高中数学经典高考难题集锦(解析版)

1、23 / 222015年10月18日姚杰的高中数学组卷一 .解答题(共10小题)1. (2012?宣威市校级模拟)设点C为曲线尸士(x0)上任一点，以点 C为圆心的圆与x工轴交于点E、A,与y轴交于点E、B.(1)证明多边形EACB的面积是定值，并求这个定值；(2)设直线y=-2x+4与圆C交于点M, N,若|EM|=|EN| ,求圆C的方程.2. (2010?1苏模拟)已知直线 l: y=k (x+2衣)与圆O: x2+y2=4相交于A、B两点，O是坐标原点，三角形 ABO的面积为S.(I )试将S表示成的函数S (k),并求出它的定义域；(n)求S的最大值，并求取得最大值时k的值.3. (

2、2013?越秀区校级模拟)已知圆满足：截y轴所得弦长为2;被x轴分成两段圆弧, 其弧长的比为3: 1;圆心到直线l: x- 2y=0的距离为由.求该圆的方程.54. (2013?柯城区校级三模)已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点在y轴上，且过点(2, 1).(I )求抛物线的标准方程；(n )是否存在直线l: y=kx+t ,与圆x2+ (y+1 ) 2=1相切且与抛物线交于不同的两点M ,N,当/ MON为钝角时，有Szmon=48成立？若存在，求出直线的方程，若不存在，说明 理由.(25. (2009甘国建)(1)已知矩阵 M1 1-3,所对应的线性变换把点A (7x, v)变成点 A (1

3、3,5),试求M的逆矩阵及点 A的坐标.工二一 L+2cos 8(2)已知直线l: 3x+4y - 12=0与圆C:(。为参数)试判断他们的公共y=2+2sin 9点个数；(3)解不等式 |2x 1|v |x|+1 .6. (2009?东城区一模)如图，已知定圆C: x2+ (y-3) 2=4,定直线 m： x+3y+6=0 ,过A(-1, 0)的一条动直线l与直线相交于N,与圆C相交于P, Q两点，M是PQ中点.(I )当l与m垂直时，求证：l过圆心C;(n)当|PQ|=26时，求直线1的方程；(出)设t=AM 商，试问t是否为定值，若为定值，请求出 t的值；若不为定值，请说明理由.7. (

4、2009以河区校级模才O 已知圆 C: (x+4) 2+y2=4,圆D的圆心D在y轴上且与圆 C 外切，圆D与y轴交于A、B两点，定点P的坐标为(-3, 0).(1)若点D (0, 3),求/APB的正切值；(2)当点D在y轴上运动时，求 /APB的最大值；(3)在x轴上是否存在定点 Q,当圆D在y轴上运动时，/AQB是定值？如果存在，求出Q点坐标；如果不存在，说明理由.8. (2007?$南)在平面直角坐标系 xOy中，已知圆x2+y2- 12x+32=0的圆心为Q,过点P (0, 2)且斜率为k的直线与圆Q相交于不同的两点 A, B.(I )求k的取值范围；(n )是否存在常数k,使得向量

5、而与西共线？如果存在，求 k值；如果不存在，请说明理由.向右移动时，取弧AC的长为9. 如图，已知圆心为 O,半径为1的圆与直线l相切于点A, 一动点P自切点A沿直线l 直线PC与直线AO交于点M.又知当ApW匕时，点4P的速度为v,求这时点M的速度.10. 过原点。作圆x2+y2-2x-4y+4=0的任意割线交圆于 Pi, P2两点，求P1P2的中点P的 轨迹.2015年10月18日姚杰的高中数学组卷参考答案与试题解析一.解答题(共io小题)1. (2012?宣威市校级模拟)设点C为曲线产:(x0)上任一点，以点 C为圆心的圆与轴交于点E、A,与y轴交于点E、B.(1)证明多边形EACB的面

