的值后再行相乘，不仅计算繁难，而且容易出错若注意到各因式均为平方差的形式而逆用平方差公式，则可巧解本题即原式=（ 1 1 ）（1+1）（11）（1+ 1 ）×× （11）（1+ 1）22331010= 1× 3× 2× 4×× 9 ×11= 1× 11= 112233101021020有时有些问题不能直接用乘法公式解决， 而要用到乘法公式的变式， 乘法公式的变式主要有： a2 +b2=（a+b） 22ab， a2+b2=（ab）2+2ab 等用这些变式解有关问题常能收到事半功倍之效如已知

23、m n ， mn 2222，求 mn ， mmnn 的值+=7=18+面对这样的问题就可用上述变式来解，2222×（），即m n（m n） mn+=+2=7218=49+36=85222mn2×（）m mn n=（ m n）+3=7318=103下列各题，难不倒你吧？！、若 a1，求（ ）a2+1，（ ）（a1 ）2的值1+a=51a22a2481632642、求（ 2+1）（2 +1）（ 2 +1）（2 +1）（2 +1）（2 +1）（ 2 +1） +1 的末位数字五、乘法公式应用的五个层次乘法公式： (a b)(a b)=a 2b2， (a ±b)=a 2&#

24、177; 2abb2，(a ±b)(a 2±abb2)=a 3± b3第一层次正用即根据所求式的特征，模仿公式进行直接、简单的套用例 1计算(2)(2x y)(2x y) (2) 原式 =( y) 2x( y) 2x=y 24x2第二层次逆用，即将这些公式反过来进行逆向使用例 2计算(1)1998 2 1998·399419972 ；解(1) 原式 =19982 2· 1998· 1997 19972 =(1998 1997) 2=1第三层次活用 ：根据待求式的结构特征，探寻规律，连续反复使用乘法公式；有时根据需要创造条件，灵活应用公

25、式例 3 化简： (2 1)(2 21)(2 4 1)(2 8 1) 1分析直接计算繁琐易错， 注意到这四个因式很有规律， 如果再增添一个因式 “ 21”便可连续应用平方差公式，从而问题迎刃而解解原式 =(2 1)(2 1)(2 21)(2 4 1)(2 8 1) 1=(2 21)(2 2 1)(2 4 1)(2 81) 1=216例 4 计算： (2x 3y1)( 2x3y5)分析仔细观察，易见两个因式的字母部分与平方差公式相近，但常数不符于是可创造条件“拆”数： 1=23，5=23，使用公式巧解解原式 =(2x 3y 32)( 2x3y 32)=(2 3y) (2x 3)(23y) (2x

26、 3)=(2 3y) 2 (2x 3) 2 =9y2 4x2 12x12y 5第四层次变用：解某些问题时， 若能熟练地掌握乘法公式的一些恒等变形式，如 a2 b2=(a b) 22ab， a3b3=(a b) 33ab(a b) 等，则求解十分简单、明快例 5 已知 ab=9， ab=14，求 2a2 2b2 和 a3 b3 的值解：ab=9， ab=14， 2a2 2b2=2(a b) 2 2ab=2(9 2 2· 14)=106，a3b3=(a b) 33ab(a b)=9 33·14·9=351第五层次综合后用：将 (a b) 2 =a22ab b2 和(a

27、 b) 2 =a22abb2 综合，可得 (a b) 2 (a b) 2=2(a 2b2) ；(a b) 2 (a b) 2=4ab；等，合理地利用这些公式处理某些问题显得新颖、简捷例 6 计算： (2x y z 5)(2x yz 5) 解：原式 = 1(2x+y-z+5)+(2x-y+z+5)2- 1(2x+y-z+5)-(2x-y+z+5)244=(2x 5) 2 (y z) 2=4x2 20x25 y2 2yzz2六、正确认识和使用乘法公式1、数形结合的数学思想认识乘法公式：(a+b)(a-b)=a 2-b 2、完全平方公对于学习的两种（三个）乘法公式：平方差公式：式： (a+b) 2=

28、a2+2ab+b2； (a-b) 2=a2-2ab+b 2，可以运用数形结合的数学思想方法来区分它们。假设 a、 b 都是正数，那么可以用以下图形所示意的面积来认识乘法公式。如图 1，两个矩形的面积之和（即阴影部分的面积）为 (a+b)(a-b) ，通过左右两图的对照，即可得到平方差公式 (a+b)(a-b)=a 2-b 2；图 2 中的两个图阴影部分面积分别为(a+b) 2 与(a-b) 2，通过面积的计算方法，即可得到两个完全平方公式： (a+b) 2=a2+2ab+b2 与(a-b) 2=a2-2ab+b 2。2、乘法公式的使用技巧：提出负号：对于含负号较多的因式， 通常先提出负号， 以

