2018年全国高中数学联赛浙江省预赛高三数学试题(解析版)

1、2018年全国高中数学联赛浙江省预赛高三数学试题一、填空题1 1= 一-；1 .已知a为正实数，且 “1是奇函数，则的值域为.【解析】【详解】第6页共8页1111 1 1 =- - + f（x）=-由小）为奇函数可知a - + 19+ 1,解得a= 2,即 2 2、由此得f（x）的值域为 2 2.20182%1.3 ) 鼻二1 3- 5a +12.设数列 南满足一 ，n*i- a (n=1, 2,)，则 n = 152019 8077【答案】16 16【解析】【详解】1 / 八 +二5皆十1小二1+5阿+1=%由44所以2018V Lu1-2c201S=不5 +5 +. + S20185 xc

2、20181t=行 口-162018 S201907 71616(3n 小 4风0 E cos(a + p)=3.已知 4,56【答案】I 4.J 13,则【解析】【详解】% E (彳再)孙3 +位二Mi 7Tcosp + I = cos (a + 所以sin(a + B)，得.J71 a 4加索-3亡叫cr 一:6二 13,566556故答案为：.4.在八个数字2, 4, 6, 7, 8, 11, 12, 13中任取两个组成分数.这些分数中有个既约分数.【答案】36【解析】【详解】在7, 11, 13中任取一个整数与在 2, 4, 6, 8, 12中任取一个整数构成既约分数，共有3 5 种；在

3、7, 11, 13中任取两个整数也构成既约分数，共有A3,6中.合计有36种不同的既约分数./ 1 2018 + (1/01S _5,已知虚数z满足P+1=Q,则上 H .【答案】I【解析】【详解】12018 上 r , 372 2.1 之上/ 1 2018 + ( 1 JOIS _ 工 ,1 _(Z)-_ . . I _ 1I? - 1 lz _ 1_ t 2,2018 - t 3,1345 _ z -所以.6 .设明=1。.若平面上点P满足，对于任意的:有APTAB|岂M ,则PA-PB的最小值为 ,此时士晶=.【解析】【详解】由麻可知点p到直线AB的距离为3.设AB的中点为O.由极化恒等

4、式得： - 1 、 . 、 、 1 1PA PB = j(PA + PB)2 - (PA - PB 二 (2PO产 107之-36 - 100 =- 16.此时：;7 .在4ABC中，AB+AC=7且三角形的面积为 4,则sin/A的最小值为 ,【解析】【详解】49AB + AC = 7n4B x AC AB = AC =-2时取等号8 .设月*) = 1| +计斤2|,则须x) + l = O有 个不同的解.【答案】3【解析】【详解】-x - 31 K M-1因为f(x) = |x + 1| +-1 x 03x - L 0 x 2由f(f)+ 1 =。得到f(M = 2,或f=0.1x =-

5、由f(x)=-2,得一个解*=-1；由f(x)二。得两个解k=-3,共3个解.9 .设K V E R满足乂-6g宿+ 12=0 ,则x的取值范围为 .答案口【解析】【详解】由 .也-3 = 12 + 85砌+ (3 + Sin。) = 14 * J525in(8 + 40(5in中所以I；.10 .四面体P-ABG PA = BC = 6,PB = AC =黄，PC = AB = g则该四面体外接球的半径为【解析】【详解】将四面体还原到一个长方体中，设该长方体的长、宽、高分别为a, b, c,+ t? = 10I b2 + c2 = 8+ b2 + c2 = 12,所以四面体外接球的半径为2、

6、解答题*212 2+ V = 1A, B.求11.已知动直线l与圆O: K + =1相切，与椭圆9相交于不同的两点 原点到AB的中垂线的最大距离.【解析】【详解】=1依题意可设l: Y =立+巾化工。）因为直线l与圆O相切，所以，O到直线l的距离为1,即这样的直线必与椭圆交于不同的两点叫力）,t v = kx + m, ,联立年+9六9二18km得(l + 9k 拉 +18kmx + (9m - 9) = 0，得至l-9k9km所以AB的中点坐标为 1 +弘1 + 9km 19 kmV=* T* +)AB的中垂线方程为l + 9k卜1 + 9k8kmx + ky += 0O到直线中垂线的距离8