6、积是定值，并求这个定值；(2)设直线y=-2x+4与圆C交于点M, N,若|EM|=|EN| ,求圆C的方程.考点：直线和圆的方程的应用.专题：计算题；压轴题.分析：(1)由题意，由于以点 C为圆心的圆与x轴交于点E、A,与y轴交于点E、B,月 以先得到点E为原点，利用方程的思想设出圆心C的坐标，进而利用面积公式求解；(2)由于|EM|=|EN|此可以转化为点 E应在线段MN的垂直平分线上，利用圆的性质 可得EC与MN垂直建立t的方程求解即可.解答：解：(1)证明：点C (如三)(t0),因为以点C为圆心的圆与x轴交于点E、A,与y轴交于点E、B.所以点E是直角坐标系原点，即 E (0, 0)

7、.于是圆C的方程是年t)4则h 0) , B (0, -) .t由 |CE|=|CA|=|CB| 知，圆心 C 在 RtAAEB 斜边 AB 上，于是多边形 EACB为RtAAEB , 114其面积5年腕|吃|二亍25二4.所以多边形EACB的面积是定值，这个定值是4.(2)若|EM|=|EN|,则E在MN的垂直平分线上，即 EC是MN的垂直平分线，2 弋-kMN = 2.所以由 kEC?kMN = - 1,得 t=2,所以圆C的方程是(x-2) 2+ (y-1) 2=5.点评：(1)重点考查了利用方程的思想用以变量t写出圆的方程，判断出圆心 O在AB上故四边形为直角三角形，还考查了三角形的面

8、积公式；(2)重点考查了垂直平分线的等价式子，还考查了方程的求解思想，及两直线垂直的实质解直线的斜率互为负倒数.2. （2010?1苏模拟）已知直线 l: y=k （x+2V2）与圆O: x2+y2=4相交于A、B两点，O 是坐标原点，三角形 ABO的面积为S.（I ）试将S表示成的函数S （k）,并求出它的定义域；（n ）求S的最大值，并求取得最大值时 k的值.考 直线与圆的位置关系；二次函数的性质.八、专计算题；压轴题.题：分 （I）先求出原点到直线的距离，并利用弦长公式求出弦长，代入三角形的面积公式进 析：行化简.（n）换元后把函数 S的解析式利用二次函数的性质进行配方，求出函数的最值，

9、注意 换元后变量范围的改变.解解：（I ）直线l方程kx -（k声U）,答：2J? Ihl原点。到l的距离为|QC|- 7（3分）山+谓弦长 |AB|二W|OA|F - I比 I 4-巫（5 分）1+E2?ABO面积，I？.|AB|0,- K K0求得t的范围.利用根与系数的关系及 0M-qnq,求得ra|二W （+，求得点。到直线的距离，从而求得“小K 由此函数在（，4）单调递增，故有0队初0,彳导 t0 或 tv 3.设 M（X1, y1）, N （x2, y2）,贝U xl+x2=4k 且 xl?x2= - 4t,2二（kx 十. （k /工十七）二 k 2 比1+kt+1 2= t2

10、-.一/MON为钝角，而赢0,解得0Vt4,MNTl + k2除i - 1=47 (1+k2)(t+3t)点O到直线的距离为了;屋二R t十3 T ，易证 f (t)= 2&，+3t 在（0, 4）单调递增,. 0S&M8r1&77,故不存在直线，当 / MON为钝角时，Samon=48成立.点评：本题主要考查直线和圆的位置关系，两个向量的数量积公式的应用，点到直线的距离 公式，利用函数的单调性求函数的值域，属于中档题.5. (2009甘国建)(1)已知矩阵M( 20所对应的线性变换把点 A (x, y)变成点A(13,U -iJ5),试求M的逆矩阵及点 A的坐标.(2)已知直线l: 3x+4

