电力产生问题,数学建模

1、承诺书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则?我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的，如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：_所属学校：三峡大学参赛队员：1.李懿然2.陈文浩指导教师或指导教师组负责人：指导教师组日期

2、： 2011 年月 17_ 日电力生产问题摘要本文解决的是电力生产中发电机的选择问题，为了降低发电厂的成本，提高经济效益，我们建立了多目标线性规划模型来解决问题：针对问题一，此问属于多目标线性规划求最优解问题，我们使用线性规划软件Lingo 来解决这一问题，求出各个时间段选用发电机的最优组合。由于在相邻的两个时间段中，后一时间段选用发电机受前一时间段所选用发电机的影响，但从求出的各时间段的最优组合结果可以看出这一影响可忽略不计，详情见后文。因此，局部最优解之和即为全局最优解。针对问题二，此问仍然属于多目标线性规划问题，在问题一的基础之上，我们可以增加一个约束条件即机组剩余发电能力余量大于20%

3、 在此便可在问题一的基础之上利用优化软件Lin go 来得出最优解。关键词：多目标线性规划，局部最优解，全局最优解1?问题重述1.1 问题背景：由于各种不同型号的发电机的性能不同，各种型号的发电机数量不同，所需成本也不一样， 合理地选择发电机组既可以满足用电需求，又能够降低生产成本，提高经济效益。在本文中 我们要解决的问题就是怎样合理选择发电机的组合， 从而将电厂的生产成本降低至最小值以便提高电厂的经济效益。1.2 每日用电需求与发电机具体情况：为满足每日电力需求（单位为兆瓦（ MW ） , 可以选用四种不同类型的发电机。每日电 力需求如下表 1。表 1: 每日用电需求（兆瓦）时段0-66-9

4、9-1212-1414-1818-2222-24( 0-24 )需求12000320002500036000250003000018000每种发电机都有一个最大发电能力，当接入电网时，其输出功率不应低于某一最小输出功率。所有发电机都存在一个启动成本，以及工作于最小功率状态时的固定的每小时成本，并且如果功率咼于最小功率，则超出部分的功率每兆瓦每小时还存在一个成本，即边际成本。这些数据均列于表2 中。表 2: 发电机情况X可用数量最小输出最大输出每兆瓦边际启动功率功率固定成本成本（元 / 小成本（MW）（MW）（元小时）时）/型号 110750175022502.75000型号 241000150

5、018002.21600型号 381200200037501.8P2400型号 431800350048003.81200只有在每个时段开始时才允许启动或关闭发电机。与启动发电机不同，关闭发电机不需要付出任何代价。1.3 需要解决的问题：（1）在每个时段应分别使用哪些发电机才能使每天的总成本最小，最小总成本为多少？（2）如果在任何时刻，正在工作的发电机组必须留出20% 的发电能力余量，以防用电量突然上升。那么每个时段又应分别使用哪些发电机才能使每天的总成本最小，此时最小总成本又为多少？2?问题分析2.1 问题一的分析：第一问要求我们给出各个时间段的发电机组合使得每天的总成本最小。我们可以先求出

6、每个时间段的成本，分析各时间段所使用的发电机型号的组合，而后再分析它对下一时间段的影响，讨论局部的最优解是否是全局的最优解，如果求出的各个时间段使用的发电机类型与台数大致相当则可以节省出大部分的在个时间段开始时的发电机的启动成本，这样前一时间段所使用的发电机的型号与数量的影响就大大地减小了，因而可以忽略这一影响，所以局部所需成本的最优解之和即可以认为是全局的最优解。2.2 问题二的分析：第二问要求我们求解正在工作的的发电机组留出20%勺发电能力余量的情况下怎样合理使用发电机组合可以使成本最小，求最小成本。该问仍然可以利用第一问所建立的线性规划模型来求解，我们可以在第一问的基础之上增加一个约束条

7、件即可得到问题二的最优解。3. 模型假设与符号说明3.1 模型的假设：1. 假设各个发电机都能正常工作，在工作的时候不发生故障；2. 假设发电机的功率可以调整；3. 假设发电机的输出功率波动范围很小，可以忽略不计；4. 假设题给数据都真实可靠且具有较好的代表性。5. 假设电厂工作人员在操作发电机的过程当中不会操作失误。3.2 符号说明：（以下变量的下标：i=1,2 ， 3,4,5,6,7 ;j=1,2,3,4 ）表三：符号说明变量含义Xij第 i 个时间段在工作的第 j 种型号的发电机数量yj第 i 个时间段第 j 种型号发电机的实际功率第 i 个时间段的成本Si一天发电总成本S第 i 个时间

