函数极限和连续Word版

1、1.1 函数教学目的理解函数、基本初等函数、复合函数、初等函数的概念；了解函数的单调性、奇偶性、有界性、周期性的概念；掌握基本初等函数的图像和性质；掌握复合函数的复合过程.教学重点基本初等函数的图像和性质；复合函数的概念及复合过程.教学难点函数几何特性的理解，复合函数的分解及复合.教学过程1.复习1.1函数的概念设有两个非空数集、，如果对于数集中的每一个数，按照一定的规则对应着数集中唯一确定的数，则称是定义在集合上的函数称为函数的定义域；称为函数关系；集合称为函数的值域，在函数的定义中，对应规则（即函数关系）及定义域是两个重要的因素例 函数与，它们的对应规则和定义域完全相同，所以它们是相同的函

2、数函数与，它们的定义域不相同，所以它们是不同的函数例 求下列函数的定义域：(1)；(2)；(3)；(4)解 (1)在中，解得，且，即定义域为(2)由，解得，即定义域为(3)由，解得，即定义域为2 / 24(4)当和都有意义时函数才有意义即，解得定义域为对应于定义域内不同的值，函数关系由不同的式子分段表达的函数称为分段函数例 设函数求及函数的定义域解 ；函数的定义域为1.2函数的几何特性函数的几何特性是指：有界性、奇偶性、单调性、周期性.例 判断下列函数的奇偶性：(1)；(2)；(3)；(4)解 (1)因为，所以在上是偶函数(2)因为，所以在上是奇函数(3)因为，所以在上是奇函数(4)因为，且，

3、所以在上是非奇非偶函数例 证明函数在区间内是单调递增的证明 设是内任意两点，且因为 即，所以在区间内是单调递增的2.讲授新课2.1基本初等函数基本初等函数是指常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数等六类函数2.1.1常数函数它的定义域是，图像是过点且平行于轴的直线常数函数是有界偶函数，而且是不存在最小正周期的周期函数2.1.2幂函数当为不同实数时，幂函数的定义域及性质也随之不同但不论为何值，在内总有定义，而且图像都经过点 2.1.3指数函数定义域是，值域是无论取何值，总有，且，所以函数图像全部在轴上方，且通过点时函数单调增加，函数单调减少.2.1.4对数函数定义域是，值域是

4、，图像全部位于轴右方无论取何值，曲线都通过点时函数单调增加，时函数单调减少.2.1.5三角函数三角函数包括下面六个函数： 函数的定义域为，值域为，有界，奇函数，周期为函数的定义域为，值域为，有界，偶函数，周期为函数的定义域为，值域为，无界，奇函数，周期为，在每个周期内单调增加，以直线为渐近线函数的定义域为，值域为，无界，奇函数，周期为，在每个周期内单调减少，以直线为渐近线2.1.6反三角函数反三角函数是相应的三角函数的反函数常用的反三角函数有下面四个： ，定义域为，值域为，单调增加，奇函数，有界，定义域为，值域为，单调减少，有界，定义域为，值域为，单调增加，奇函数，有界，定义域为，值域为，单调

5、减少，有界2.2复合函数和初等函数2.2.1复合函数先看例子，自由落体运动的动能是速度的函数，而速度又是时间的函数，那么动能与时间的关系是，称为复合函数设函数；函数，其值域为若非空，则称为的复合函数，称为中间变量对于复合函数，应注意下面几点：(1)由定义可知，不是任何两个函数都可以随意构成复合函数，例如和不能构成复合函数，因为的值域完全没有落在的定义域内(2)复合函数可以有多个中间变量，这些中间变量是经过多次复合产生的(3)复合函数通常不一定是由纯粹的基本初等函数复合而成，更多的是由基本初等函数经过四则运算形成的简单函数构成的，所以复合函数的合成与分解的对象常常是简单函数例 已知，将表示成的函

6、数解 例 指出下列复合函数的结构：(1) ；(2) ；(3) 解 (1)(2)，(3)，（或，）2.2.2初等函数由基本初等函数经过有限次四则运算与有限次复合构成的，且可用一个数学式子表示的函数，称为初等函数例如，都是初等函数.3.小结本次课的内容强调与高中课程的衔接，重点掌握基本初等函数的性质和复合函数的分解，这是学习后面课程的基础.练习：完成“练一练”习题.4.布置习题(略)1.2 函数的极限教学目的理解函数极限的定义；了解左、右极限的概念；会求左、右极限，并判断函数的极限存在与否.教学重点函数极限的定义.教学难点函数极限定义的理解，左、右极限的表述和求法.教学过程1.复习数列的极限自变量

