高等数学下册试题及答案解析

1、. 高等数学下册试卷一一、填空题每题3分，共计24分1、 =的定义域为D=。2、二重积分的符号为。3、由曲线及直线，所围图形的面积用二重积分表示为，其值为。4、设曲线L的参数方程表示为那么弧长元素。5、设曲面为介于及间的局部的外侧，那么 。6、微分方程的通解为。7、方程的通解为。8、级数的和为。二、选择题每题2分，共计16分1、二元函数在处可微的充分条件是 A在处连续；B，在的某邻域内存在；C当时，是无穷小；D。2、设其中具有二阶连续导数，那么等于 A；B； (C)； (D)0 。3、设：那么三重积分等于 A4；B；C；D。4、球面与柱面所围成的立体体积V= A； B； C； D。5、设有界闭

2、区域D由分段光滑曲线L所围成，L取正向，函数在D上具有一阶连续偏导数，那么 A； B； C； D。6、以下说法中错误的选项是 （A） 方程是三阶微分方程；（B） 方程是一阶微分方程；（C） 方程是全微分方程；（D） 方程是伯努利方程。7、曲线经过原点，且在原点处的切线与直线平行，而 满足微分方程，那么曲线的方程为 A； B； C； D。8、设 , 那么 A收敛； B发散； C不一定； D绝对收敛。三、求解以下问题共计15分1、7分设均为连续可微函数。，求。2、8分设，求。四、求解以下问题共计15分。1、计算。7分2、 计算，其中是由所围成的空间闭区域8分。5、 13分计算，其中L是面上的任一条

3、无重点且分段光滑不经过原点的封闭曲线的逆时针方向。 6、 9分设对任意满足方程，且存在，求。七、8分求级数的收敛区间。 高等数学下册试卷二一、填空题每题3分，共计24分1、设，那么。2、。3、设，交换积分次序后，。4、设为可微函数，且那么。 5、设L为取正向的圆周，那么曲线积分。6、设，那么。7、通解为的微分方程是。8、设，那么它的Fourier展开式中的。二、选择题每题2分，共计16分。1、设函数 ,那么在点0，0处 A连续且偏导数存在； B连续但偏导数不存在； C不连续但偏导数存在； D不连续且偏导数不存在。2、设在平面有界区域D上具有二阶连续偏导数，且满足 及 ，那么 A最大值点和最小值

4、点必定都在D的内部； B最大值点和最小值点必定都在D的边界上； C最大值点在D的内部，最小值点在D的边界上； D最小值点在D的内部，最大值点在D的边界上。3、设平面区域D：，假设，那么有 A； B ； C； D不能比拟。4、设是由曲面及 所围成的空间区域，那么 = A； B； C ； D。5、设在曲线弧L上有定义且连续，L的参数方程为，其中在上具有一阶连续导数，且， 那么曲线积分 (A) ； (B) ；(C) ； (D)。6、设是取外侧的单位球面， 那么曲面积分 = (A) 0 ； (B) ； (C) ； (D)。7、以下方程中，设是它的解，可以推知也是它的解的方程是 (A) ； (B) ；(

5、C)； (D)。8、设级数为一交织级数，那么 (A)该级数必收敛； (B)该级数必发散；(C)该级数可能收敛也可能发散； (D)假设，那么必收敛。三、求解以下问题共计15分 1、8分求函数在点A0，1，0沿A指向点B3，-2，2的方向的方向导数。 2、7分求函数在由直线所围成的闭区域D上的最大值和最小值。四、求解以下问题共计15分 1、7分计算，其中是由及 所围成的立体域。 2、8分设为连续函数，定义，其中，求。五、求解以下问题15分 1、8分求，其中L是从Aa，0经到O0，0的弧。 2、7分计算，其中是 的外侧。六、15分设函数具有连续的二阶导数，并使曲线积分与路径无关，求函数。高等数学下册

6、试卷三一、填空题每题3分，共计24分1、设， 那么。 2、函数在点0，0处沿的方向导数=。 3、设为曲面所围成的立体，如果将三重积分化为先对再对最后对三次积分，那么I=。 4、设为连续函数，那么，其中。 5、，其中。 6、设是一空间有界区域，其边界曲面是由有限块分片光滑的曲面所组成，如果函数，在上具有一阶连续偏导数，那么三重积分与第二型曲面积分之间有关系式：， 该关系式称为公式。 7、微分方程的特解可设为。 8、假设级数发散，那么。二、选择题每题2分，共计16分 1、设存在，那么= A；B0；C2；D。 2、设，结论正确的选项是 A； B；C； D。3、假设为关于的奇函数，积分域D关于轴对称，