11、y-12=0与圆C: 产一=匚三(。为参数)试判断他们的公共点个数；(3)解不等式 |2x- 11V |x|+1 .考点：直线与圆的位置关系；二阶矩阵；绝对值不等式的解法.专题：计算题；压轴题；转化思想.分析：(1)由矩阵的线性变换列出关于 x和y的一元二次方程组，求出方程组的解集即可 得到点A的坐标；可设出矩阵 M的逆矩阵，根据逆矩阵的定义得到逆矩阵与矩阵M的乘积等于单位矩阵，得到一个一元二次方程组，求出方程组的解集即可得到M的逆矩阵；(2)把圆的参数方程化为普通方程后，找出圆心坐标与半径，然后利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离d与半径r比较大小得到直线与圆的位置关系，即可得到交点的

12、个数；(3)分三种情况x大于等于工，x大于等于0小于和x小于0,分别化简绝对值后,22解答：解:求出解集，即可得到原不等式的解集.三个题中任选两个作答即可.2 - 35),即(1)由题意可知(x, y) = (13,1 - 1,所以A(2,3);设矩阵M的逆矩阵为即2 -3=1 q2a+b=l3a+b=0,解得 a= - 1, b=3,d=2所以矩阵M的逆矩阵为(2)把圆的参数方程化为普通方程得(r=2x+1 )2+ (y-2) 2=4,圆心(1, 2),半径1-3+8-121 7则圆心到已知直线的距离dL=70,所以原不等式的解集为(0,22当x 0,所以原不等式无解.综上，原不等式的解集为

13、0, 2).点评：此题考查学生会求矩阵的逆矩阵及掌握矩阵的线性变换，灵活运用点到直线的距离公式化简求值，掌握直线与圆的位置关系的判断方法，会利用讨论的方法求绝对值不等 式的解集，是一道综合题.6. (2009?东城区一模)如图，已知定圆C: x2+ (y-3) 2=4,定直线 m： x+3y+6=0 ,过A(-1, 0)的一条动直线l与直线相交于N,与圆C相交于P, Q两点，M是PQ中点.(I )当l与m垂直时，求证：l过圆心C;(n)当时，求直线1的方程；(出)设t=AS赢，试问t是否为定值，若为定值，请求出 t的值；若不为定值，请说明理考 直线与圆的位置关系；平面向量数量积的运算；直线的一

14、般式方程.八、专压轴题.题：分 (I )根据已知，容易写出直线l的方程为y=3 (x+1).将圆心C (0, 3)代入方程易知析：l过圆心C.(n )过A (-1, 0)的一条动直线l.应当分为斜率存在和不存在两种情况；当直线 l 与x轴垂直时，进行验证.当直线与 x轴不垂直时，设直线l的方程为y=k (x+1),由于 弦长|PG 1 = 273,利用垂径定理，则圆心 C到弦的距离|CM|=1 .从而解得斜率 K来得出 直线l的方程为.（出）同样，当1与x轴垂直时，要对设t=A*All,进行验证.当1的斜率存在时，设直线1的方程为y=k （x+1）,代入圆的方程得到一个二次方程.充分利用 两根

15、之和”和 两根之积”去找 高.再用两根直线方程联立，去找AM 从而确定t= AN-AU的代数表达式,再讨论t是否为定值.解 解：（I ）由已知k二一工，故k1=3答：m3所以直线1的方程为y=3 （x+1）.将圆心C （0, 3）代入方程易知1过圆心C. （3分）（n ）当直线1与x轴垂直时，易知x= -1符合题意；（4分）当直线与x轴不垂直时，设直线1的方程为y=k （x+1）,由于 |PQl=20,解得即k的取值范围为 （-受，o）.44（n ）设 A（X1, y1）, B（X2, y2）,则赢+55二【町上工2，yj+y2）,由方程，_4 (k-3)1 * / 2-1 乙 1+k2又 y

