初三数学圆知识点复习专题经典-

1、圆章节知识点复习一、圆的概念集合形式的概念: 1、 圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合; 2、圆的外部:可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合; 3、圆的内部:可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合轨迹形式的概念: 1、圆:到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心,定长为半径的圆; (补充2、垂直平分线:到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线(也叫中垂线; 3、角的平分线:到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线;4、到直线的距离相等的点的轨迹是:平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线;5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是:平行于这两条平行线且到两条

2、直线距离都相等的一条直线。 二、点与圆的位置关系1、点在圆内 d r < 点C 在圆内;2、点在圆上 d r = 点B 在圆上;3、点在圆外 d r > 点A 在圆外; 三、直线与圆的位置关系1、直线与圆相离 d r > 无交点;2、直线与圆相切 d r = 有一个交点;3、直线与圆相交 d r < 有两个交点;drd=rrd四、圆与圆的位置关系外离(图1 无交点 d R r >+; 外切(图2 有一个交点 d R r =+; 相交(图3 有两个交点 R r d R r -<<+; 内切(图4 有一个交点 d R r =-; 内含(图5 无交点 d R

3、 r <-;r dd CBAO图1rRd图3rR d五、垂径定理垂径定理:垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。推论1:(1平分弦(不是直径的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧; (2弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧;(3平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧以上共4个定理,简称2推3定理:此定理中共5个结论中,只要知道其中2个即可推出其它3个结论,即:AB 是直径 AB CD CE DE = 弧BC =弧BD 弧AC =弧AD 中任意2个条件推出其他3个结论。 推论2:圆的两条平行弦所夹的弧相等。 即:在O 中,AB CD 弧AC =弧BD例题1

4、、 基本概念1.下面四个命题中正确的一个是( A .平分一条直径的弦必垂直于这条直径B .平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦C .弦的垂线必过这条弦所在圆的圆心D .在一个圆内平分一条弧和它所对弦的直线必过这个圆的圆心 2.下列命题中,正确的是( .A .过弦的中点的直线平分弦所对的弧B .过弦的中点的直线必过圆心C .弦所对的两条弧的中点连线垂直平分弦,且过圆心D .弦的垂线平分弦所对的弧 例题2、垂径定理1、 在直径为52cm 的圆柱形油槽内装入一些油后,截面如图所示,如果油的最大深度为16cm ,那么油面宽度AB 是_cm.图2r Rd 图4rRd图5r RdO EDCB AOCDAB

5、2、在直径为52cm 的圆柱形油槽内装入一些油后,如果油面宽度是48cm ,那么油的最大深度为_cm.3、如图,已知在O 中,弦CD AB =,且CD AB ,垂足为H ,AB OE 于E ,CD OF 于F . (1求证:四边形OEHF 是正方形. (2若3=CH ,9=DH ,求圆心O 到弦AB 和CD 的距离.4、已知:ABC 内接于O ,AB=AC ,半径OB=5cm ,圆心O 到BC 的距离为3cm ,求AB 的长.5、如图,F 是以O 为圆心,BC 为直径的半圆上任意一点,A 是的中点,AD BC 于D ,求证:AD=21BF.例题3、度数问题1、已知:在O 中,弦cm 12=AB

6、 ,O 点到AB 的距离等于AB 的一半,求:AOB 的度数和圆的半径. 2、已知:O 的半径1=OA ,弦AB 、AC 的长分别是2、3.求BAC 的度数。例题4、相交问题如图,已知O 的直径AB 和弦CD 相交于点E ,AE=6cm ,EB=2cm ,BED=30°,求CD 的长.例题5、平行问题在直径为50cm 的O 中,弦AB=40cm ,弦CD=48cm ,且AB CD ,求:AB 与CD 之间的距离.例题6、同心圆问题 如图,在两个同心圆中,大圆的弦AB ,交小圆于C 、D 两点,设大圆和小圆的半径分别为b a ,.求证:22b a BD AD -=.例题7、平行与相似已

7、知:如图,AB 是O 的直径,CD 是弦,于CD AE E ,CD BF 于F .求A B DC EO OAB D E FC 证:FD EC =.六、圆心角定理圆心角定理:同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弦相等,所对的弧相等,弦心距相等。 此定理也称1推3定理,即上述四个结论中,只要知道其中的1个相等,则可以推出其它的3个结论, 即:AOB DOE =;AB DE =;OC OF =; 弧BA =弧BD 七、圆周角定理1、圆周角定理:同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。 即:AOB 和ACB 是弧AB 所对的圆心角和圆周角 2AOB ACB =2、圆周角定理的推论:推论1:同弧或等弧所

