CH9多元函数的微分及其应用Word版

1、知识点十一 二元函数的极限方法： 1.可套用一元函数求极限的各种方法方法，但不能套用罗必达法则。 2.证明极限不存在时，需采用不同路径逼近，一般采用直线方向，不同表示不同方向；需要时，也可沿其它曲线路径。典型例题：1.求极限 解： 2. 求极限 解： 3求极限 解： 4求证函数当时，极限不存在。 证明：沿直线方向考察， ， 其值随 k 的不同而变化。所以极限不存在。5证明证明：，2 / 29而，根据夹逼准则有典型练习1 23 45 67知识点十二 偏导数求法：求时，只要把之外的其他自变量暂时看成常量，对求导数即可。求时，只要把之外的其他自变量暂时看成常量，对求导数即可。其他类推。分片函数在分界

2、点的偏导数： 严格用定义求。典型例题：1.求在点处的偏导数 解：，。，2设，求证 解：对是幂函数，对是指数函数，所以， 3设，求。 解：先求，当时，即且时，在点， 所以，同理 4验证函数满足拉普拉斯方程 证明：， 同样可求， 所以典型练习（以教材中的练习为主） 1. 设，则 。 。2求下列函数的一阶偏导数。 （1） （2）（3） （4） （5）. （6）3. 设，求证：4. 求下列函数的二阶偏导数。 （1） （2）知识点十三 全微分内容： 1.定义：如果函数在点的全增量可以表示为，其中不依赖于而仅与有关，则称函数 在点 可微分， 称为函数 在点的全微分，记为，即。 2.可微的必要条件： 如果函

3、数在点可微分，则该函数在点的偏导数、必存在，且函数在点的全微分为，或。3.可微的充分条件：如果的偏导数、在点连续，则该函数在点可微分。函数可微具有连续偏导函数连续偏导存在4.可微、可导、连续的关系5全微分的求法：典型例题：1. 计算函数 在点处的全微分。解：， 所以，在处的全微分。2求函数，当、，时的全微分。 解：， 3试证函数(1) 在点连续且偏导数存在；(2) 在点不可微.证明：（1）因为 所以在点连续； ， ， 即，函数在点偏导数存在。（2）如果考虑点沿着直线趋近于，则 即，所以在点不可微。典型练习（以教材中的练习为主）1设，则 。 2设，则 。3设讨论在（1）.偏导数是否存在。（2）.

4、是否可微。知识点十四 多元复合函数的偏导数公式： 多元复合函数的偏导公式根据复合过程的不同有不同的形式，关键在于搞清变量（函数、中间变量、自变量）间的关系，作出示意图，根据口诀“连线相乘、分线相加”写出公式。形式1：为函数，为中间变量，为自变量形式2：为函数，为中间变量，为自变量形式1：为函数，为中间变量，为自变量公式1： ， 公式2： ，（只有一个自变量的导数，又称为全导数）公式3： 特别注意：抽象的多元复合函数的高阶偏导的计算过程中，对复合函数，对中间变量（）的偏导数仍是以为中间变量的复合函数。典型例题：1设 ，而 ， 求 和.解：2设，而，求全导数.z t uvt解： 3设，而，求.z

5、uxyxy解： z uxy4，且具有一阶导数，求。解：令，则w uvxyz5. 设，具有二阶连续偏导数，求和。解：令，则，记，uvxyz ，而 ，所以典型练习（以教材中的练习为主）1求下列复合函数的各个一阶偏导或全导数：（1），而 （2），而（3），而 （4），而2设为二元可微函数，则 32011（1）设函数，则 42009（1） 设函数具有二阶连续偏导数，则 52005（1）设函数, 其中函数具有二阶导数， 具有一阶导数，则必有 【 】(A) ； （B）； (C) ； (D) 6求下列函数的各个二阶偏导数（1）， （2）72011（1）设函数，其中函数具有二阶连续导数，函数可导且在处取得极值

6、，求知识点十五 隐函数的偏导数公式：1一个二元方程情形：确定一个一元隐函数2一个三元方程情形：确定一个二元隐函数，3两个四元方程情形：确定两个二元隐函数，；，。对于此公式，不应死记硬背。按照推导公式的过程求解：两个方程两边对求偏导，得到的二元代数方程，解得；然后两个方程两边对求偏导，得到的二元代数方程，解得。典型例题：1已知，求解：令，则 ， 所以。2设，求.解：令，则， 32010（1）函数由确定，可微，则(A) ； (B) ； (C) ； (D) 解：， ，故选(B)。4设，求解：两个三元方程可确定两个一元隐函数，在此是两个方程两边对求偏导，得 典型练习（以教材中的练习为主）1由方程确定的