7、km将代入由均值不等式,Skm1 + 9k2 d =l + 9k2 d =,1 + 9k2s6k|“k得l + k一冈二一m,当且仅当 三时取等号10时,原点到AB的中垂线的最大距离为, c 几 a E R12.设max x7 + ax + b| i 1,且对任意实数b均有也”，求a的取值范围.【解析】【详解】解 1: f= X，+ ax + b,对于 |b| I=|f| 之 1,所以只要考虑.a=一40(1)当2 时，即3兰此时函数f“)的最值在抛物线的左右端点取得，对任意 也有f(l) l + a + b f =b，所以 f(l) = l + a + bil解得a 10 Q - W (2)

8、当 工2时，即-1日0,此时函数f(x)的最值在抛物线的顶点和右端点取得， 而对b=0有,口)1邛+司彳1, I 2J 41 a一_1(3)当2之时，即 21时，此时函数 M的最值在抛物线的顶点和左端点取得，2=|4 1而对b=0有f厂制214.a=_ 1(4)当之 时，即32,此时函数*x)的最值在抛物线的左右端点取得，对任意现(1有 f| = |切1,所以f(l) = l + a + b-l,解得”3.综上或 max |x7 + ax + bl 1解2：设乂印训，则有加训，m“l + ”b尸2m或十|l + a + b3l + a依l + a| 题意，2,或土201S1 4nX X XA

9、x13.设实数 x1, x2,，x2018满足 n+1 n(n=1, 2,，2016)和,证明：V V 1证明：由条件n 2同号反证法，假设1009 1010.X XX X(1)若 如 I。1。同为正数，由“同号可知Xi, X2,，X2018同号.Xn +2 *1009 X10I0 mw宣 H 1 a1009a1010 - A1011A1008 A1011A1008,X1009 X1009 X1DO0 X1011 X1012 X1012W - K1007K1012 1同理类似可证明：K10O6X1013 1, 州5*10141 ,，算也018 ”.2018ni 因此口=i ,矛盾.VVV X(

10、2)若 T 2W同为负数，由12同号可知xi, X2,，X2018均为负数，仍然有工Kn+1 +24 力=& 1 nn*Zn iI,类似（1）可证得.14.将2np3 2）个不同整数分成两组 ai a2 ，an； bi b2,，bn.证明:1 j n【答案】见解析【解析】【详解】Tn= lai - bjl - 眄间+ |b叫1 n1 i ） n证明：令下面用归纳法证明 当 n=2 时，不妨设 aia2, bi b1=T2 =% + % + % ) 2假设对正整数n成立，对正整数 n+1, a不妨设 ?b, a , b, 再设k rt + 1 I、则有：nnnTn + i力6+司+ 瓦+1* -

11、工|%+力 i = li= 1i=ln-lbn + l- bi| + lbn-H-an + l| +Tn2瓦+ r ail +川一2味小Zh小厂小0下证由(1) 与 1 Qi = 1i5li_1i = lisk+1(2)若%*】0,则 nnnnn2瓦+ i小2旧1 1飞卜2瓦+ 1-司-力-讣工出3+。j = ii =1j = ij iis 1.15.如图所示将同心圆环均匀分成n(n-3)格.在内环中固定数字 1n.问能否将数字1n填入外环格内，使得外环旋转任意格后有且仅有一个格中内外环的数字相同？j 1=n-2, jn-1 = n-4, j3= n-6, ，第7页共8页【答案】见解析【解析】【详解】设对应于内环1, 2,，n的外环数字为ii, i2,，in,它是数字1, 2,，n的一个 排列.对k=1, 2,，n,记外环数字ik在按顺时针方向转动jk格时，和内环数字相同， 即i, - k = j, rriodn,k=1, 2,，n.根据题意，j1，j2,，jn应是0, 1, 2,，n-1的排列.求和n