单调性与最大最小值检测试题

1、单调性与最大最小值检测试题 函数 f(x) = 9- ax2(a > 0)在 0,3 上的最大值为 () A 9 B9(1 a)C 9- a D 9- a2解析：选 A.x 0,3 时 f(x) 为减函数， f(x)max = f(0) = 9.2. 函数y = x+1-x-1 的值域为 ()A (- ，2 B(0，2 C2，) D0，)解析：选B.y =x+ 1 x 1, x+ 10x 10,x1.? y= 2x+ 1 +x1为 1 , + )上的减函数，f(x)max =f(1) =2且y > 0.3. 函数f(x) = x2 2ax + a+ 2在0 , a上取得最大值 3,

2、最 小值 2，那么实数 a 为 ()A 0 或 1 B 1C 2 D 以上都不对解析：选 B.因为函数 f(x) = x2 2ax + a+ 2= (x a)2 a2+ a+ 2,对称轴为x = a,开口方向向上，所以f(x)在0 ,a 上单调递减 , 其最大值、最小值分别在两个端点处取得 ,即 f(x)max = f(0) = a+ 2= 3,f(x)min = f(a) = a2+ a+ 2= 2. 故 a= 1.4. (2021年高考山东卷)x, yR+，且满足x3 + y4 = 1.那么 xy 的最大值为 _Ov 1 x3 v 1,0 v xv 3.解析：y4 = 1 x3,而 xy=

3、 x4(1 x3)= 43(x 32)2 + 3.当x =32, y2 时，xy 最大值为 3.答案：31. 函数 f(x) =x2 在0,1 上的最小值是 ()A1B 0C.14 D . 不存在解析：选B.由函数f(x) = x2在0,1 上的图象(图略)知，f(x) = x2 在 0,1 上单调递增，故最小值为 f(0) = 0.2. 函数 f(x) = 2x + 6, x1 , 2x + 7, x 1, 1 ，贝 Uf(x)的最大值、最小值分别为 ()A10,6 B 10,8C8,6 D 以上都不对解析：选 A.f(x) 在 x 1,2上为增函数， f(x)max = f(2)= 10,

4、 f(x)min = f( 1) = 6.3. 函数 y = x2 + 2x 在 1,2 上的最大值为 ()A 1 B 2C1 D 不存在解析：选A.因为函数y = x2 + 2x = (x 1)2 + 1.对称轴为 x = 1 ,开口向下，故在 1 ,2 上为单调递减函数，所以 ymax =1 + 2= 1.4. 函数 y = 1x- 1 在 2,3上的最小值为 ()A2 B.12C.13 D - 12解析：选B函数y = 1x - 1在2,3 上为减函数，ymin = 13 1 = 12.5某公司在甲乙两地同时销售一种品牌车，利润( 单位：万元)分别为L1 = x2 + 21x和L2= 2

5、x，其中销售量(单位：辆) 假设该公司在两地共销售15 辆，那么能获得的最大利润为()A 90 万元 B 60 万元C120 万元 D120.25 万元解析：选C.设公司在甲地销售 x辆(015，x为正整数)，贝9在乙地销售(15 x)辆，公司获得利润 L= x2 + 21x + 2(15 x)= x2 + 19x + 30. 当 x = 9 或 10 时， L 最大为 120 万元， 应选 C.6.函数 f(x) = 一 x2 + 4x + a, x 0,1 ，假设 f(x)有最小值 2，贝 f(x) 的最大值为 ()A 1 B 0C 1 D 2解析：选 C.f(x) = (x2 4x +

6、4) + a + 4= (x 2)2 + 4 + a.函数 f(x) 图象的对称轴为 x = 2, f(x) 在 0,1 上单调递增又 f(x)min = 2,f(0) = 2, 即卩 a= 2.f(x)max = f(1) = 1 + 4 2= 1.7.函数y = 2x2 + 2, xN*的最小值是 .解析： ? xN*, x21 ,y= 2x224,即y = 2x2 + 2在xN*上的最小值为4,此时x = 1.答案： 48函数 f(x) = x2 6x8, x1 , a , 并且 f(x) 的最小 值为 f(a) , 那么实数 a 的取值范围是 解析：由题意知f(x)在1 , a上是单调

7、递减的，又? f(x)的单调 减区间为 ( 一，3,13.答案： (1,39 . 函数 f(x) = xx + 2 在区间2,4上的最大值为 ;最小值为 解析： T f(x) = xx + 2= x + 2 2x + 2 = 1 2x + 2,函数 f(x) 在 2,4 上是增函数 , f(x)min =f(2) =22 2=12, f(x)max = f(4) = 44 2= 23.答案： 23 1210 . 函数 f(x) = x2 - 1211x1v x2 ,求 f(x) 的最大、最小值解：当一 121时，由f(x) = x2，得f(x)最大值为f=1,最小值为 f(0) = 0;当 1

8、v x2 时，由 f(x) = 1x，得 f(2)f(x) v f(1),即 12f(x) v 1.综上 f(x)max = 1, f(x)min = 0.11 某租赁公司拥有汽车 100 辆，当每辆车的月租金为 3000 元时，可全部租出当每辆车的月租金每增加 50 元时，未 租出的 车将会增加一辆租出的车每辆每月需要维护费 150 元，未租出的 车每辆每月需要维护费 50 元(1) 当每辆车的月租金为 3600 元时，能租出多少辆车？(2) 当每辆车的月租金为多少元时，租赁公司的月收益最 大？最大 月收益是多少？解： (1) 当每辆车的月租金为 3600 元时，未租出的车辆数为3600 -

9、 300050 = 12.所以这时租出了 88 辆车 .(2) 设每辆车的月租金为 x 元那么租赁公司的月收益为 f(x)= (100 - x- 300050)(x - 150) - x- 30005050 ，整理得f(x) =- x250 162x - 21000 =- 150(x - 4050)2 307050. 所以，当 x= 4050 时， f(x) 最大，最大值为 f(4050) = 307050. 即当每辆车的月租金为 4050 元时，租赁公司的月收益最 大最大月收益为 307050 元12. 求 f(x) = x2 - 2ax- 1 在区间 0,2上的最大值和最小值 . 解： f(x) = (x - a)2 - 1-a2, 对称轴为 x = a. 当av 0时，由图可知，f(x)min = f(0) =- 1, f(x)max = f(2) = 3 4a. 当Oav 1时，由图可知，f(x)min = f(a) =- 1 a2, f(x)max = f(2) = 3 4a. 当12时，由图可知，f(x)min = f(a) =- 1 a2, f(x)max = f(0) =- 1. 当a>2时，由图可知，f(x)min = f(2) = 3 4a, f(x)max = f(0) = 1.综上所述，当