定积分的例题分析及解法

1、定积分的例题分析及解法本章的基本内容是定积分的概念、计算和应用一、定积分的概念1定积分是下列和式的极限bnf (x)dx = lim ' f ( i) ：xia '其中 二max" ：xifi <<因此，定积分是一个数，它依赖于被积函数f (x)和积分区间a,b定积分与积分变量用什么字母无关：bbaf(x)dxaf (t)dt2. 定积分的性质(1) 线性性质(2)(3)定积分的几何意义是曲边梯形的面积(当被积函数f(X)_ 0时)。bbbk1 f (x) k2g(x) d = k1 f(x)dx k2 g(x)dxa a abaaf (x)dx= - f

2、(x)dx, Jaf(x)dx = 0bcba f (x)dx= a f (x)dxcf(x)dxbb(4) 若 f (x) _g(x),则 f(X)dx g(x)dxaa，使下式成立(5) 积分中值定理：设f (x)在a,b上连续，则在a,b上至少存在一点J(x)dx= f()(ba),其中 久a.b。a(6) 估值定理：若 f (x)在a,b上可积，且 m乞f(x)空M，则有不等式bm(b-a)乞 f (x)dx 玄 M (b-a)ad x加")(7) 若函数f (x)在a,b上连续，则有3. 广义积分。二、定积分的计算1. 牛顿一莱布尼茨公式:baf(x)dx =F(b)-F(

3、a)2 换元法：注意，在换元的同时不要忘记换积分限3 分部积分法：bb bu(x)du(x) =u(x)u(x) a Lu(x)du(x)4定积分的近似计算：梯形，抛物线法。三、定积分的应用基本方法是：(1 )代公式；(2)微元法1. 平面图形的面积(1) 直角坐标系。注意选择合适的积分变量x或y可使计算简化(2) 参数方程(3) 极坐标系2. 旋转体体积3 平面曲线弧长4. 物量应用：变速直线运动的路程(已知速度函数 ：(t)，变力作功，引力，液体侧压力。注：定积分的几何应用可直接代公式，要求记住面积、体积和弧长的公式，定积分的物理应用强调用 微兀法，解题的一般步骤是：(1) 建立坐标系；(

4、2) 取典型微段；(3) 写出微元表示式；(4) 写出所求量的定积分表达式，并进行计算。一、疑难解析在这一章中，我们接触到了微积分学中的又一个重要的基本概念：定积分，与前面所学过的函数在某 点连续或可导等概念相比，定积分的概念显得要复杂些，定积分反映的是函数在一个区间上的整体性质， 当然定积分的概念也是利用极限的概念来建立的，这与连续、可导的概念相类似，但它是另一种形式的极 限，因此它的很多性质可以由极限的性质而得来，另一方面需要特别指出的是，与前一章不定积分的概念 相比，这两者只一定之差，却有着本质的不同，前者讨论的是函数的原函数，而后者是一个和式的极限。 这一点在学习过程不要使之相混淆。当

5、然，微积分基本定理(即牛顿一莱布尼茨公式)反映了定积分与不定积分的内在联系，或者说微分学与积分学的内容在联系。(一) 关于定积分的定义在定积分的定义中，极限nlim ' f ( i) ：xi0i 弓在存在不依赖于对 a,b 1区间的分法，也不依赖于i在小区间X2,X上的取法(i =1,2,. ,n，这两 点非常重要，不可缺少，换言之，若由于a,b的分割法不同而使极限nlim ' f ( i) xiJoy取不同，贝y f(x)在a,b 1上是不可积的：若上述极限由 i的取法不同而取不同的值时，f(x)在a,bl上同样不可积。函数f(X)在a, b 1上可积的条件与f(X)在a,b

6、 上连续或可导的条件相比是最弱的条件，即f(X)在a,b 1上有以下关系。可导=连续=可积反之都不一定成立。定积分ff(x)dx是一个数，当被积函数f (x)及积分区间a,b】给定后，这个数便是确定的了，它除ub了不依赖于定义中的区间分法和i的取法外，也不依赖于符号.f(x)dx中的积分变量x，即abbf (x)dx二.f (t)dt，因此，定积分记号中的积分变量可以用任何字母来表示，此外，对于定积分符号aabf (x)dx意味着积分变量 x的变化范围是a兰x乞b。(二) 有关定积分的性质在定积分的性质中，除了类似于不定积分的线性性质以外，还要记住下列基本公式：ab* f(x)dx f(x)d