7、函数，在点处的全微分 。2设，则+= 。3设，其中可微，则= 。4，求 5设，求，；，知识点十六 空间曲线的切线方程与曲面的切平面方程内容：（一）空间曲线的切线关键是方向向量： （1）曲线方程为参数方程，则在点，（2）曲线方程为一般方程，可确定两个一元隐函数，曲线可表示为参数方程，则再点， （二）曲面的切线关键是法向量：（1）曲线方程为，则在点，。（2）曲线方程为，则在点，（3）若假定法向量的方向是向上的，则其方向余弦为下面这点很重要：曲面在点的切平面上面积为的一块区域，在平面上的投影面积为：。典型例题：1. 求曲线，,在处的切线和法平面方程。 解：当时，。，所以在处的切线的方向向量为。 切线

8、方程为，法平面方程为。2求曲线，在点处的切线及法平面方程。 解：将所给方程的两边对求导并移项，得， ，在点切向量为切线方程为，法平面方程为，即。3求曲面在点处的切平面及法线方程。解：令，切平面方程为：，法线方程为：。4求旋转抛物面在点处的切平面及法线方程。 解：，切平面方程为：法线方程为：典型练习（以教材中的练习为主）1.曲线在的点处切线方程为_ _；法平面方程为_ _。2.曲面在点处的切平面方程为_；法线方程为_.3.求出曲线上的点,使在该点的切线平行于平面。4.求球面与抛物面的交线在处的切线方程。5.求椭球面上平行于平面的切平面方程。6.试证曲面上任何点处的切平面在各坐标轴上的截距之和等于

9、知识点十七 方向导数与梯度内容： 1. 方向导数是函数沿指定方向的变化率，二元函数沿任意方向（方向角为）方向导数存在的一个充分条件是：函数可微，且。同理，三元函数沿任意方向（方向角为）的方向导数为。 2函数的梯度是个向量，是函数方向导数最大（也即增长最快）的方向向量。若函数在区域D内具有一阶连续偏导数，则在点的梯度。梯度的方向导数就是它的模。典型例题： 1求函数 在点 处沿从点 到点 的方向的方向导数。 解：， 方向导数2求函数 在点 处沿从点 到点 的方向的方向导数。解：， ， 方向导数3求函数 在点 处的梯度，并问在哪些点处梯度为零向量？ 解：所以，显然在处梯度为零向量。典型练习（以教材中

10、的练习为主）1函数在某点的梯度是这样一个向量，它的方向与 ，而它的模为方向导数的 。2设，则 。3求在点处沿曲线的内法向量的方向导数。4求函数在点处变化最快的方向，并求沿此方向的方向导数。知识点十八 多元函数的极值内容：1.无条件极值的判定：设函数 在点 的某邻域内连续，有一阶及二阶连续偏导数，又，令，则(1) 时具有极值，且当时有极大值， 当时有极小值；(2) 时没有极值；(3) 时可能有极值,也可能没有极值，还需另作讨论。 2最值的一般求法：将函数在 D 内的所有驻点处的函数值及在D 的边界上的最大值和最小值相互比较，其中最大者即为最大值，最小者即为最小值。3.条件极值：是对自变量有附加条

11、件的极值。利用拉格朗日乘数法解决。 （1）目标函数，约束条件函数 先构造函数 ，其中为某一常数，可由解出，其中就是可能的极值点的坐标。 （2）拉格朗日乘数法可适合于多元函数，在多个约束条件下的极值，如： 目标函数，约束条件函数 先构造函数（其中均为常数） 求解方程组，解出，即得可能极值点的坐标。典型例题：1. 2009（1）求二元函数的极值。解：，得驻点：。，在驻点， ，所以，在取得极小值，极小值为。2求 函数 的最大值和最小值。 解：， 得驻点 和 因为 ，即边界上的值为零。，所以最大值为，最小值为。3将正数12分成三个正数之和 使得 为最大。 解：令 则由（1），（2）得，由（1），（3）得，代入（4）得 解得：，即得唯一驻点，这是唯一可能的极值点。因为由问题本身可知，最大值一定存在，所以，最大值就在这个可能的极值点处取得。最大值为：。典型练习（