港澳台学生联考试题：数学--数列各种简单综合题(含答案)

1、 数列综合题1.已知数列n a 是公差不为0的等差数列,12a =,且2a ,3a ,41a +成等比数列.(1求数列n a 的通项公式;(2设(22n n b n a =+,求数列n b 的前n 项和n S .2.设数列n a 的前n 项和为n S ,且(.,2,112=-=n a S n n .(1求数列n a 的通项公式;(2若数列n b 满足(2,.,2,111=+=+b n b a b n n n ,求数列n b 的通项公式.3.已知等差数列n a 的公差0> d ,其前n 项和为n S ,11=a ,3632=S S ;(1求出数列n a 的通项公式n a 及前n 项和公式n

2、S (2若数列n b 满足2(,211=-=-n d b b b nn n ,求数列n b 的通项公式n b 4.等差数列n a 中,11-=a ,公差0d 且632,a a a 成等比数列,前n 项的和为n S .(1求n a 及n S ;(2设11+=n n n a a b ,n n b b b T += 21,求n T .5.已知数列n a 满足22a =,n S 为其前n 项和,且(1(1,2,3,2n n a n S n += .(1求1a 的值;(2求证:1(21n n n a a n n -=-;(3判断数列n a 是否为等差数列,并说明理由.6.已知等比数列n a 的前n 项和

3、为n S ,且满足(122n n S p n N +*=+.(I 求p 的值及数列n a 的通项公式;(II 若数列n b 满足(132n n a b n a p +=+,求数列n b 的前n 项和n T . 7.在数列n a 中,c c a a a n n (,111+=+为常数,*N n ,521,a a a 构成公比不等于1的等比数列.记11+=n n n a a b (*N n .(求c 的值;(设n b 的前n 项和为n R ,是否存在正整数k ,使得k k R 2成立?若存在,找出一个正整数k ;若不存在,请说明理由.8.已知数列n a 的前n 项和为n S ,(*31N n a

4、S n n -=.(求21,a a ;(求证:数列n a 是等比数列.9.设数列n a 的前n 项和122n n S +=-,数列n b 满足21(1log n nb n a =+.(1求数列n a 的通项公式;(2求数列n b 的前n 项和n T . 10.已知数列n a 的前n 项和为n S ,且2n n S n +=2.(1求数列n a 的通项公式;(2若*(,1211N n a b n n n n -+=+求数列n b 的前n 项和n S .11.在数列n a 中,31=a n n 2,n 2-n 21*-+=且(n n a a (1求32,a a 的值;(2证明:数列n a n +是

5、等比数列,并求n a 的通项公式;(3求数列n a 的前n 项和n S .12.若数列n a 的前n 项和为n S ,对任意正整数n 都有612n n S a =-,记12log n n b a =.(1求1a ,2a 的值;(2求数列n b 的通项公式;(3若11,0,n n n c c b c +-=求证:对任意*2311132,4n n n N c c c +< 都有. 13.设数列a n 是等差数列,数列b n 的前n 项和S n 满足3(12n n S b =-且2152,.a b a b =(求数列a n 和b n 的通项公式:(设T n 为数列S n 的前n 项和,求T n

6、 .14.在数列n a 和等比数列n b 中,01=a ,23=a ,1*2(n a n b n N +=.(求数列n b 及n a 的通项公式;(若n n n b a c =,求数列n c 的前n 项和n S .15.设等比数列n a 的前n 项和为n S ,已知对任意的+N n ,点(,n n S ,均在函数r y x +=2的图像上.(求r 的值;(记n n a a a b 2log 2log 2log 22212+= 求数列n 1的前n 项和n T . 16.设数列n a 满足:11,a =(121*n n a a n N +=+.(I 证明数列1n a +为等比数列,并求出数列n a