7、xaf(x)dx = 0b1dx = b -aa定积分关于积分区间的可加性是一个很重要并且在计算定积分时常用的性质，即ebba f(x)dx f(x)dx = :a f(x)dx当利用牛顿一莱布尼茨公式计算定积分时，若被积函数是分段函数，就需用到这条性质，另外在解定积分的几何应用问题时，也要经常用到这一性质，要注意到在利用这个性质时，C点并不一定在la,b 1内部，可以有c：a，或者c b，前提是只要被积函数在每个相应的区间上都是可积的。由于定积分反映的是函数在一个区间上的整体性质，所以不能用它来研究函数的局部性质，例如有两个在a, b 1上可积的函数f (x)和g(x)，若f(x) g(x)

8、 (x a,b)则由定积分的性质知道bba f(x)dx ag(x)dx反之，当bba f(x)dx ag(x)dx成立时，却不一定在a,b 1 上恒有 f(x) .g(x).例如，设 f (x) = . 1 -x2,g(x) =2在1,1 上有411応J(x)dx =二、1 -x dx= 21 1 -J (x)dx1 一 x2 dx 二？显然1 1f(x)dx g(x)dx但我们注意到一 3、,93,3、f ( )g ()44444奇函数或偶函数在对称区间上的定积分的结论也是很有用的，但要求被积函数是奇函数或偶函数，积 分区间的对称区间l-a,a 1,不过在解题时可以活用，例如此函数既非奇函

9、数也非偶函数，然而若设fi(x)1 - x2f2（X）=则fi（x）是奇函数，f2（x）是偶函数，且f(X)二 fi(x) f2(x)利用定积分的线性性质及奇偶数在对称区间上的积分结果很容易计算出211x52dx2 2 1dx212 dx三1 - x=0+4广 1 dx21=4a r c sxn =0（三）关于变上限的定积分若f （x）在a,b】上连续，则变上限积分xG(X) f (t)dta是a,b i上的一个可导函数，自变量是x，且A(x)二 f(x)同样可以考虑变下限的定积分，即bG(x) f (t)dtLx显然bxG(x)=(t)dt) =(- b f(t)dt)有时我们可能还会遇到形

10、式上更一般的变上限积分g(x)(x)、f(t)dt同样可以求g(x)的导数(在(x)可导的条件下)，就是先将:(x)看做一个中间变量， 再利用复合函数的求导法则求出g(x)的导数:例如求极限x20 In(1 t)dt lim 0x_-x4利用洛必达法则有x24 In(1+t)dt)原式二lim -4T (X4)"4x3(四)关于牛顿一莱布尼茨公式Jim2 XQ12 2ln(1 x )x1.In e21 2x2牛顿一莱布尼茨公式不仅在定积分这部分内容中， 要表面在以下方面：1.当被积函数连续时定积分的计算可通过求原函数来进行:而且在整个微积分学中都是一个很重要的结论,若F(x)是f(x

11、)的一个原函数，则baf(x) = F(b)-F(a)因此这个公式揭示了定积分与不定积分之间的本质联系，这种本质联系还可由下列两个公式来阐明f(x)dx=f(x)dxXf(x)dt = dx af(x)2 由bnnf (x)dx = lim ' F (xj . * = lim ' (dF)aWi可知定积分与微分之间的本质联系。还有一点要说明的是，虽然牛顿一莱布尼茨公式简化了定积分的计算，但某些函数的定积分却无法用这个公式来计算，例如下面的两个函数x2si nxf (x)二 e 及 g(x)二x都是连续函数(对于 g(x)，只需令g(0) =1便成为连续函数)，由于这两个函数的原