7、为正整数的函数（称为整标函数），其函数值按自变量依次增大的顺序排成一列数，称作数列，简记作如果无限增大时，无限接近于某个确定的常数，则称当趋于无穷大时，数列以为极限，或称数列收敛于，记作或如果数列没有极限，就称是发散的如，不存在2.讲授新课将数列极限的概念推广到一般的函数，讨论定义于实数集合上的函数的极限2.1时函数的极限当的绝对值无限增大时，函数无限接近某个确定的常数，则称当时函数以为极限记作或若分别考察或时的极限，记作或. 的充要条件是例 求解 当时，；当时，所以有例 讨论下列极限:(1)和；(2)和；(3).解 (1)，即；，即不存在(2)，(3)，即周期性振荡，不存在2.2时函数的极限

8、例 考察当时，函数的变化趋势当时，函数没有定义，而当时，函数，可见， ，当在内无限接近时，函数无限接近某个确定常数，称当时函数以为极限记作要注意，函数在处的极限是否存在与其在处是否有定义无关根据定义可知，这两个结论以后可以直接使用2.3单侧极限上述讨论中可以任意方式趋于，若只能或只需考虑单侧的情况，则有左、右极限的概念. 如果()时， 函数无限接近某个确定常数，称为当()时函数的左(右)极限，记作()的充要条件是例 设 判断是否存在解 ，所以例 设 讨论极限是否存在解 ，左、右极限存在但不相等，所以不存在例 判断是否存在解 ，即；，即；左极限存在，而右极限不存在，所以不存在3.小结本次课的重点

9、是函数极限的概念，数列是一类特殊函数，可将其极限讨论归入函数极限.讨论函数极限一定要注意相应的极限过程，对于分段函数要注意左、右极限情况.练习：完成“练一练”习题.4.布置习题(略)1.3 无穷小量与无穷大量教学目的了解无穷小、无穷大的概念；理解无穷小的性质、无穷小的比较.教学重点无穷小、无穷大的定义及判别，无穷小的性质.教学难点定义的理解，无穷小的比较.教学过程1.复习函数极限的概念如何理解？函数在处的极限与单侧极限的关系如何理解?2.讲授新课2.1无穷小量2.1.1无穷小的概念在的某个变化过程中以零为极限，则称为无穷小量，简称无穷小如当时，是无穷小；当时，是无穷小；当时，是无穷小理解无穷小

10、概念时应注意:(1)无穷小是以零为极限的变量，表达的是量的变化状态，而不是量的大小不能把一个很小的数误认为是无穷小，只有数是唯一可作为无穷小的常数(2)不能笼统地说某个函数是无穷小，必须指出它的极限过程在某个变化过程中的无穷小，在其他过程中则不一定是无穷小例如，当时，是无穷小；而当时，就不是无穷小2.1.2无穷小与函数极限的关系函数以为极限的充分必要条件是: 可以表示为与一个无穷小量之和即2.1.3无穷小的性质有限个无穷小的代数和仍是无穷小有限个无穷小的乘积仍是无穷小有界函数与无穷小的乘积仍是无穷小常数与无穷小的乘积是无穷小例 求解 当时，是无穷小，是有界函数，；根据性质3，乘积是无穷小，即2

11、.2无穷大量2.2.1无穷大的概念在的某个变化过程中，无限增大，为无穷大量，简称无穷大如当时，是无穷大；当时，是无穷大；当时，是无穷大理解无穷大概念时应注意:(1)无穷大是一个变化的量，一个无论多么大的数，都不是无穷大(2)说某个函数是无穷大时，必须同时指出它的极限过程(3)按函数极限的定义，为无穷大的函数极限是不存在的，为了讨论问题方便，通常也说“函数的极限是无穷大”，写成，如2.2.2无穷大与无穷小的关系在自变量的同一变化过程中，如果为无穷大，则为无穷小；反之，如果为无穷小，且，则为无穷大如当时，是无穷小，而是无穷大；当时，是无穷大，而是无穷小2.3无穷小的比较两个无穷小的和、差、积仍是无

12、穷小，它们的商是否仍是无穷小？例 可见无穷小的商不一定是无穷小，这是因为不同的无穷小趋于零的速度有差异为了比较无穷小趋于零的快慢，引入阶的概念设是同一变化过程中的两个无穷小量，(1)，称是比高阶的无穷小，记为；(2)，称是比低阶的无穷小；(3)，称与是同阶无穷小，称与是等价无穷小，记为如当时，是比高阶的无穷小，与是同阶无穷小，与是等价无穷小3.小结本次课的内容是无穷大与无穷小的概念、性质、关系，无穷小的比较；重点理解概念、无穷小的运算性质.练习：完成“练一练”习题，特别注意，等变量是无穷大量.4.布置习题(略)1.4 极限的运算教学目的掌握极限的四则运算法则、两个重要极限，理解重要极限公式的本