16、i+y2=k(X1+X2) +4. d而P （。，力,Q。），钝二-2）所以加+成与的共线等价于（X1+X2） =-3 （yi+y2）,将 代入上式，解得k=-.4由（I）知C -0）,故没有符合题意的常数 k.r 4点评：本题主要考查了直线与圆的方程的综合运用.常需要把直线方程与圆的方程联立，利 用韦达定理和判别式求得问题的解.9 .如图，已知圆心为 O,半径为1的圆与直线l相切于点A, 一动点P自切点A沿直线l向右移动时，取弧 AC的长为,AP，直线PC与直线AO交于点M.又知当M的速度.考直线与圆的位置关系.八、专压轴题.题：分设AP的长为x, AM的长为y,用X表示v,并用复合函数求导

17、法则对时间 析：t进行求导.解答:解：如图，作 CDXAM ,并设AP=x ,2由题意弧AC的长为万x，半径OC=1 ,J1AM=y , / COA= &可知/其,考虑0C (0,. APM sDCM ,端DMAP ECDM=y ( 1 co29DC=sin313y (1 - eg当)y3_K ,2sl吗r (1 - CQ5-1k) ?=n-K - SinrxLr上式两边对时间t进行求导，则yt=yX?xt.y zt=-2 1 /12 2 . 2、e 12 r 1 2 _2 xs - sin-x； U - cas-xf-x5in- k U - gqs-k； U - -costK/1JL? sj

18、JJ Jn 2(2 - sinx)冗时，xt=v,代入上式得点M的速度,2(37T 一 4几8)y +=5v十(3兀-4)之A P L点 本题是难度较大题目，考查了弦长、弧度、相似、特别是复合函数的导数，以及导数的 评：几何意义；同时也考查了逻辑思维能力和计算能力.10 .过原点。作圆x2+y2- 2x-4y+4=0的任意割线交圆于 Pi, P2两点，求P1P2的中点P的 轨迹.考点：直线与圆的位置关系；轨迹方程.专题：计算题；压轴题；数形结合.分析：设割线OP1P2的直线方程为y=kx与圆的方程联立得(1+k2) x2-2 (1+2k) x+4=0,再由韦达定理得:2 Cl+2k)1 + x

19、 9=1 工1 + 1,因为P是P1P2的中点，所以,再由P点在直线y=kx上，得到kJ，代入上式得1+ 0)整理即可.要注意范围.解答：解：设割线OP1P2的直线方程为y=kx代入圆的方程, 得：x2+k2x2 2x 4kx+4=0即（1+k2） x2- 2 （1+2k） x+4=0设两根为xi, x2即直线与圆的两交点的横坐标；由韦达定理得：2 (l+2k)+ x 2二T-21+k*又设P点的坐标是（xy)P是P1P2的中点，所以町十,2 l+2kK 二 9 二 221 + k?又P点在直线y=kx上,、一，代入上式得两端乘以1+ （芝），得宜41+22 XX X即 x2+y2=x+2y2

20、（官7）+厂）*（ovxm这是一个一点 （1, 1）为中心，以塔为半径的圆弧, 所求轨迹是这个圆在所给圆内的一段弧.点评:本题主要考查直线与圆的位置关系，韦达定理，中点坐标公式及点的轨迹方程.考点卡片1 .二次函数的性质 【知识点的认识】其性质主要有初中学的开口方向、对称性、最值、几个根的判定、韦达定理以及高中 学的抛物线的焦点、准线和曲线的平移.【解题方法点拨】以 y=ax2+bx+c 为例： 开口、对称轴、最值与 x轴交点个数，当a0 (0时，与x轴有两个交点；当 0时无交点.根与系数的关系.若 可，且xi、x2为方程y=ax2+bx+c的两根，则有xi+x2=-上, ax1?x2=; a

21、二次函数其实也就是抛物线，所以x2=2py的焦点为(0,向)，准线方程为y=-，含义为抛物线上的点到到焦点的距离等于到准线的距离. 平移：当y=a (x+b) 2+c向右平移一个单位时，函数变成y=a (x-1+b) 2+c；例题：y=2x2+x-311那么由20,可知抛物线开口向上，对称轴为x=7,最小值为f (-+)=-胃，;x1?x2=-448 =1+24=25 0,故方程2x2+x - 3=0有两个根，其满足另外，方程可以写成(y+) =2 (x+工)之，当沿x轴向右工，在向下平移25时，就变8448成 y=2x2；【命题方向】重点关注高中所学的抛物线的焦点、准线和曲线的平移.另外在解