8、对的圆周角相等;同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧是等弧;即:在O 中,C 、D 都是所对的圆周角 C D =推论2:半圆或直径所对的圆周角是直角;圆周角是直角所对的弧是半圆,所对的弦是直径。即:在O 中,AB 是直径 或90C = 90C = AB 是直径推论3:若三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形。即:在ABC 中,OC OA OB =ABC 是直角三角形或90C =注:此推论实是初二年级几何中矩形的推论:在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理。【例1】用直角钢尺检查某一工件是否恰好是半圆环形,根据图形3-3-19所表示的情形,四个工件哪一个肯定是半圆环

9、形?FE DCBAOCBA ODCBAOCBAOCBAO 【例2】如图,已知O中,AB为直径,AB=10cm,弦AC=6cm,ACB的平分线交O于D,求BC、AD和BD的长.【例3】如图所示,已知AB为O的直径,AC为弦,ODBC,交AC于D,BC=4cm.(1求证:ACOD;(2求OD的长;(3若2sinA-1=0,求O的直径.【例4】四边形ABCD中,ABDC,BC=b,AB=AC=AD=a,如图,求BD的长.【例5】如图1,AB是半O的直径,过A、B两点作半O的弦,当两弦交点恰好落在半O上C点时,则有AC·AC+BC·BC=AB2.(1如图2,若两弦交于点P在半O内,

10、则AP·AC+BP·BD=AB2是否成立?请说明理由.(2如图3,若两弦AC、BD的延长线交于P点,则AB2= .参照(1填写相应结论,并证明你填写结论的正确性.八、圆内接四边形圆的内接四边形定理:圆的内接四边形的对角互补,外角等于它的内对角。即:在O中,四边形ABCD是内接四边形180C BAD+=180B D+=EDCBÐDAE = ÐC 例 1、如图 7-107，O 中，两弦 ABCD，M 是 AB 的中点，过 M 点作弦 DE求证：E，M，O，C 四点共圆 九、切线的性质与判定定理 （1）切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线； 两个

11、条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可 即： MN OA 且 MN 过半径 OA 外端 MN 是 O 的切线 O （2）性质定理：切线垂直于过切点的半径（如上图） 推论 1：过圆心垂直于切线的直线必过切点。 推论 2：过切点垂直于切线的直线必过圆心。 以上三个定理及推论也称二推一定理： 即：过圆心；过切点；垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。 十、切线长定理 切线长定理： 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。 即： PA 、 PB 是的两条切线 PA = PB B M A N PO 平分 ÐBPA P A O 利用切线性

12、质计算线段的长度 例 1：如图，已知：AB 是O 的直径，P 为延长线上的一点，PC 切O 于 C，CDAB 于 D，又 PC=4，O 的 半径为 3求：OD 的长 龙文教育-教育是一项良心工程 6 利用切线性质计算角的度数 例 2：如图，已知：AB 是O 的直径，CD 切O 于 C，AECD 于 E，BC 的延长线与 AE 的延长线交于 F，且 AF=BF求：A 的度数 利用切线性质证明角相等 例 3：如图，已知：AB 为O 的直径，过 A 作弦 AC、AD，并延长与过 B 的切线交于 M、N求证：MCN= MDN 利用切线性质证线段相等 例 4：如图，已知：AB 是O 直径，COAB，CD

13、 切O 于 D，AD 交 CO 于 E求证：CD=CE 利用切线性质证两直线垂直 例 5：如图，已知：ABC 中，AB=AC，以 AB 为直径作O，交 BC 于 D，DE 切O 于 D，交 AC 于 E求证： 7 龙文教育-教育是一项良心工程 DEAC 十一、圆幂定理 （1）相交弦定理：圆内两弦相交，交点分得的两条线段的乘积相等。 即：在 O 中，弦 AB 、 CD 相交于点 P ， PA × PB = PC × PD （2）推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的 例中项。 即：在 O 中，直径 AB CD ， CE = AE × BE 2 D B O P C A C B O E D A 两条线段的比 （3）切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切 线与圆交点的两条线段长的比例中项。 即：在 O 中， PA 是切线， PB 是割线 PA = PC × PB 2 A D P C O B E 线长是这点到割 （4）割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的