12、函数都不是初等，因此无法用牛顿一莱布尼茨函数(后面的章节中可以看到这两个函数的原函数可表示为幕级数的形式) 公式来计算这两个函数在某个区间上的定积分。(五) 换元积分法的运用定积分的换元法与不定积分换元法类似， 差别在于：在定积分的换元积分法中，每进行一次变量替换, 同时要将定积分的上下限作相应的改变， 而在关于新积分变量的原函数求出后， 不要将新变量解换成旧积 分变量。(六) 定积分的应用1 定积分的几何应用，记住面积、弧长和旋转体体积的计算公式。对于面积问题，选择合适的积分变量，有时可简化计算；对于弧长问题，要先计算.1 (y)2 ;对于旋转体体积问题，要分清是绕OX轴还是绕Oy的轴旋转。

13、2 定积分的物理应用，一般使用微元法。具体计算时按照下列四个步骤进行:(1) 建立坐标系：确定所求的总体量Q所在的区间 a,bl：(2) 取微段：将a,b】区间划分为一些微段 (小区间)之和，在微段 x上总体量Q被划分为微量 Q ；(3)表示微量：确定函数f (x)，使得 Q f(x) . ：x(4) 用定积分表示总体量并计算：' f(x) x就是总体量Q的近似值，取极限便可得到bQ = a f (x)dx ;这就是微元法的解题过程(七) 关于广义积分广义积分是定积分的推广，以无穷积分为例，我们知道bf (x)dx = im & f (x)dx:dx要记住-p的收敛性。F(x)

14、是f (x)的一个原a x在计算收敛性的广义积分时也要有类似于牛顿一莱布尼茨公式的计算式，即若函数，则J 产 f(x)dx = F(x)j=F(如)-F(a)其中F( ：)表示极限lim F(b)，如果此极限存在，则广义积分收敛，且即可由此求出其值，如果 此极限不存在，则广义积分发散。在求广义积分的值时，也有与定积分相类似的换元各分法和分部积分法。、例题分析例1 为下列各题选择正确答案:1 1 2(1) Qexdx与ex dx相比，有关系式()1J0exdx <1 1oedx02ex dxA .1 20e' dxdxXe1 -dd2Xe1 o17si ntsi naA.B.-ta

15、(3) 下列等式中正确的是()d bA. f(x)dx = f(x) dx ad xC. af(x)df(x) dx ab(4) 屮3x)=()*asinxC. cosxD.x-IB. 一 f (x)dx = f (x) C dxD. f (x)dx = f (x)A. f(b)-f(a)C. 1f (3b) - f (3a) 1 3B. f(3b)-f(3a)D. 3f (3b) - f (3a)b 32(5)设 | = J 2x f (x )dx(b AO)，则()1 b4b2A.1 =2 of (x)dxB. 1 二02xf (x)dx1 b2b2C.1 =2 of (x)dxD. 1

16、Jxf (x) dx解(i)当0 ： x : 1 时，有 x2 : x。由于指数函数y =ex是单调增函数，因此当 0 ： x ： 1时有x e2 X e由定积分的性质可知1 2ex dx正确答案选择B。(2 )由变上限定积分求导结果得到正确答案应选择D。(3)由不定积分的定义，导数运算，变上限积分的求导结果得d bf (x)dx 二 0dx aplf(x)dx=f(x) dxd xa f (x)dx = f (x) dx af (x)dx 二 f (x) C正确答案应选择(4)由于C。11.(f (3x)" = f (3x)，即一 f (3x)是f (3x)的一个原函数，故由牛顿一

17、莱布尼茨公式得333 ' 'ba f (3x)dx1f (3b) - f (3a)正确答案应选择(5) 利用凑微分法b 32a2"f(x )dx 二b 2220x f(x )d(x )2b2x =u 0 uf (u)du定积分与表示积分变量的符号无关，即b2I = .0 xf (x) dx正确答案应选择D例2 给出下列各题的正确答案:x(1)£ sin tdt lim 2 x 0 x255设 f (5) =2,5 f (x)dx =3,则 0 xf (x)dx 二(3)<4x2dx 二a/(xcosx -5sin x 2)dx =(5)如果b 0，且b

