函数单调性习题课

1、函数的单调性函数的单调性习题课习题课复习准备复习准备 对于给定区间对于给定区间D上的函上的函数数f(x)，若对于，若对于D上的任意两上的任意两个值个值x1,x2，当，当x1x2时，都有时，都有f(x1)f(x2),则称则称f(x)是是D上的上的增（减）函数，区间增（减）函数，区间D称为称为f(x)的增（减）区间。的增（减）区间。1、函数单调性的、函数单调性的定义是什么？定义是什么？复习准备复习准备1、函数单调性的、函数单调性的定义是什么？定义是什么？2、证明函数单调、证明函数单调性的步骤是什么？性的步骤是什么？ 证明函数单调性应该按证明函数单调性应该按下列步骤进行：下列步骤进行：第一步：取值第

2、一步：取值第二步：作差变形第二步：作差变形第三步：定号第三步：定号第四步：判断下结论第四步：判断下结论复习准备复习准备1、函数单调性的、函数单调性的定义是什么？定义是什么？2、证明函数单调、证明函数单调性的步骤是什么？性的步骤是什么？3、现在已经学过的、现在已经学过的判断函数单调性有判断函数单调性有些什么方法？些什么方法？数值列表法（不常用）、数值列表法（不常用）、图象法、图象法、定义法定义法题型一：用定义证明函数的单调性题型一：用定义证明函数的单调性例例1、判断函数、判断函数f(x)=x3+1在在(,0)上是增函数还是减函上是增函数还是减函数，并证明你的结论；数，并证明你的结论；如果如果x（

3、0，），），函数函数f(x)是增函数还是是增函数还是减函数？减函数？是减函数，证明如下：是减函数，证明如下：上上，在在解：解：)0(1)(3 xxf2121,)0(xxxx 且且上上任任取取，在在)() 1() 1()()(22221123231211xxxxxxxxxfxf 222211243)2()(xxxxx043)2(, 02222112 xxxxx又又)()(, 0)()(2121xfxfxfxf 即即所以所以f(x)在在(,0)上是减函数上是减函数 证明函数单调性证明函数单调性的问题，只需严格的问题，只需严格按照定义的步骤就按照定义的步骤就可以了。可以了。题型二：图象法对单调性的判

4、断题型二：图象法对单调性的判断例2：指出下列函数的单调区间： 3222112 xxyxy例2：指出下列函数的单调区间： 3221122 xxyxy 如果函数的图象如果函数的图象比较好画，我们就比较好画，我们就画图象观察画图象观察图图象法象法利用图象法求单调区间的时候，利用图象法求单调区间的时候，应特别注意某些特殊点，尤其应特别注意某些特殊点，尤其是图象发生急转弯的地方。用是图象发生急转弯的地方。用它们将定义域进行划分，再分它们将定义域进行划分，再分别考察。别考察。题型二：图象法对单调性的判断题型二：图象法对单调性的判断结论结论1：yf(x)(f(x) 恒不为恒不为0），与），与 的单调性相反。

5、的单调性相反。)(1xfy 题型三：利用已知函数单调性判断题型三：利用已知函数单调性判断例3：判断函数xxxy4)2(22 在(1,+)上的单调性。）上上为为减减函函数数。在在递递减减，故故原原函函数数）（为为正正数数且且增增函函数数，时时，而而当当（解解： ,1(4244)2(1,4)241222xxuxxy题型三：利用已知函数单调性进行判断题型三：利用已知函数单调性进行判断例4：设f(x)在定义域A上是减函数，试判断y32f(x)在A上的单调性，并说明理由。解：解：y=32f(x)在在A上是增函数，上是增函数，因为：因为：任取任取x1，x2A，且，且x1f(x2),故故2 f(x1)2f(

6、x2) 所以所以32 f(x1)32f(x2)即有即有y10时，单调性相同；时，单调性相同；当当k0)在某个区间上在某个区间上为增函数，则为增函数，则 也是增函数也是增函数) 1()(, )( nxfxfnn结论结论6：复合函数复合函数fg(x)由由f(x)和和g(x)的单调性共同决定。的单调性共同决定。它们之间有如下关系：它们之间有如下关系：f(x)g(x)fg(x)题型三：利用已知函数单调性进行判断题型三：利用已知函数单调性进行判断练习：求函数练习：求函数6)(2 xxxf的单调区间。的单调区间。答案：答案：(, 3单减区间单减区间2,+)单增区间单增区间注意：注意：求单调区间时，一定求单

