Matlab在静电场中的应用

1、摘 要 本文介绍了用Matlab软件模拟点电荷电场的方法，详细介绍了用Matlab模拟单个点电荷、一对点电荷的电势线和电场线的方法。然后，利用镜像法求解静电场，用MATLAB将解出的电场可视画，并讨论了感应电荷是如何影响实际电场的，以此，更加深刻的理解导体表面的感应电荷对求解空间电场的影响。关键词：MATLAB 静电场 镜像法引言电磁场是物质世界的重要的组成部分之一，在生产实践和科学技术领域内，存在着大量和电磁场有关的问题，例如，电力系统，凝聚态物理，天体物理，粒子加速器等，都涉及不少宏观电磁场的理论问题。因此掌握电磁场的基本理论对生产实践和科学实验都有重大意义。现将电磁场的基本理论应用到最简

2、单的情况：电荷静止，相应的电场不随时间而变化的情况。研究的主要问题是：在给定自由电荷分布以及周围空间介质和导体分布的情况下，电场的分布问题。由Maxwell方程组我们知道静电势满足的微分方程，并且利用唯一性定理可知在给定自由电荷分布和边界条件的情况下求解空间内的电场唯一确定。接下来，就是在区域内对方程进行求解。常用的计算电磁场问题的方法主要有两大类，一是解析法，二是数值法。对于那些具有简单边界条件和几何形状的问题，可用分离变量法，镜像法和格林函数法求解电磁场边值问题的解析解。本文首先介绍了用Matlab软件模拟点电荷电场的方法，详细介绍了用Matlab模拟单个点电荷、一对点电荷的电势线和电场线

3、的方法。然后，利用镜像法求解静电场，用MATLAB将解出的电场可视画，并讨论了感应电荷是如何影响实际电场的，以此，更加深刻的理解导体表面的感应电荷对求解空间电场的影响。1 Matlab模拟点电荷电场的分布1.1 原理根据库伦定律：在真空中，两个静止点电荷之间的作用力与这两个电荷的电量乘积成正比，与它们之间距离的平方成反比，作用力的方向在两个电荷的连线上，两电荷同号为斥力，异号为吸力，它们之间的力F满足： (1.1) 由电场强度E的定义可知： (1.2)对于点电荷，根据场论基础中的定义，有势场E的势函数为 (1.3) (1.4)在Matlab中，由以上公式算出各点的电势U，电场强度E后，可以用M

4、atlab自带的库函数绘出相应电荷的电场分布情况。1.2 单个点电荷真空中点电荷的场强大小是E=kq /r2，其中k为静电力恒量，q为电量，r为点电荷到场点P(x,y)的距离。电场呈球对称分布, 取电量q> 0，电力线是以电荷为起点的射线簇。以无穷远处为零势点，点电荷的电势为U=kq /r，当U取常数时，此式就是等势面方程。等势面是以电荷为中心以r为半径的球面。1.2.1 单个点电荷平面电场线的画法在平面上，电力线是等角分布的射线簇，用Matlab画射线簇很简单。取射线的半径为(都取国际制单位) r0=0.18，不同的角度用向量表示(单位为弧度) th=linspace(0,2*pi,1

5、5)。射线簇的终点的直角坐标为：x,y=pol2cart(th,r0)。插入x 的起始坐标x=x; 0.1*x。同样插入y的起始坐标，y=y; 0.1*y，x和y都是二维数组，每一列是一条射线的起始和终止坐标。用二维画线命令plot(x,y)就画出所有电力线。1.2.2 单个点电荷平面等势线的画法在过电荷的截面上，等势线就是以电荷为中心的圆簇，用MATLAB 画等势线更加简单。静电力常量为k=9e9，电量可取为q=1e- 9；最大的等势线的半径应该比射线的半径小一点，r0=0.1，其电势为u0=k8q /r0。如果从外到里取7 条等势线，最里面的等势线的电势是最外面的3倍，那么各条线的电势用向

6、量表示为：u=linspace(1,3,7)*u0.从- r0 到r0取偶数个点，例如100个点，使最中心点的坐标绕过0，各点的坐标可用向量表示：x=linspace(- r0,r0,100)，在直角坐标系中可形成网格坐标：X,Y=meshgrid(x)。各点到原点的距离为：r=sqrt(X.2+Y.2)，各点的电势为U=k8q. /r。用等高线命令即可画出等势线contour(X,Y,U,u)。以下是单个点电荷的平面电场线和等势线的Matlab代码和仿真结果。q=1e-9;r0=0.18;th=linspace(0,2*pi,15);x,y=pol2cart(th,r0);x=x;0.1*x