8、段的时间长度tinj第 j 种型号发电机的数量pjmpjpsi第 j 种型号发电机的最大输出功率第 j 种型号发电机的最小输出功率第 i 个时间段的功率需求mj第 j 种型号发电机的固定成本第 j 种型号发电机的边际成本k第 j 种型号发电机的启动成本Wj第 i 个时间段的总输出功率LiUi第 i 个时间段的发电能力余量说明：第一时间段为：0-6 时；第二时间段为：6-9 时；第三时间段为：9-12 时；第四时间段为：12-14 时；第五时间段为：14-18 时；第六时间段为：18-22 时；第七时间段为 22-24 时。4. 数据分析i 从题给数据可知，我们可以运用Matlab 软件编写程序

9、将各个时间段的总用电量绘制成如下图所示（程序见附表）：HO 4各时间段的总 用韭虽15123567时间段X图一从图中可以看出各个时间段的用电量情况，由上表可以看出第2,4,6 时间段的用电量是最高的，因而可以推测这几个时间段的成本也因该是最多的，并且所使用的发电机型号与数量都应该比较多。ii 运用 Matlab 软件编写程序绘制发电机型号每小时成本与其功率的关系图如下所示（程序见附表）：功率与成本的关顏100009000BODD r? .BD00200025003000功舉 X图二从图中可以看出功率越大，所需成本也越大。型号2,3 的斜率最小，说明功率的变化对型号 2, 3 的影响最小，由此可

10、以估计，在满足发电需求量条件的下应优先考虑使用型号2与型号 3的发电机。5. 问题的解答5.1 模型一的建立：5.1.1 针对问题一，我们用线性规划最优解模型来解答，我们先求出各个时间段的成本最小值，而后再求解全局成本的最小值，为此我们建立如下目标函数：min si =15.1.2 确定约束条件：i .正在工作的各种型号发电机的数量Xij 的约束条件，在题给条件中可以找到各种型号的发电机的数量，由此可以确定正在工作的各种型号发电机数量的约束条件（单位：台）：Q=Xi1= 100<= Xi2 <= 40 二 Xi3二 80 二 Xi4二 3ii 各种型号发电机的实际功率yj 在该型号

11、发电机的最小输出功率与最大输出功率之间，由 此可以确定各种型号发电机的实际功率yij 的约束条件（单位：兆瓦MW ：750=yii= 17501000 y22 15001200二 y33二 20001800二 y44二 3500iii ?各时间段的总输出功率不应该小于该时间段需求的功率，由此可以确定各时间段得总输 出功率的约束条件：（单位：兆瓦）：74Li八、Xij.yiji =1 j=1Lx >=12000LN A= 32000厶 A= 25000眩 JLA > 36000 >= 25000JL G >= 30000Ly >= 1 80005.1.3 综上所述得

12、到问题一的多目标线性规划模型:Sii=Si =工+ (yij - pj)h + wt7=1Xi1 10750yi1750Xi 21000y221500Xi 31200y332000Xi 41800y44350074Li 八'Xij.yiji=1 j=1Z >=12000Z2 >= 32000Ls >= 25000< L. >= 360()() Ls >= 25000LG >= 30000Li >= 180005.1.4 问题一的求解 :对于问题一的线性规划求最优解的模型，我们利用Lingo 软件进行编程求解，先求出个时间段的最优解再对结果

13、进行分析。（程序见附录）所得结果如下表所示：表四：问题一结果时段间1234567型号23123423412342341234234数量（单位：台）43248347324834731483433成本（单位： 元） 176620284011.4211150.0232800.0272600.0337008.8104900.05.14 问题一的结果分析 :由上表可知使用型号最多的是型号2 与型号 3,这与在数据分析是的预期结果大致相符。由于前一时间段所使用的发电机型号对后一时间段的成本有影响，但从上表所得结果可以看出，各时间段所使用的发电机型号大致一样，使用的台数也无太大出入，因此我们可以忽略前一时间