29、避免负号多带来的麻烦。例1、 运用乘法公式计算：（ 1）(-1+3x)(-1-3x)；（ 2） (-2m-1) 22-(3x) 2=1-9x 2 .解：（1）(-1+3x)(-1-3x)=-(1-3x)-(1+3x)=(1-3x)(1+3x)=1（2） (-2m-1) 2 =-(2m+1)2 =(2m+1)2 = 4m2 +4m+1.改变顺序：运用交换律、结合律，调整因式或因式中各项的排列顺序，可以使公式的特征更加明显 .例2、 运用乘法公式计算：1 11a2（ 1）( 3a- 4b )(-4b - 3 );（2）(x-1/2)(x+1/4)(x+1/2)1 11a1111解：（1）( 3a-

30、 4b )(-4b - 3 )=(-4b+ 3a )(-4b - 3a )111112121212=( 4b-3a )(4b + 3a )=( 4b)- (3a)=16b -9a(2) (x-1/2)(x2+1/4)(x+1/2)= (x-1/2) )(x+1/2)(x2+1/4)=(x 2 -1/4) (x2+1/4)= x2 -1/16.逆用公式a2-b 2 = (a+b)(a-b)将幂的公式或者乘法公式加以逆用，比如逆用平方差公式，得，逆用积的乘方公式，得anbn =(ab) n, 等等，在解题时常会收到事半功倍的效果。例3、 计算：（1）(x/2+5) 2-(x/2-5)2 ;（2）(

31、a-1/2)2(a 2 +1/4) 2 (a+1/2)2解：（1）(x/2+5)2-(x/2-5)2=(x/2+5)+(x/2-5) (x/2+5)-(x/2-5)=(x/2+5+x/2-5)( x/2+5-x/2+5)=x· 10=10x.（2） (a-1/2)2(a 2+1/4)2 (a+1/2) 2=(a-1/2)(a2 +1/4)(a+1/2) 2 =(a-1/2) (a+1/2) (a2+1/4) 2=(a 2-1/4) (a 2 +1/4) 2 =(a 4-1/16 ) 2=a8-a 4/8+1/256.合理分组：对于只有符号不同的两个三项式相乘， 一般先将完全相同的项调

32、到各因式的前面，视为一组；符号相反的项放在后面，视为另一组；再依次用平方差公式与完全平方公式进行计算。计算：（1）(x+y+1)(1-x-y);（ 2）(2x+y-z+5)(2x-y+z+5).2-(x+y) 2解：（1） (x+y+1)(1-x-y)=(1+x+y)(1-x-y)= 1+(x+y)1-(x+y)=1=1-(x 2+2xy+y2)= 1-x 2-2xy-y 2.（ 2）(2x+y-z+5)(2x-y+z+5)=(2x+5+y-z)(2x+5-y+z)= (2x+5)+(y-z)(2x+5)-(y-z)= (2x+5) 2-(y-z)2 =(4x 2+20x+25)-(y 2 -

33、2yz+z 2)= 4x2 +20x+25-y 2+2yz-z 2 = 4x2-y 2-z 2 +2yz +20x+25 .七、巧用公式做整式乘法整式乘法是初中数学的重要容，是今后学习的基础，应用极为广泛。尤其多项式乘多项式，运算过程复杂， 在解答中，要仔细观察， 认真分析题目中各多项式的结构特征，将其适当变化，找出规律，用乘法公式将其展开，运算就显得简便易行。一.先分组，再用公式例 1.计算： (abc d)( a b c d )简析：本题若以多项式乘多项式的方法展开，则显得非常繁杂。通过观察，将整式(a b c d ) 运 用加 法交 换律 和结 合律 变形为 ( bd ) ( a c)

34、； 将另 一个 整式(abc d ) 变形为 ( bd )(ac) ，则从其中找出了特点，从而利用平方差公式即可将其展开。解：原式(bd )( ac)b da c(bd) 2(ac)2b22bdd 2a 22acc2二.先提公因式，再用公式例 2.计算：8xy4 xy24简析：通过观察、比较，不难发现，两个多项式中的x 的系数成倍数， y 的系数也成倍数，而且存在相同的倍数关系，若将第一个多项式中各项提公因数2 出来，变为24xy，则可利用乘法公式。4解：原式24xy4xy44222y4x432x2y28三 .先分项，再用公式例 3.计算： 2 x3y 2 2x 3y 6简析：两个多项中似乎没多大联系， 但先从相同未知数的系数着手观察， 不难发现， x 的系数相同， y 的系数互为相反数，符合乘法公式。进而分析如何将常数进行变化。若将 2 分解成 4 与2 的和，将 6 分解成 4 与 2 的和，再分组，则可应用公式展开。解：原式 = ( 2x4) (2 3y) 2x 4 2 3y(2x4)2223y4x 216 x 12 12 y 9 y 2四 . 先整体展开，再用公式例 4. 计算： (a 2b)(a 2b 1)简析：乍看两个多项式无联系，但把第二个整式分成两部分，即将第一个整式与之相乘，利用平方差公式即可展开。解：原式( a2b) (a2b)