18、In xdx = 1,那么 b =(1)此极限是0型，利用洛必达法则得0xsintdt lim “x_0x(sintdt)二 lim 0_丁x e (x2)s i rx二 limx刃2x1 r s i rx1lim2 x 刃 2x 2由定积分的分部积分法，得50xf (x)dx = 0xd(f (x)=xf (x)550.0f(X)dx=10-3 = 7(3)被积函数的曲线是圆心在原点，半径为2的上半圆周，由定积分的几何意义可知由此积分计算的是半圆的面积，故有2 4-x2dx 二-2(4) 利用定积分的线性性质可得aaa-a0,再利用熟知的结论得原式 xcosxdx- 一 5sin xdx 亠

19、 i 2dx -a而前两个积分的被积函数都是奇数，故这两个定积分值均为a原式 2dx = 2 ldx 二 4a© a» a(5) 利用分部积分法得b1 In dx=x| nx円b 1x 一 dx二 bln b -(b T) = bln b -b 1由已知条件得bln b b 仁 1由此得bln b - b = 0 ,艮卩 bln b = bb = 0 , In b = 1，即得 b = e。例3利用定积义的性质证明不等式=2心22e 4 乞 ° e dx 乞 2e分析本例要解决的是定积分的估值问题，由估值定理有：若可积函数f(x)的区间a,bl上满足m _ f (

20、x) _M，则m(b - a) _ a f (x)dx _ M (b - a)故本例的关键是确定被积函数e"在0,2 1上的最大值及最小值。由e1可知ex是单调增加的函数，因而只要求出y=x2x在021上的最大值M1，及最小值mi，则M = eMl， m ue®就是ex »在0,2 1上的最大值及最小值。证明 y=x2-x，因 y'=2x-11令y、0得x二丄2由yQ) - -1 ，y(0) = 0, y(2) = 2,知y = x - x在0,2上的最大值和最小值分别为Mi =2, -，又因为y=ex是单调增加函数，因而在 0,2】上有41 2e 4乞e

21、x乞e2再利用定积分的性质便得出- 2 2 2(20)e 4 乞,oexdx m(2 0)e212即2e < (ex2»dx 兰 2e2例4 设e2x 2y 二 g(x)0 (t2-2t 1)dt求 g (x)分析本例为变上限定积分求导，因变动的上限是自变量 x的函数，故要用到复合函数求导法则。2 x解 设u =e ，则得到以U为自变量的函数。U 2y = .°(t -2t 1)dt根据变上限定积分的性质可得于是从而得到虬 u22u 1dug(x) =G(u)g'(x)吒dU22x(u2u 1)2e dx2 x , 4x2xg (x) =2e (e -2e1)

22、小结从本例可以知道，对于变上限的定积分g(x)a(x)f (t)dt其中(x)是可微函数，f (t)可积，则g (x) = f ( ：(x) (x)。例5(1)用换兀积分法计算下列定积分0dxJ x2 2x 29 Vx(2) 4 x-1dx(3)e3dx12f(4) t pdx1 x1 x 11 1 n x分析有了牛顿一莱布尼茨公式，求定积分的问题实质上就归结为原函数的问题。但定积分的积分法也有自身的特点，以换兀积分法为例，“换兀变限”就是这它的特点，解题时一定要注意，且积分限的变换必须上下对应。用第一换元法求定积分时，也可以只凑微分不换元，因此不变积分限，总的原是则：若换元，须变 限，只凑微

23、分不变限。解 (1将被积函数整理成1 1 12_ 2 _ 2x 2x 2 (x 2x 1) 1 (x 1)1令 x，1=t，则 dx=dt，当 x-2 时 t - -1，x=0 时 t=1，原定积分0 dx0 d(x 1)x2 2x 2，(x 1)211=a ret an =亠此题也可直接凑微分计算:0 d(x 1)7(x1)1=2d a r ct axn (1) .1 =a rct axn (1)JI 2dx = 2tdt ,x49所以3 2t2x -12t -1t-1dt(2)对原积分作变量替换，令 一 X =t，则有X=t,t -131= 22(t 1)dt331= 22(t 1)dt

24、22dt t 1=(t +1)2 2+21 nt 1= 16-9 2ln 2-21 n1 = 7 2ln2(3)对原积分作变量替换，令In x =t,则x,dx 二 etdt ,x13 et03e3dx3 dt.1 t对此积分继续作变量替换，令.1 t二u，则有t =u2 -1, dt =2udu ,t30u21由此又得dt12udu2= 2x2即此题也可以直接凑微分计算:e3dx1 x1 In x=2原积分=：3d(1 Tnx) 'V'V I n X(4)对原积分作变量替换，令得, e3= 2(+1 n x =4-2 =211t，则 dx 2 dt，xt212exV1=- 1