14、段使用发电机型号对后一时间段的成本的影响，由此，局部的最优解即为整体的最优解。由于在求解各时间段的成本时，各个时间段是独立编程求解的，即每个阶段所使用的发当做重新启动使用，考虑了启动成本，因此求得的总成本因减去重复考虑的启动成本。虑的启动成本如下表所示：电机都各阶段重复考表五：问题一重复考虑成本时间段1234567重复考虑的成本1720026800268002680026800136000（单位：元）7S =Si-重复计算的启动成本=1481090.2（元）i =15.2 问题二的求解：的在问题一的基础之上增加一个约束条件即各时间段的的剩余发电能力余量应大于其 20% 我们仍然运用 Lingo

15、 软件求解该线性规划的最优解。发电能力5.21.增加的约束条件 （ i=1,2,3,4,5,6,7）:4Ui 八xij.（ pjmyij ）二 0.2 p si 即（单位：兆瓦） :j=1U i 二0.2 p si 二 24001U2 -0.2p s2二6400r U 3-0.2 p s350001=U 4二0.2 p s4二 7200U5=0.2 p s5 =U 6 二0.2 p s6 =50006000U 7-0.2p s7 二 36005.22. 问题二的结果：我们使用 Lingo 软件对问题二进行求解（程序见附表），所得结果如下表所示:表六：问题二结果型号数量（单位：台）成本（单位：元

16、）1234567234123423412342341234234412448347374834732483433177060.0291720.0211150.0248830.0272600339160.01049005.23 问题二的结果分析：由上表可知使用型号最多的是型号2, 型号 3 与型号 4, 这与在数据分析是的预期结果大致相符。由于前一时间段所使用的发电机型号对后一时间段的成本有影响，但从上表所得结果可以看出，各时间段所使用的发电机型号大致一样，使用的台数也无太大出入，因此我们可以忽略前一时间段使用发电机型号对后一时间段的成本的影响，由此，局部的最优解即为整体的最优解。在这一问中，由

17、于在求解各时间段的成本时，各个时间段同样是独立编程求解的，因此有重复考虑启动成本的情况，即每个阶段所使用的发电机都当做重新启动使用， 考虑了启动成本，因此求得的总成本因减去重复考虑的启动成本。重复考虑的启动成本如下表所示：表七：问题二重复考虑成本时间段1234567重复考虑的成本0100002680026800268002680017200( 单位：元 )7S = 7Si-重复计算的启动成本=1511020(元)i=16. 模型的评价及推广6.1 模型的评价：(1) 优点：我们建立了多目标线性规划模型，全面的考虑了各方面的因数，找出了发电机的使用组合及使用数量，使得发电厂的生产成本最少。(2)

18、 不足：我们将局部最优解之和近似看做全局的最优解，在这一过程中产生了一些误差，使得所得结果与实际的最优方案有一定的差距。6.2 模型的推广： 我们建立的模型不仅可以用于该发电厂，也可以用于其它商业方面的最优选择。参考文献【 1】刘来福，黄海洋，数学建模与方法，北京，机械工业出版社；【 2】尹泽明，丁春利，精通 Matlab6 ，清华大学出版社；【3】袁新生，邵大宏，郁时炼，Lin go和Excel在数学建模中的应用，科学出版社。附录附录一：图一的Matlab 程序程序x=72000 96000 75000 108000 100000 120000 36000; bar（x）;axis （0,1

19、0,0,150000 ）;xlabel （' 时间段x' ）;ylabel （' 总用电量 y' ）;title （'各时间段的总用电量）；附录二：图二的Matlab 程序x1=750:1:1750;x2=1000:1:1500;x3=1200:1:2000;x4=1800:1:3500;y1=2250+(x1-750)*2.7+5000;y2=1800+(x2-1000)*2.2+1600;y3=3750+(x3-1200)*1.8+2400;y4=1800+(x4-1800)*3.8+1200;plot(x1,y1, 'r' ,x2,

20、y2, 'g' ,x3,y3, 'k' ,x4,y4, 'b' );grid;xlabel( ' 功率 x' );ylabel( ' 成本 y' );title( ' 功率与成本的关系' );legend( 'y1' ,'y2' ,'y3' , 'y4' );text(1250,4000, '型号2' );text(1500,9200, '型号1' );text(1500,6600, '型号3&#

21、39; );text(2500,5500, '型号4' );附录三：问题一的Lingo 程序1. 第一时间段：min=6350*x11+16.2*x11*y11-800*x12+13.2*x12*y12+11940*x13+10.8*x13*y13-11040*x14 +22.4*x14*y14x11*y11+x12*y12+x13*y13+x14*y14>=12000;x11>=0;x11<=10;x12>=0;x12<=4;x13>=0;x13<=8;x14>=0;x14<=3;y11>=750;y11<=1