22、析几何当做要灵活运用韦达定理.2 .向量的共线定理【概念】共线向量又叫平行向量，指的是方向相同或方向相反的向量.【定理】假设向量3= (1, 2),向量b= (2, 4),则b=23,那么向量 a与向量b平行，且有1 4-22=0,即当向量=(x1，y1)与向量b=(x2,y2)平行时，有x1?y2-x2?y1=0,这也是两向量平行的充要条件.【例题解析】例：设I与逆两个不共线的向量，且向量；十入吊与-(% 一江)共线，则在-0.5 .解；:向量a+九b与(Z - 2a )共线，存在常数k,使得-(工.2-a) =k (a+1b)，2=k. - 1=水解得，在-0.5故答案为-05根据向量共线

23、的充要条件，若向量 信+入工与.(% -24)共线，就能得到含 入的等式，解出入即可.【考点分析】向量共线定理和向量垂直定理是向量里面最重要的两个定理，要学会应用这两个定理去判别向量之间的关系.3 .平面向量数量积的运算【平面向量数量积的运算】平面向量数量积运算的一般定理为(之山)2=a22a?b+b2.(a -|b)(a+h)官.W? ( b?c) w(a?b)元，从这里可以看出它的运算法则和数的运算法则有些是相同的，有些不一样.【例题解析】例：由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则：mn=nm ”类比得到 * b 5”（m+n） t=mt+nt”类比得到“（a + b） ?c=a

24、 e +bc”;“t为，mt=nt? m=n类比得到5H。1白 g?力二匚”；m?n|=|m|?|n|类比得到 忸b|=|?|b|；“(m?n) t=m (n?t)”类比得到“(a 匕)？=；(b)”；“詈斗”类比得到立上.以上的式子中，类比得到的结论正确的是匕心bb c a解：.向量的数量积满足交换律，mn=nm”类比得到=即正确；向量的数量积满足分配律，(m+n) t=mt+nt”类比得到 “(a + h) ?亡=以二 +bc”,即正确； 向量的数量积不满足消元律，f 为，mt=nt? m=n”不能类比得到: 工C ：?二3，即错误；.一仆|?|1：|, . |m?n|=|m|?|n|不能

25、类比得到 旧尸百?而；即错误； 向量的数量积不满足结合律，（m?n） t=m （n?t） ”不能类比得到（a司）?c=-石大）”，即错误； 向量的数量积不满足消元律，.丰芸”不能类比得到与？上be bb , c a即错误.故答案为：.向量的数量积满足交换律，由mn=nm”类比得到7、%三彳”；向量的数量积满足分配律，故（m+n） t=mt+nt”类比得到“（；+和）元=7+芯:”；向量的数量积不满足消元律，故tamt=nt? m=n”不能类比得到1件,彳兀 二？ 3二二”；氤轴柘|,故 fm?n|=|m|?|n|不能类比得到 忸6|=|刨？口；向量的数量积不满足结合律，故 （m?n） t=m

26、（n?t） ”不能类比得到?=；（兀二）”；向量的数量积不满足消元律，故军d”be b不能类比得到6 F a【考点分析】本知识点应该所有考生都要掌握，这个知识点和三角函数联系比较多，也是一个常考 点，题目相对来说也不难，所以是拿分的考点，希望大家都掌握.4 .直线的一般式方程【直线的一般式方程】直线方程表示的是只有一个自变量，自变量的次数为一次，且因变量随着自变量的变化而变化.直线的一般方程的表达式是ay+bx+c=0 .5 .轨迹方程【知识点的认识】1 .曲线的方程和方程的曲线在平面内建立直角坐标系以后，坐标平面内的动点都可以用有序实数对( x, y)表示，这就 是动点的坐标.当点按某种规律