13、质，会利用法则和公式求极限.教学重点四则运算法则，两个重要极限.教学难点对重要极限本质的理解，灵活运用法则和公式求极限.教学过程1.复习无穷小是如何定义的？有哪些运算性质？如何用阶的概念来描述无穷小的比较？2.讲授新课2.1极限的四则运算法则极限的运算主要有以下法则（或推论）：(1)；(2)；(3)；(4) (为常数)；(5)法则1和法则2均可推广至有限个函数的情况，参与运算的函数必须满足规定的条件和前提，否则不能直接使用法则例 求解 例 求解 分母的极限，所以有例 求解 分母的极限，分子的极限不等于零，考虑函数倒数的极限，由无穷小与无穷大的关系可得 例 求解 当时,分子、分母的极限都是零,其

14、公因子,故可消去公因子后再求极限 注意:不能写成例 求解 分子、分母同除以最高次幂，得利用（）可以很方便地求解有理分式当时的极限2.2两个重要极限2.2.1极限该极限的特点：一般含有三角函数，分子分母是无穷小，分子分母中的变量形式相同.例 求下列极限:(1)； (2)； (3)解 (1)；(2)；由此可得 (3)例 求下列极限:(1)；(2)解 (1)；(2)2.2.2极限该极限的特点：幂指函数，也可表达为.例 求下列极限:(1)； (2)； (3)解 (1)；(2)；(3)例 求解 总结有.例 求解 ，令，则，当时，因此，利用上式， ，所以3.小结运用四则运算法则和两个重要极限是计算函数极限

15、的重要方法，在计算中注意公式的适用条件，认清两个重要极限的形式，理解其本质，灵活运用.练习：完成“练一练”习题，注意熟练使用三角公式.4.布置习题(略)1.5 函数的连续性（一）教学目的理解函数在一点处连续的概念；了解函数在区间上连续的概念；利用连续性的充要条件讨论函数的连续性.教学重点函数连续的定义；讨论函数连续性的方法.教学难点对连续性定义两种表述方法的理解；对左、右连续概念的理解和讨论.教学过程1.复习两个重要极限的表达形式及其特点.2.讲授新课2.1变量的增量变量从初值变到终值，称为变量的增量，记为,即增量可以是正的，可以是负的，也可以是零变量可以是自变量，也可以是函数称为自变量的增量

16、；称为函数的增量自变量由变到时，函数的对应增量为图1-182.2函数的连续性2.2.1函数在处连续观察上图，函数图形是一条不间断的曲线，这个函数是连续的；观察右图，函数图形在点处断开，这个函数在点处不连续函数在处连续，当时有；函数在处不连续，当自变量从变到时，函数值有一个突然改变，显然当时，不能趋于函数在处连续的第一种表述方式：，称在处连续因为，令，当时，于是可改写为，即函数在处连续的第二种表述方式: ，称在处连续例 证明在给定点处连续证 ，所以在给定点处连续例 讨论函数在处的连续性解 ，所以在处连续2.2.2函数在区间上连续在处有或，称在处左连续或右连续函数在点处连续的充要条件是函数在处左、

17、右连续在内任何一点都连续，称在内连续在内连续，且在处右连续，在处左连续，称在上连续例 讨论函数在处的连续性解 ，且，即函数在处左、右连续，所以在处连续3.小结本次课主要讨论函数的连续性，注意理解连续性定义的两种表达方式：，；理解左右连续的概念：，特别注意左右极限与左右连续的区别；运用连续性的充要条件讨论函数的连续性.练习：完成“练一练”习题.4.布置习题(略)1.5 函数的连续性（二）教学目的理解初等函数的连续性概念；了解闭区间上连续函数的性质；利用连续性求函数的极限；应用零点定理讨论方程的根.教学重点初等函数连续性的定义；连续函数的性质.教学难点对连续性定理的理解；运用性质和定理求极限和证明

18、.教学过程1.复习1.1函数连续性的定义：，.1.2左右连续的概念：，.2.讲授新课2.1初等函数的连续性与在处连续，在处连续，函数在处连续，且，则、（当时）在处连续，在处连续以为例证明证 因为与在点处连续，所以有，根据极限的运算法则，有，所以在处连续根据以上定理可有 这表示连续函数的极限符号与函数符号可以交换次序，给我们求极限带来很大方便例 求解 基本初等函数在其定义域内都是连续函数初等函数在其定义区间内都是连续的求初等函数在其定义区间内某点的极限，只需求函数在该点的函数值即可；求初等函数的连续区间，只需求函数的定义域即可例 求函数的连续区间解 该函数是初等函数，求连续区间只需求定义域即可由，解得连续区间为例 求解 是初等函数，是其定义域内的一点，所以有2.2闭区间上连续函数的性质主要讨论两个性质：最值定理：函数在闭区间上连续,则在区间上一定有最大值和最小值零点定理：函数在闭区间上连续，且与异号，则至少存在一点，使得 如果函数在开区间内连续，或函数在闭区间上有间断点，则函数在该区间上就不一定会取得最大值或最小值例如