22、750;y12>=1000;y12<=1500;y13>=1200;y13<=2000;y14>=1800;y14<=3500;GIN(X11);GIN(X12);GIN(X13);GIN(X14);2. 第二时间段：min=5000*x21+x21*2250*3+(y21-750)*2.7*x21*3+1600*x22+1800*x22*3+(y22-1000)*2.2* x22*3+2400*x23+3750*x23*3+(y23-1200)*1.8*x23*3+1200*x24+4800*x24*3+(y24-1800)*3 .8*x24*3;x21*

23、y21+x22*y22+x23*y23+x24*y24>=32000;x21>=0;x21<=10;x22>=0;x22<=4;x23>=0;x23<=8;x24>=0;x24<=3;y21>=750;y21<=1750;y22>=1000;y22<=1500;y23>=1200;y23<=2000;y24>=1800;y24<=3500;GIN(x21);GIN(x22);GIN(x23);GIN(x24);3. 第三时间段：min=5000*x31+x31*2250*3+(y31-750)

24、*2.7*x31*3+1600*x32+1800*x32*3+(y32-1000)*2.2* x32*3+2400*x33+3750*x33*3+(y33-1200)*1.8*x33*3+1200*x34+4800*x34*3+(y34-1800)*3 .8*x34*3;x31*y31+x32*y32+x33*y33+x34*y34>=25000; x31>=0;x31<=10;x32>=0;x32<=4;x33>=0;x33<=8;x34>=0;x34<=3;y31>=750;y31<=1750; y32>=1000;y

25、32<=1500;y33>=1200;y33<=2000;y34>=1800;y34<=3500; GIN(x31);GIN(x32);GIN(x33);GIN(x34);4. 第四时间段：min=5000*x41+x41*2250*2+(y41-750)*2.7*x41*2+1600*x42+1800*x42*2+(y42-1000)*2.2* x42*2+2400*x43+3750*x43*2+(y43-1200)*1.8*x43*2+1200*x44+4800*x44*2+(y44-1800)*3 .8*x44*2;x41*y41+x42*y42+x43*y

26、43+x44*y44>=36000;x41>=0;x41<=10;x42>=0;x42<=4;x43>=0;x43<=8;x44>=0;x44<=3;y41>=750;y41<=1750;y42>=1000;y42<=1500;y43>=1200;y43<=2000;y44>=1800;y44<=3500;GIN(x41);GIN(x42);GIN(x43);GIN(x44);5. 第五时间段：min=5000*x51+x51*2250*4+(y51-750)*2.7*x51*4+1600*x

27、52+1800*x52*4+(y52-1000)*2.2* x52*4+2400*x53+3750*x53*4+(y53-1200)*1.8*x53*4+1200*x54+4800*x54*4+(y54-1800)*3 .8*x54*4;x51*y51+x52*y52+x53*y53+x54*y54>=25000;x51>=0;x51<=10;x52>=0;x52<=4;x53>=0;x53<=8;x54>=0;x54<=3;y51>=750;y51<=1750;y52>=1000;y52<=1500;y53>

28、=1200;y53<=2000;y54>=1800;y54<=3500;GIN(x51);GIN(x52);GIN(x53);GIN(x54);6. 第六时间段：min=5000*x61+x61*2250*4+(y61-750)*2.7*x61*4+1600*x62+1800*x62*4+(y62-1000)*2.2* x62*4+2400*x63+3750*x63*4+(y63-1200)*1.8*x63*4+1200*x64+4800*x64*4+(y64-1800)*3 .8*x64*4;x61*y61+x62*y62+x63*y63+x64*y64>=30000

29、;x61>=0;x61<=10;x62>=0;x62<=4;x63>=0;x63<=8;x64>=0;x64<=3;y61>=750;y61<=1750;y62>=1000;y62<=1500;y63>=1200;y63<=2000;y64>=1800;y64<=3500;GIN(x61);GIN(x62);GIN(x63);GIN(x64);7. 第七时间段：min=5000*x71+x71*2250*2+(y71-750)*2.7*x71*2+1600*x72+1800*x72*2+(y72-1