7、对称局部记为，在D上连续，那么 A0；B2；C4； (D)2。 4、设：，那么= A； B； C； D。5、设在面内有一分布着质量的曲线L，在点处的线密度为，那么曲线弧的重心的坐标为 =； B=； C=； D=, 其中M为曲线弧的质量。、设为柱面和在第一卦限所围成局部的外侧，那么 曲面积分 A0； B； C； D。、方程的特解可设为 A，假设； B，假设；C，假设；D，假设。、设，那么它的Fourier展开式中的等于A； B0； C； D。3、 分设为由方程 确定的的函数，其中具有一阶连续偏导数，求。4、 分在椭圆上求一点，使其到直线的距离最短。5、 分求圆柱面被锥面和平面割下局部的面积。六、

8、分计算，其中为球面 的局部的外侧。7、 10分设，求。八、10分将函数展开成的幂级数。 高等数学下册试卷四一、填空题每题3分，共计24分1、由方程所确定的隐函数在点1，0，-1处的全微分。2、椭球面在点1，1，1 处的切平面方程是。3、设D是由曲线所围成，那么二重积分。4、设是由所围成的立体域，那么三重积分=。5、设是曲面介于之间的局部，那么曲面积分。 6、。7、曲线上点M(0,4)处的切线垂直于直线，且满足微分方程，那么此曲线的方程是。8、设是周期T=的函数，那么的Fourier系数为。二、选择题每题2分，共计16分1、函数的定义域是 A； B； C； D 。2、曲面在点P处的切平面平行于平

9、面，那么点P的坐标是 A1，-1，2； B-1，1，2；C1，1，2； D-1，-1，2。 3、假设积分域D是由曲线及所围成，那么= A ； B ；C ； D。4、设， 那么有 A； B； C； D。5、设为由曲面及平面所围成的立体的外表，那么曲面积分= A； B； C； D0 。、设是球面外表外侧，那么曲面积分 A； B； C； D。、一曲线过点(e,1)，且在此曲线上任一点的法线斜率，那么此曲线方程为 A； B； C； D。、幂级数的收敛区间为A-1，1； B； C-1，1； D-1，1。三、分函数，其中具有二阶连续导数，求的值。四、分证明：曲面上任意点处的切平面与三坐标面所围成立体的体积

10、为一定值。五、分求抛物面的切平面，使得与该抛物面间并介于柱面内部的局部的体积为最小。六、分计算，其中为由，至，的那一弧段。七、分求解微分方程=0 。八、分求幂级数的和函数。 高等数学下册试卷五一、填空题每题3分，共计24分1、设是由方程所确定的二元函数，那么。、曲线在点，处的切线方程是。、设是由，那么三重积分。、设为连续函数，是常数且，将二次积分化为定积分为。、曲线积分与积分路径无关的充要条件为。、设为，那么。、方程的通解为。、设级数收敛，发散，那么级数必是。二、选择题每题2分，共计16分、设，在点，处，以下结论 成立。有极限，且极限不为0； 不连续； 可微。、设函数有，且，那么= ；。、设：

11、，在D上连续，那么在极坐标系中等于 ； ；。、设是由及所围成，那么三重积分 ； ； ； 。、设是由所围立体外表的外侧，那么曲面积分0； 1； 3； 2。、以下四结论正确的选项是 ； ； 以上三结论均错误。、设具有一阶连续导数，。并设曲线积分与积分路径无关，那么；。 、级数的和等于 2/3；1/3；1；3/2。三、求解以下问题共计分、分设求。、 分设，具有连续偏导数，求。四、求解以下问题共计分、分计算，其中。、 分计算，其中。五、分确定常数，使得在右半平面上，与积分路径无关，并求其一个原函数。6、 分将函数展开为的幂级数。7、 分求解方程。高等数学下册试卷六一、单项选择题共15分，每题3分1设函

12、数在的两个偏导， 都存在，那么 ( )A在连续 B在可微 C及 都存在 D存在2假设，那么等于 3设是圆柱面及平面所围成的区域，那么4 4假设在处收敛，那么此级数在处 A 条件收敛 B 绝对收敛 C 发散 D 敛散性不能确定5曲线在点1，1，2处的一个切线方向向量为 . A. -1，3，4 B.3，-1，4 C. -1，0，3 D. 3，0，-1二、填空题共15分，每题3分 1设，那么.2交 换的积分次序后，_3设，那么在点处的梯度为.4. ，那么.5. 函数的极小值点是.三、解答题共54分，每题6-7分1.本小题总分值6分设, 求,.2.本小题总分值6分求椭球面的平行于平面的切平面方程，并求

13、切点处的法线方程3. 本小题总分值7分求函数在点处沿向量方向的方向导数。4. 本小题总分值7分将展开成的幂级数，并求收敛域。5本小题总分值7分求由方程所确定的隐函数的极值。6本小题总分值7分计算二重积分及围成.7.本小题总分值7分利用格林公式计算，其中是圆周按逆时针方向.8.本小题总分值7分计算，其中是由柱面及平面所围成且在第一卦限内的区域.四、综合题共16分，每题8分1本小题总分值8分设级数都收敛，证明级数收敛。2本小题总分值8分设函数在内具有一阶连续偏导数，且，证明曲线积分与路径无关假设对任意的恒有，求的表达式高等数学下册试卷一参考答案一、1、当时，；当时，；2、负号； 3、； 4、；5、