25、 e dt = et此题也可以直凑微分计算:1原积分exd ()1 x1= -,d(ex)=e-小结 1。积分限是积分变量的变化范围，如果积分变量改变了，则积分限必须同时改变，如果积 分变量不变(例如用凑微分法时)则积分限不变。2新积分变量的上限对应于旧积分变量的上限，新积分变量的下限时应于旧积分变量的下限。例如1上例中不能因为2ex1 t2 dx = - 1 e dt。 x例6 用分部积分法求下列各定积分:n(1)2 e2x cosxdx0(2)eJ In xdxe分析定积分的分部积分公式bu(x)d (x)二 u(x) (x)ab-(x)du(x)a亠“b中的u(x)u(x)是一个常数，在

26、计算过程中要随时确定下来，在计算第( a数的绝对值号，这就需要根据绝对值的性质适当利用定积分对区间的可加性质。 解H31(1)02 e2x c o xd02 e2xd ( s i x)2)小题时应先设法去掉被积函=e2xs i rxji222x2 s i rx d e_3T=e： 一 :2e2x s i rxd x=e- 022e2xd(cox)-2x=e 2e coxji2-o 4e2xc o sdx二 #2 - 4 02 e2xcoxdx从上述等式经移项和整理后得出(fcosxdx-2利用(2 )首先去掉被积函数的绝对值号，因为定积分的性质则得到1x : 1 时，In x 0 ；当 1 ：

27、 x ： e 时，In x 0， ef1|ln xdx =伸n xdx +e(In xdx1e-1In xdx 亠 I In xdx1e1 x1 dx e x其中第二个积分为e1In xdx第一个积分为e=xI n x1 x1- dx；xe最后得出jjIn xdx = 2e例7 设f(x)是以T为周期的周期函数，且f(x)在任意有限区间上连续，试证：对任意的a，等Ta Tf (x)dxf (x)dx0a成立分析周期函数的特点，就是每隔一个周期而重复出现，如图，是一个周期函数的图形，从图中的几何意义可以直观看出结论是成立的。那么如何从理论上给予证明呢？从图上看现在要证明TTa设 t =x T，则

28、 f(x)二f(t)，且 x=0 时，t =T，x=a时，t=a，T，于是上式可得证。证明由定积分的区间可加性质可得TaTf (x)dx f(x)dx f (x) dx00aa TTa Taf (x)dxa f (x)dx Tf(x)dx即要证明对于定积分交量替换t = x T，则dx = dt，aa T0f(x)dxTf(x)dxa0 f (x)dxx0a因而tTa+Taa T0 f(x)dxTf(t T)dta Ta Tf(t)dtmTf (x)dx最后得到等式Ta Tf (x)dxf (x)dx0a这个等式说明周期函数在任意一个以周期T为长度的区间的定积分都是相等的，它形象地反映出了周期

29、函数的性质，读者可从图形上理解此性质的几何意义。例8 设f (x)在0,1上连续，证试：:f (sin x)dx = °2 f (cosx)dx证作变量替换xt，则dx = -dt，2TF-20二2 f (sin x)dx = f (sin(t)( 1)dt0220-二 f (cost)dt2=o2 f (cost)dt=:f (cost)dx即:f (sin x)dx = ； f (cosx)dx本例中也可先对等式右端进行相同的变量替换，同学们自己不妨一试。例9求下列各曲线围成的平面区域的面积：(1) y=0, y = .、x,x=2( 2) y=x-2,x=y2分析 用定积分计算

30、平面区域的面积，首先要确定已知曲线围成的区域；再由区域的形状选择积分 变量(x或y)，这主要是为了计算方便，最后确定积分限。当计算公式。b2 方 f(x) -g(x)dx中的f (x)或g(x)为段函数时，面积需要分块计算。解 (1)曲线所围平面区域如图所示，设此面积为A。则有2 A ( . x -0)dx32 2x23(2)曲线所围平面区域如图所示，设此面积为A，则有第口）題图第题图1 Lf4 厂A = AiA2 = 0( - x -( ；x)dx 亠 i ( x -(x-2)dx=q2< xdx 亠 I (. x -x 2)dxA33+ (2x2 _ + 2x)4 16 ,2 1 c