30、000)*2.2*x72*2+2400*x73+3750*x73*2+(y73-1200)*1.8*x73*2+1200*x74+4800*x74*2+(y74-1800)*3 .8*x74*2;x71*y71+x72*y72+x73*y73+x74*y74>=18000; x71>=0;x71<=10;x72>=0;x72<=4;x73>=0;x73<=8;x74>=0;x74<=3;y71>=750;y71<=1750; y72>=1000;y72<=1500;y73>=1200;y73<=2000;

31、y74>=1800;y74<=3500; GIN(x71);GIN(x72);GIN(x73);GIN(x74);附录四：问题二的Lingo 程序1. 第一时间段min=6350*x11+16.2*x11*y11-800*x12+13.2*x12*y12+11940*x13+10.8*x13*y13-11040*x14 +22.4*x14*y14x11*y11+x12*y12+x13*y13+x14*y14>=12000; x1*(1750-y1)+x2*(1500-y2)+x3*(2000-y3)+x4*(3500-y4)>=2400; x11>=0;x11&l

32、t;=10;x12>=0;x12<=4;x13>=0;x13<=8;x14>=0;x14<=3;y11>=750;y11<=1750;y12>=1000;y12<=1500;y13>=1200;y13<=2000;y14>=1800;y14<=3500; GIN(X11);GIN(X12);GIN(X13);GIN(X14);2. 第二时间段：min=5000*x21+x21*2250*3+(y21-750)*2.7*x21*3+1600*x22+1800*x22*3+(y22-1000)*2.2*x22*3+

33、2400*x23+3750*x23*3+(y23-1200)*1.8*x23*3+1200*x24+4800*x24*3+(y24-1800)*3 .8*x24*3;x21*y21+x22*y22+x23*y23+x24*y24>=32000; x21*(1750-y21)+x22*(1500-y22)+x23*(2000-y23)+x24*(3500-y24)>=6400;x21>=0;x21<=10;x22>=0;x22<=4;x23>=0;x23<=8;x24>=0;x24<=3;y21>=750;y21<=1750

34、;y22>=1000;y22<=1500;y23>=1200;y23<=2000;y24>=1800;y24<=3500;GIN(x21);GIN(x22);GIN(x23);GIN(x24);3. 第三时间段：min=5000*x31+x31*2250*3+(y31-750)*2.7*x31*3+1600*x32+1800*x32*3+(y32-1000)*2.2* x32*3+2400*x33+3750*x33*3+(y33-1200)*1.8*x33*3+1200*x34+4800*x34*3+(y34-1800)*3 .8*x34*3;x31*y31

35、+x32*y32+x33*y33+x34*y34>=25000; x31*(1750-y31)+x32*(1500-y32)+x33*(2000-y33)+x34*(3500-y34)>=5000;x31>=0;x31<=10;x32>=0;x32<=4;x33>=0;x33<=8;x34>=0;x34<=3;y31>=750;y31<=1750;y32>=1000;y32<=1500;y33>=1200;y33<=2000;y34>=1800;y34<=3500;GIN(x31);GI

36、N(x32);GIN(x33);GIN(x34);4.第四时间段：min=5000*x41+x41*2250*2+(y41-750)*2.7*x41*2+1600*x42+1800*x42*2+(y42-1000)*2.2* x42*2+2400*x43+3750*x43*2+(y43-1200)*1.8*x43*2+1200*x44+4800*x44*2+(y44-1800)*3 .8*x44*2;x41*y41+x42*y42+x43*y43+x44*y44>=36000; x41*(1750-y41)+x42*(1500-y42)+x43*(2000-y43)+x44*(3500-

37、y44)>=7200;x41>=0;x41<=10;x42>=0;x42<=4;x43>=0;x43<=8;x44>=0;x44<=3;y41>=750;y41<=1750;y42>=1000;y42<=1500;y43>=1200;y43<=2000;y44>=1800;y44<=3500;GIN(x41);GIN(x42);GIN(x43);GIN(x44);5. 第五时间段：min=5000*x51+x51*2250*4+(y51-750)*2.7*x51*4+1600*x52+1800*x52*4+(y52-1000)*2.2* x52*4+2400*x53+3750*x53*4+(y53-1200)*1.8*x53*4+1200*x54+4800*x54*4+(y54-1800)*3 .8*x54*4;x51*y51+x52*y52+x53*y53+x54*y54>=25000; x51*(1750-y51)+x52*(1500-y52)+x53*(2000-y53)+x54*(350