7、;y=y;0.1*y;plot(x,y);grid onhold onplot(0,0,'o','MarkerSize',12)xlabel('x','fontsize',16)ylabel('y','fontsize',16)title('单个点电荷的电场线与等势线','fontsize',16)k=9e9;r0=0.12;u0=k*q/r0;u=linspace(1,3,7)*u0;x=linspace(-r0,r0,100);X,Y=meshgrid(x);r=

8、sqrt(X.2+Y.2);U=k*q./r;hold on;contour(X,Y,U,u)图1.1单个点电荷的平面电场线和等势线如上图1.1所示，可以很清楚的看出，越靠近点电荷的中心，电势越高，电场强度越大，电力线和等势线也越密。1.3 一对点电荷 同理画出一对点电荷的电场线和等势线，其Matlab程序和仿真结果如下：%同号点电荷对的电场线和等势线clear q=0.5; xm=2.5; ym=2; x=linspace(-xm,xm); %横坐标向量y=linspace(-ym,ym); %纵坐标向量X,Y=meshgrid(x,y); R1=sqrt(X+1).2+Y.2); %第一个

9、正电荷到场点的距离R2=sqrt(X-1).2+Y.2); %第二个正电荷到场点的距离U=1./R1+q./R2; %计算电势u=1:0.5:4; %等势线的电势向量figure contour(X,Y,U,u) %画等势线grid on hold on plot(-xm;xm,0;0) %画水平线plot(0;0,-ym;ym) %画竖直线plot(-1,0,'o','MarkerSize',12) plot(1,0,'o','MarkerSize',12) Ex,Ey=gradient(-U,x(2)-x(1),y(2)-y(

10、1); %用电势梯度求场强的两个分量dth1=20; th1=(dth1:dth1:180-dth1)*pi/180; %电场线的起始角度r0=0.1; x1=r0*cos(th1)-1; %电场线的起点横坐标y1=r0*sin(th1); %电场线的起点纵坐标streamline(X,Y,Ex,Ey,x1,y1) %画左上电场线streamline(X,-Y,Ex,-Ey,x1,-y1) %画左下电场线dth2=dth1/q; %右边电场线角度间隔th2=(180-dth2:-dth2:dth2)*pi/180; x2=r0*cos(th2)+1; %电场线的起点横坐标y2=r0*sin(t

11、h2); %电场线的起点纵坐标streamline(X,Y,Ex,Ey,x2,y2) %画右上电场线streamline(X,-Y,Ex,-Ey,x2,-y2) %画右下电场线axis equal tight title('同号点电荷的电场线和等势线','fontsize',16)xlabel('x','fontsize',16) ylabel('y','fontsize',16) txt='电荷比:itQrm_2/itQrm_1=' num2str(q);text(-xm,-ym+

12、0.5,txt,'fontsize',16) 图1.2图1.3(1)如图1.2所示，电场线从正电荷出发，终止在无穷远处。电场线与等势线垂直，任何两条电场线都不相交。(2)电势较高的等势线分别包围着电荷，电势较低等势线包围着两个电荷。电场强度大的地方，电场线较密，等势线也较密。(3)当两个电荷的电量相等时，电场线和等势线对中垂线是对称的。当两个电荷的电量不相等时，电场线和等势线对中垂线都不对称，如图1.3所示，但是电场线与等势线仍然垂直。2 镜像法点电荷Q附近有一导体，在点电荷的电场作用下，导体面上出现感应电荷。而真实的电场是自由电荷和感应电荷所激发的电场的叠加。设想感应电荷对空

13、间中电场的影响能否用导体内的一个或几个假想电荷代替，由唯一性定理可知只要我们能利用假象电荷构造出相同的边界条件，在求解空间中的电场是相同的。假设接地的导体平面上有一个半径为a的半球突起，球心在导体平面上，一自由电荷在上半空间任意位置，求电场。为此，我门专门做了一个函数lilei,如下：function =lilei(a,r0,phi0,q)%在接地的导体平面上有一半径为a的半球凸部，半球的球心在导体平面%上,电电荷4*pi*p*q(p为真空电介常数)在导体上半空间。%本函数以过电荷和球心并垂直于导体平面的平面上%画出电势线和电场%lilei(a,r0,phi0,q)%a为导体球的半径%(r0,