7、 的通项公式;(II 若2log (1n n b a =+,求数列11n n b b +的前n 项和n S .17.已知数列n a 是一个递增的等比数列,前n 项和为n S ,且42=a ,143=S ,求n a 的通项公式;若n n a C 2log =,求数列+11n n 的前n 项和n T 18.数列n a 中,12a =,1n n a a cn +-=(c 是常数,123n = ,且123a a a ,成公比不为1的等比数列.(求c 的值;(求n a 的通项公式. 19.已知数列n a 的前n 项和n S 满足21n n S a =-,等差数列n b 满足11b a =,47b =.(

8、1求数列n a 、n b 的通项公式;(2设11n n n c b b +=,数列n c 的前n 项和为n T ,求证12n T <.20.已知数列n a 的各项都是正数,前n 项和是n S ,且点(,2n n a S 在函数2y x x =+的图像上.(求数列n a 的通项公式;(设121,2n n n nb T b b b S =+ ,求n T .21.已知等差数列n a 满足:37a =,5726a a +=,n a 的前n 项和为n S .(求n a 及n S ;(令b n =211n a -(n N *,求数列n b 的前n 项和n T . 22.已知数列n a 中,13a =

9、,满足2(1221-+=-n a a nn n 。(1求证:数列-n n a 21为等差数列;(2求数列n a 的前n 项和n S .23.已知公差不为零的等差数列n a 中,37a =,且1413,a a a 成等比数列.(求数列n a 的通项公式;(令211n n b a =-(n N *,求数列n b 的前n 项和n S .24.设数列n a 的前n 项和为n S ,11a =,0n a >,24(1n n S a =+,n N *.(求数列n a 的通项公式;(求数列2n na 的前n 项和n S . 25.已知等比数列n a 中,113a =,公比13q =.(I n S 为n

10、 a 的前n 项和,证明:12n n a S -=(II 设31323log log log n n b a a a =+ ,求数列n b 的通项公式.26.已知数列n a 是等差数列,22 , 1063=a a ,数列n b 的前n 项和是n S ,且131=+n n b S .(I 求数列n a 的通项公式;(II 求证:数列n b 是等比数列;27.已知数列n a 满足11=a ,且,2(22*1N n n a a n n n +=-且(1求证:数列n n a 2是等差数列;(2求数列n a 的通项公式;(3设数列n a 的前n 项之和n S ,求证:322->n S n n .

11、28.已知等差数列n a 的公差大于0,且53,a a 是方程045142=+-x x 的两根,数列n b 的前n 项的和为n S ,且n n b S 211-=(*n N .(1求数列n a ,n b 的通项公式;(2记n n n b a c =,求证:n n c c +1.29.已知等差数列前三项为,4,3a a ,前n 项的和为n s ,k s =2550.求a 及k 的值;求12111ns s s + 30.设数列n a 的前n 项和32n n S a =-(1,2,n =L .(1证明数列n a 是等比数列;(2若1(1,2,n n n b a b n +=+=L ,且13b =-,

12、求数列n b 的前n 项和n T .北京博飞-华侨港澳台培训学校 2 2 an * 31在数列 an 中, a1 = ,且对任意的 n Î N 都有 an +1 = . an + 1 3 1 * (1求证: - 1 是等比数列； (2若对任意的 n Î N 都有 an +1 < pan ,求实数 p 的取值范围. an 32已知数列 a n 及其前 n 项和 S n 满足： a1 = 3，S n = 2S n -1 + 2 （ n ³ 2 ， n Î N * ）. n （1）证明：设 bn = Sn ， bn 是等差数列；（2）求 S n 及 a

13、n . 2n 33已知数列 a n 满足 a1 = 1, a 2 = 3, a n +1 = 4a n - 3a n -1 n Î N , n ³ 2 ， （1）证明：数列 a n +1 - a n 是等比数列，并求出 a n 的通项公式 ( * ) 北京博飞华侨港澳台学校 11 网址： 北京博飞-华侨港澳台培训学校 34已知数列 an 满足： a1 = 1, an +1 = 3an + 4 ； （1）求 an ；（2）设 bn = n ( an + 2 ) ，求数列 bn 的前 n 项和为 S n 。 35已知数列 a n 的前 n 项和为 S n ，满足 a n +1

