(北京)北京高一以合数为除数所得的循环节也会有半九律

1、 以合数为除数所得的循环节也会有半九律 廖敢云摘要：本文阐述了除数为合数的相关余数的规则性，揭示了自然界存在的一种数字内涵的美，并分析了一个偶位数循环节不一定具有半九律。关键词： 循环节 余数 互质1、几种特殊数的性质在真分数a/b中，b=b*b：、若b=2，b为非2、5的质数时，a/b=（a*5）/b/10，若 （a*5）/ b=Z+v, ( 1vb),那么a/b=（Z+v/b）/10，Z部分不被包含在循环节里；而b=5时，同理可推。也就是说，b为2或5时，所产生的循环节与a/b1a（b-1）产生的循环节相同。而a中与b互质的数所产生的循环节全部可以通过相关转换成以b为除数所产生的循环节。、

2、 3是数字动态形式里9的因数，当b=3，b为质数时：、化a/b为小数的过程中不会出现余-a的情况；、若n=1， b产生的循环节上数字之和为3的整数倍，且同一个循环节里计算“半九律”的结果为“半三或半六律”；、若n=2，b产生的同一个循环节里计算“合九律”的结果“合X律”，X为1至8中的任何一个数字。、同一个循环节里的任意两个与3互质的相关余数之差皆为3（或9）的整数倍。2、 合数产生的循环节在a/b中，1ab,b= b*b，b和b皆非2或5的质数（以后相同），那么a/b化小数的过程中会产生三部分循环小数，一部分是由从1到（b-1）中有（b-1）个含有b为因数的数，这些数与b约去b后成为以a/b

3、化小数产生的循环节，1a（b-1）；同样地，第二部分与第一部分过程一样，是由a/b化小数产生的，1a（b-1）；第三部分是以b为除数，从1到（b-1）中与b互质的数为被除数产生的，其能产生（b-1）-（b-1）-（b-1）即（b+1）-（b+b）个参与这部分循环节的数。从1到b-1中含有b、2 b、3 b（b-1）b和b、2b、3 b（b-1）b，通过演算，它们和为：b*（b+b-2）/2，由于b和b皆不为2或5的质数，所以（b+b-2）/2是一个整数，由从1到b-1之和是b*（b-1）/2，而（b-1）/2-（b+b-2）/2也为整数，故第三部分的余数之和是b的整数倍。若b是w个数字9组成数

4、的因数，则b产生的第三部分循环节与由a/b（或a/b）产生的循环节组成w位数除以b（或b）相同，并且w是（b-1）/2-（b+b-2）/2的因数。以b=133、b=7、b=19为例，由（b+1）-（b+b）=133+1-7-19=108位，但由于w=6，w=18，它们的最小公倍数为18，所以18个9组成的数就能被133整除，所以有6个18位的循环节。当a=1时，循环节和相关余数如表1。 00751879699248120311010069251171061299313212333641081627440 表 1从表1排列可以看出，a+a=7K，而a+a=19K， a-a=7k,a-a=19k,

5、以上K、K、k、k皆为整数。、在a/b中，1ab,b= b*b，b和b、b所得的循环节位数分别为w、w、w，则w为w与w的最小公倍数，若w、w皆为偶数，设w/2=s, w/2=r，则第三部分相关余数中，a+a为b的整数倍，a与a之差为b的整数倍，而a+a为b的整数倍，a与a之差为b的整数倍。若ww且ww，第一行排w（或w）的整数倍p（或p）个相关余数所得的第一列和只是b（或b）的整数倍。而所得T有以b（或b）为除数所得的w/p（或w/p）个循环节组成的部分。、若w、w、w皆为偶数，且w/ w 、w/ w皆为奇数，那么第三部份循环节具有半九律；若 w、w有其一为质数或皆为质数，则第三部分同一个循

6、环节里没有合九律，第j位相关余数到第j+ w-1位（或j+ w-1位）相关余数之和为b（或b）的整数倍即任意连续w（或w）个相关余数之和是b（或b）的整数倍。、若w是w的公倍数，则以b产生的循环节为数除以b结果始终还是b产生的循环，w位b产生的循环节组成的数除以b结果还是w/ w个b产生的循环节。3、 循环节的其它性质 3.1平方数产生的循环节在a/b中, b=b，则产生的循环节有两部分，一部分由1到（b-1）除以b产生，另一部分由1到（b-1）中与b互质的数除以b产生。3.2循环节的种数当b为n个质因数（非2、5）的积，从1到b-1中与b互质的数之和总是b的整数倍，化a/b为小数所得的循环节由2-1个不同的除数产生。3.3什么情况下会有半九律现象在a/b中，b为n个质因数（非2、5）的积，相应的循环节位数为w、w、w、ww