27、运动形成曲线时，动点坐标( x, y)中的变量x、y存在着 某种制约关系，这种制约关系反映到代数中，就是含有变量x、y的方程.一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C (看做适合某种条件的点的集合或轨迹)上的点与一个二元方程f (x, y) =0的实数解建立了如下的关系：(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解；(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点.那么这个方程就叫做曲线的方程，这条曲线就叫做方程的曲线.2 .求曲线方程的一般步骤(直接法)(1)建系设点：建立适当的直角坐标系，用( x, y表示曲线上任一点 m的坐标；(2)列式：写出适合条件 p的点M的集合M|p (M) ;(3)代入：用坐标

28、表示出条件 p (M),列出方程f (x, y) =0;(4)化简：化方程f (x, y) =0为最简形式；(5)证明：证明以化简后的方程的解为坐标的点都是在曲线上的点【常用解法】(1)直接法：根据题目条件，直译为关于动点的几何关系，再利用解析几何有关公式(如 两点间的距离公式、点到直线的距离公式、夹角公式等)进行整理、化简.这种求轨迹方程 的过程不需要特殊的技巧.(2)定义法：若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义(如椭圆、双曲线、抛物线、圆 等)，可用定义直接探求.关键是条件的转化，即转化为某一基本轨迹的定义条件.(3)相关点法：用所求动点 P的坐标(x, y)表示已知动点 M的坐标(xo

29、, yo),即得到 x0=f (x, y) , y0=g (x, y),再将x0, y0代入M满足的条件F (x。，y。)=0中，即得所求.一 般地，定比分点问题、对称问题可用相关点法求解，相关点法的一般步骤是：设点 一转换一 代入一化简.(4)待定系数法(5)参数法(6)交轨法.6.直线与圆的位置关系 【知识点的认识】相离相切相交1 .直线与圆的位置关系2 .判断直线与圆的位置关系的方法直线Ax+By+C=0与圆(x-a) 2+ (y-b) 2=r2 (r0)的位置关系的判断方法:(1)几何方法：利用圆心到直线的 d和半径r的关系判断.圆心到直线的距离 d= ,.相交：dvr相切：d=r相离

30、：dr(2)代数方法：联立直线与圆的方程，转化为一元二次方程，用判别式判断.由 7 P消元，得到一元二次方程的判别式d + F +Dx+Ey+F=O相交：。相切：二0相离：0),其中圆心 C (a, b),半径为 r.特别地，当圆心为坐标原点时，半径为r的圆的方程为：x2+y2=r2.其中，圆心(a, b)是圆的定位条件，半径 r是圆的定形条件.(2)圆的一般方程：x2+y2+Dx+Ey+F=0 ( D2+E2- 4F 0)其中圆心(-1),半径二1，11由2 - 4F卜8.抛物线的标准方程【知识点的认识】抛物线的标准方程的四种种形式：(1) y2=2px,焦点在x轴上，焦点坐标为 F(晟，0

31、), (p可为正负)(2) x2=2py,焦点在y轴上，焦点坐标为 F ( 0,，(p可为正负)四种形式相同点：形状、大小相同;四种形式不同点：位置不同；焦点坐标不同.卜面以两种形式做简单的介绍:标准方程 图形顶点 对称轴住日焦距 离心率 准线（0, 0）x轴焦点在x轴长上喉0）无e=1（0, 0）y轴焦点在y轴长上（0,三）无e=19.二阶矩阵【知识点的知识】1、矩阵由 mM 个数 aij( i=1 , 2,m;j=1 ,2,n）排成的m行n列的数表称为m行n列矩阵，简称 mxn矩阵.为表示这个数是一个整体，总是加一个括弧，并用大a22*-K.-写黑体字母表示它，记作 1用 门公 口叫J这mM个数称为矩阵A的元