31、、 ， 1（2）二 4 亠一3 33 22还有一种简便的方法，若以y做为积分变量，则有2 2A (y 2 - y )dy8 1 1 珂2 4八一2 3)例10求抛物线y =x介于（0，0）点及（2，4）点之间的一段弧分别绕 x轴与y轴旋而成的旋转体积。分析 曲线y二f （x）绕x轴或y或旋转形成的旋转体体积为4(y)2dy其中区间a, b 与 c,d分别是曲线在x轴与y轴上的投影。解设曲线绕x轴与y轴旋转而成的旋转体体积分别为VX和Vy，由旋转体体积的计算公式有322 2Vx(x )dx =o同样可得Vy 之：( .x)2 d-y2由此可以看出同一条曲线段绕不同坐标轴旋转所得的旋转体积一般是不

32、相等的。例11一半圆形水沟的半径为 r,流满了水，求在这种水位下，液体对沟的一端上的闸门的侧压力分析本例是定积分的物理应用，用微元法求解，解题步骤是：建坐标系；取微段（分割）A的平板，水平放置在深为h的液体中，所受压力为将总体量表示为定积分并计算。解根据物理知道，一面积为F = Ah ，其中为液体比重建立坐标系的方法如图，取微段x，它所对应的微条面积为该微条在液体中所受压力为lF 2 r2 -x2lx x 9.8=19.x、r2 -x2 ：x其中水的比重=1千克/米3= 9.8牛顿/米3，闸门受的压力即为r 一=19.6xdr2 -x2dx = -19.6（r2-x2）- 19.6 3，住日、

33、r （焦耳）3例12判断下列广义积分的收敛性，对于收敛的无穷积分，求无穷积分的值。:dxxdx(2) xdx §（3）e xln x'e(1 + x)=e(1)分析无穷积分要先判断收敛性，对收敛的无穷积分求值，与计算定积分类似，但要注意由无穷分 本身性质而决定的一些特殊情况。解 （1）利用凑微分法便得be dx "he 1f d(lnx) = lnlnxe xlnx e Inx=+oC所以原无穷积分是发散的。（2）由于x1X1(1 x)3(1x)3123(1 X) (1 x):xdx1 (1 x)3dx2(1 x):=dx)(1 x)3注意：在利用公式址110 一L

34、 "(1+X)2)1 1=(0-(-1)-(0-(-2)专/(f(x) g(x)dx ='f (x)dx . ' g(x)dxaa时，前提是等式右端的两个无穷积分都收敛，若(f (x)dx和g (x)dx都发散，则不能利用这aLaf (x) g(x)的原函数F(x0)-boa 。(3)利用分部积分公式。二 arcta nx1dxarcta nx()1x-larcta n xx说 dxx(1x2)31=+4说 dx2x(1 X )令 x2 =t,则 2xdx = dt ,x11得到誌 dx2x(1 X )1 )dt所以，原广义积分注意：正如前面提到的,:dt= -2(1

35、 nt -1n|l+t|)=丄(0_1 n1)=丄1 n22 2 2兀 12 dxIn 2x24 2:1 1本例中在计算()dt时，若将广义积分表示成1 't 1+t=11、: = dt 二 dt1 t 1 t 1 t 1 1 t二 arcta nx11t都是发散的，故无法计算出它的结杲。条利质，因此时(f(x) g(x)dx也有可能是收敛的，这时就需要直接求出a二、自我检测题(一)单项项选择题i设f(x)a,b 1上连续，则f(X)在a,b 上的平均值是(f (b) f (a)2B.ab f(x)dx1 b2 af(X)dXx32.设函数(x) = a f(t)dt，则(x)=()A. f(x)B. f(x3)2C. 3x f(x)3D . 3x f (x )3设f (x)是连续函数，且为偶函数，则在对称区间1- a, a 1上的定积分f(x)dx二(.a0A. 0B. 2 f (x)dx.a0C. f (x)dx-aa0 f(x)dx