14、= S n + 2n, n Î N ，且 a 1 = 0 . * （）求 a 2 ， a 3 ； （）若 b n = a n + 2 ，求证：数列 bn 是等比数列。 （）若 C n = 1 log 2 bn +1 log 2 bn ， 求数列 C n 的前 n 项和 Tn 。 36在数列 （I）求数列 中， 的通项公式; （II）求数列 , 的前 项和 北京博飞华侨港澳台学校 12 网址： 北京博飞-华侨港澳台培训学校 参考答案 1（1） an = 2n ; （2） Sn = n(a1 + a n = n 2 ;(2 bn = 2 n +1 - 2 2 n 4（1） a n = 2

15、n - 3 ， sn = n 2 - 2n ；（2） Tn = - 2n - 1 3(1 a n = a1 + ( n - 1 d = 2n - 1 , S n = 5（1） a1 = 1 ;（2）详见解析;（3）详见解析. 6（） p = -1 ， an = 2 n ；（） Tn = 2 - 7（1）2；（2）不存在 9（1） an = 2 ；（2） Tn = n n . n +1 2（1） a n = 2 n -1 ;（2） bn = 2 n -1 + 1 . 1 2 n -1 - n 2n 8（1） a1 = - 1 1 ， a2 = ；（2）证明见解析 2 4 2 n . n +1 1

16、0(1 a n = n ;(2 n + 1n+2 1 . n+ 1 - n +1 11(1 a 2 = 6, a 3 = 13 ；(2证明详见解析， a n = 2 - n ；（3） S n = 2 1 1 ；（2） bn = 2n + 1 ；（3）见试题解析 , a2 = 8 32 1 13（） an = 2n - 1( n Î N * ；（） (3n + 2 - 6n - 9 . 4 n +1 n 14（） an = n - 1 ， bn = 2 ；（） Sn = 4 + ( n - 2 ) × 2 . 12（1） a1 = 15（） r = -1 ，（） Tn = n

17、2 + n + 8 . 2 2n n . 16（I） an = 2 n - 1 ；（II） Tn = n +1 n +1 n 1 1 1 1 n -1 n 17 an = a1q = 2 ； Tn = = 。 + + +L+ c1c2 c2 c3 c3c4 cn cn+1 n + 1 18（） c = 2 （） an = n 2 - n + 2( n = 1， 2， L 19（1） an = 2 n -1 1 1 1 1 1 1 n Tn = 1 - + - + L + - = 1- = 。 2 2 3 n n +1 n +1 n +1 n n(n-1 2 n - 1=2n+1 ； S n =

18、 3n+ 21（1） an = 3 + （ ´ 2 = n 2 +2n （2） 2 4(n+1 20（） an = n ；（） 22(1用定义证明 (2 Sn = ( n - 1) 2 * ， bn = 1 + (n - 1 ´ 2 = 2n - 1 （2）证明如下 n +1 +n+2 n 4(n + 1 23（） an = 2n + 1 ( n Î N （） S n = 24（） an = 2n - 1 ；（） S n = 3 - 2n + 3 。 2n 25（1）根据已知的等比数列的通项公式和求和公式来得到证明。（2） bn = - 26（1） an = 4n

19、 - 2 ；（2）利用等比数列的定义证明 n(n + 1 . 2 27（1）利用等差数列的定义证明；（2） an = ( n - × 2 ；（3）先求和然后再利用放缩法证明 1 2 n 北京博飞华侨港澳台学校 13 网址： 北京博飞-华侨港澳台培训学校 2 n -1 28（1） a n = a 5 + ( n - 5 d = 2n - 1. bn = b1 q = n. 3 （2）利用数列的单调性，结合定义法作差法来得到单调性的证明。 29（1） a = 2, k = 50 。（2） 1 1 1 1 + + L + 1 - n +1 s1 s2 sn 3 an -1 . 2 30（）由 S n = 3an - 2