7、调区间时，一定要先看定义域。要先看定义域。题型四：函数单调性解题应用题型四：函数单调性解题应用例1：已知函数y=x22axa21在(,1)上是减函数，求a的取值范围。1,a)1,1222 aaaaxxy即即，（，显然，（显然，（，的减区间是（的减区间是（解：解：解此类解此类由二次函数单调性求由二次函数单调性求参数范围参数范围的题，最好将二次的题，最好将二次函数的图象画出来，通过图函数的图象画出来，通过图象进行分析，可以将抽象的象进行分析，可以将抽象的问题形象化。问题形象化。练习：如果f(x)=x2(a1)x+5在区间（0.5，1）上是增函数，那么f(2)的取值范围是什么？答案：7,）题型四：利

8、用函数单调性解题题型四：利用函数单调性解题例2：已知x0,1,则函数的最大值为_最小值为_xxy 122211201 , 0)()(1 , 0)(1 , 0)(1)(22)(maxmin yxyxxgxfyxgxfxxgxxf时，时，当当时，时，当当上的增函数，上的增函数，是是上的减函数上的减函数是是上的增函数，上的增函数，是是则则解：令解：令 利用函数的单调性利用函数的单调性求函数的值域求函数的值域，这是，这是求函数值域和最值的求函数值域和最值的又一种方法。又一种方法。题型四：利用函数单调性解题题型四：利用函数单调性解题例3：已知：f(x)是定义在1,1上的增函数，且f(x1)f(x21),

9、求x的取值范围。可转化为不等式组可转化为不等式组解：依题意，解：依题意，)1x()1(2 fxf 1111111122xxxx 1020202xxxx或或21 x注：注： 在在利用函数的利用函数的单调性解不等式单调性解不等式的的时候，一定要注意时候，一定要注意定义域的限制。定义域的限制。保证实施的是等价保证实施的是等价转化转化题型四：利用函数单调性解题题型四：利用函数单调性解题例4：已知f(x)在其定义域R上为增函数，f(2)=1,f(xy)=f(x)+f(y).解不等式f(x)+f(x2) 33)2()4()8(2)2()2()4()()()( ffffffyfxfxyf解解：)2()2()

10、(2xxfxfxf 又又)8()2(2fxxf 由题意有由题意有 82020R)(2xxxxxf上的增函数上的增函数为为 42，解得解得 x 解此类题型关解此类题型关键在于键在于充分利用题充分利用题目所给的条件目所给的条件，本，本题就抓住这点想办题就抓住这点想办法构造出法构造出f(8)=3,这这样就能用单调性解样就能用单调性解不等式了。不等式了。题型五：复合函数单调区间的求法题型五：复合函数单调区间的求法例1：设y=f(x)的单增区间是(2,6)，求函数y=f(2x)的单调区间。上是单调递减的。上是单调递减的。），（在在，由复合函数单调性可知由复合函数单调性可知是单减的，是单减的，上上在在又又

11、），（），（而而）上是增函数，）上是增函数，（在在则由已知得则由已知得解：令解：令04)()2()0 , 4(2)(04622)(62)(,2)( xxtfxfxxxtxxxtttfxxt），的的单单减减区区间间是是（ 04)2(xf 小结小结1、怎样用定义证明函数的单调性？2、判断函数的单调性有哪些方法？3、与单调性有关的题型大致有哪些？取值取值作差作差变形变形定号定号下结论下结论小结小结1、怎样用定义证明函数的单调性？2、判断函数的单调性有哪些方法？3、与单调性有关的题型大致有哪些？1、定义法、定义法2、图象法、图象法3、利用已知函数的单调、利用已知函数的单调性，通过一些简单结论、性，通过一些简单结论、性质作出判断。性质作出判断。4、利用复合函数单调、利用复合函数单调性的规则进行判断。性的规则进行判断。小结小结1、怎样用定义证明函数的单调性？2、判断函数的单调性有哪些方法？3、与单调性有关的题型大致有哪些？1、已知单调性，求参数范、已知单调性