14、phi0)为电荷坐标r0>a,0<phi0<pi%q为电荷量4*pi*p*q if nargin=4 disp('请输入a,ro,phi0,q')elseif a<=0 disp('a>0');elseif r0<=a disp('r0>a')elseif or(phi0>=pi,phi0<=0) disp('phi0>=pi,phi0<=0')elsex,y=meshgrid(-(2*a):0.01:2*a,0:0.01:4*a);Q,R=cart2pol(x,y

15、);R(R<=a)=NaN;ar=a/r0; figure(1) subplot(221)hold onu1=q./sqrt(r02-2*r0*R.*cos(abs(Q-phi0)+R.2);contour(x,y,u1,-1:20,300);ex,ey=gradient(-u1);t=0:pi/10:2*pi;sx=r0*cos(phi0)+0.1*cos(t);sy=r0*sin(phi0)+0.1*sin(t);streamline(x,y,ex,ey,sx,sy)axis equal;tt=0:pi/30:pi;plot(a*exp(i*tt),'r')plot(

16、-3*a:0.1:-a,zeros(size(-3*a:0.1:-a),'r')plot(a:0.1:3*a,zeros(size(a:0.1:3*a),'r')title('孤立电荷产生的电场线和电势线')hold offsubplot(222)u2=-ar*q./sqrt(a*ar)2-2*a*ar.*R.*cos(Q-phi0)+R.2);contour(x,y,u2,20);hold onex,ey=gradient(-u2);axis equal;tt=0:pi/30:pi;plot(a*exp(i*tt),'r')pl

17、ot(-3*a:0.1:-a,zeros(size(-3*a:0.1:-a),'r')plot(a:0.1:3*a,zeros(size(a:0.1:3*a),'r')k,l=pol2cart(phi0,a*ar);plot(k,l,'or')text(k+0.1,l,'象电荷1')title('象电荷1产生的电场线和电势线')axis(-3*a,3*a,-0.3,-0.3+6*a)hold off subplot(223)hold onu3=-q./sqrt(r02-2*r0*R.*cos(abs(Q+phi0)

18、+R.2);contour(x,y,u3,20);ex,ey=gradient(-u3);t=0:pi/10:2*pi;sx=r0*cos(-phi0)+0.1*cos(t);sy=r0*sin(-phi0)+0.1*sin(t);streamline(x,y,ex,ey,sx,sy)axis equal;tt=0:pi/30:pi;plot(a*exp(i*tt),'r')plot(-3*a:0.1:-a,zeros(size(-3*a:0.1:-a),'r')plot(a:0.1:3*a,zeros(size(a:0.1:3*a),'r')k

19、,l=pol2cart(-phi0,r0);plot(k,l,'or')text(k+0.1,l,'象电荷2');title('象电荷2产生的电场线和电势线')axis(-3*a,3*a,-r0*sin(phi0)-0.3,-r0*sin(phi0)-0.3+6*a)hold offsubplot(224)u4=ar*q./sqrt(a*ar)2-2*a*ar.*R.*cos(Q+phi0)+R.2);contour(x,y,u4,20);hold onex,ey=gradient(-u4);axis equal;tt=0:pi/30:pi;pl

20、ot(a*exp(i*tt),'r')plot(-3*a:0.1:-a,zeros(size(-3*a:0.1:-a),'r')plot(a:0.1:3*a,zeros(size(a:0.1:3*a),'r')k,l=pol2cart(-phi0,a*ar);plot(k,l,'or')text(k+0.1,l,'象电荷3');axis(-3*a,3*a,-a*ar*sin(phi0)-0.3,-a*ar*sin(phi0)-0.3+6*a)title('象电荷3产生的电场线和电势线')hold off figure(2)u=u1+u2+u3+u4;c,h=contour(x,y,u, 0.01 0.1 0.4 1 2 5 9 ,300);hold onset(h,'ShowText','on','TextStep',get(h,'LevelStep')*2)ex,ey=gradient(-u);t=0:pi/10:2*pi;sx=r0*cos(phi0)+0.1*cos(t);sy=r0*sin(phi0)+0.1*sin(t);streamline(x,y,ex,e