14、180； 6、；7、； 8、1；二、1、D； 2、D； 3、C； 4、B； 5、D； 6、B； 7、A； 8、C；三、1、；2、；四、1、；2、；五、令那么，； 于是当L所围成的区域D中不含O0，0时，在D内连续。所以由Green公式得：I=0；当L所围成的区域D中含O0，0时，在D内除O0，0外都连续，此时作曲线为，逆时针方向，并假设为及所围成区域，那么六、由所给条件易得：又 =即 即 又 即 七、令，考虑级数当即时，亦即时所给级数绝对收敛；当即或时，原级数发散；当即时，级数收敛；当即时，级数收敛；级数的半径为R=1，收敛区间为1，3。高等数学下册试卷二参考答案一、1、1； 2、-1/6；

15、3、 ； 4、；5、； 6、； 7、； 8、0；二、1、C； 2、B； 3、A； 4、D； 5、C； 6、D； 7、B； 8、C；三、1、函数在点A1，0，1处可微，且； 而所以,故在A点沿方向导数为：+2、由得D内的驻点为且， 又 而当时， 令得 于是相应且在D上的最大值为，最小值为四、1、的联立不等式组为所以2、在柱面坐标系中所以五、1、连接，由公式得：2、作辅助曲面 ，上侧，那么由Gauss公式得：+= = =六、由题意得：即特征方程，特征根对应齐次方程的通解为：又因为是特征根。故其特解可设为：代入方程并整理得：即 故所求函数为：高等数学下册试卷三参考答案一、1、； 2、； 3、；4、；

16、 6、，公式； 7、 8、。二、1、C； 2、B； 3、A ； 4、C ； 5、A ； 6、D ； 7、B ； 8、B 三、由于，由上两式消去，即得： 四、设为椭圆上任一点，那么该点到直线的距离为 ；令，于是由：得条件驻点： 依题意，椭圆到直线一定有最短距离存在，其中即为所求。五、曲线在面上的 投影为 于是所割下局部在面上的投影域为：， 由图形的对称性，所求面积为第一卦限局部的两倍。 六、将分为上半局部和下半局部，在面上的投影域都为：于是： ；，=七、因为，即 所以八、 又高等数学下册试卷四参考答案一、1、；2、； 3、； 4、； 5、；6、； 7、；8、；二、1、C； 2、C； 3、A； 4

17、、D； 5、A； 6、B； 7、A； 8、C三、 故四、设是曲面上的任意点，那么，在该点处的法向量为： 于是曲面在点处的切平面方程为：+=0即+=1因而该切平面与三坐标面所围成的立体的体积为：这是一个定值，故命题得证。五、由于介于抛物面，柱面及平面之间的立体体积为定值，所以只要介于切平面，柱面及平面之间的立体体积为最大即可。 设与切于点，那么的法向量为，且，切平面方程为： 即 于是 那么由，得驻点1，0 且 由于实际问题有解，而驻点唯一，所以当切点为1，0，5时，题中所求体积为最小。此时的切平面为：六、联接，并设由L及所围成的区域为D，那么七、令，那么，于是原方程可化为： 即，其通解为 即故原

18、方程通解为：八、易求得该幂级数的收敛区间为，令，那么注意到，高等数学下册试卷五参考答案一、1、；2、；3、；4、； 5、对任意闭曲线，或或使得； 6、； 7、； 8、发散二、1、C； 2、B； 3、A； 4、C； 5、C； 6、B； 7、D； 8、A三、1、；2、。四、1、因为积分域D关于对称，所以故 = ；2、+ 因为关于三个坐标轴都对称，而都至少关于某个变量为奇函数，故以这些项为被积函数的三重积分都等于0。于是：。五、令 那么 ， 由条件得，即有，所以 所求的一个原函数为 ：六、易知 又 ， 其中七、方程的特征方程为：，其特征根为，故方程的通解为：高等数学下册试卷六参考答案一、单项选择题共15分，每题3分：1.C 2 D 3 C 4B 5 A二、填空题共15分，每题3分1.-1 2. 3. 4 5.(2,2)三、解答题共54分，每题6-7分1解：; (3分) =+ ( 6分).2. 解：记切点 那么切平面的法向量为满足： ，切点为：或 (3分)，切平面： ( 4分)， 法线方程分别为：或者 ( 6分)3. 解： ( 3分), ( 7分)4.解：=, ( 2分)因为，,所以=,其中 ，即.( 5分)当时，级数为发散；当时，级数为发散,故=， ( 7分)5.解：由,