第4讲截长补短(word版)

1、第四讲截长补短知识目标模块一垂直与截长补短例1、例2难度：模块二角平分线与截长补短例3难度：模块三等边三角形与截长补短例4、例5难度：模块四线段和相等与截长补短例6难度：模块五截长补短综合应用例7、例8难度：知识导航如图：要证 AB = CD + EF,有以下辅助线的说法A- BC'- D一、【截长】在AB上截取 AH = CD,只需证明 BH=EF 在AB上截取 AH=EF,只需证明 BH = CD 在BA 截取BH = CD,只需证明 AH=EF在BA上截取BH=EF,只需证明 AH = CD二、【补短】延长CD到H使得DH = EF ,只需证明CH= AB延长CD到H使得CH =

2、 AB,只需证明DH= EF延长DC到H使得CH = EF ,只需证明DH = AB延长DC到H使得DH =AB,只需证明CH= EF延长EF到H使得FH =CD,只需证明EH = AB延长EF到H使得EH = AB,只需证明FH = CD延长FE到H使得EH = CD,只需证明FH = AB延长FE到H使得FH =AB,只需证明EH = CD模块一截长补短基本题型题型一 “垂直关系”与截长补短例1如图，在 ABC 中，/ B=2/C, ADBC 于 D,求证：CD = BD + AB练习如图， ABC 中，/ BAC=120° , ADBC 于 D,且 AB+BD = DC,求/

3、C 的度数.例2已知等腰 ABC, AB=AC, E是AC上一点，D是AB延长线上一点，且 CE=BD, ED交BC于F, EGX BC 于 G,求证：FG = BF + CG.练习如图，在四边形 ABCD 中，/ A=/ B= / C=Z D=90° , AB=BC=CD = AD,若 E 是 BC 上一点，AF 平 分/ EAD,求证：BE+DF=AE.题型二角平分线与“截长补短”例3如图，BD是4ABC的角平分线，AB = AC(1)若/ BAC = 90 ° ,求证：BC=AB + ADA'' D(2)若/ BAC=108° ,求证：BC

4、= AB+CD(3)BAC=100°,求证：BC=BD + AD练习如图,(1)BD是ABC的角平分线，AB = ACBC=AB + AD,求/ BAC 的度数(2)BC= AB+CD,求/ BAC 的度数AD题型三“等边三角形”与截长补短例4已知 ABC为等边三角形， D是形外一点，若/ ADB = 60° ,求证：AD + CD=BD.练习如图， ABC是等边三角形，/ ADC=120° ,求证：BD = AD + CD.例5如图，F是等边 ABC的边AC的中点，D在边BC上， DFE是等边三角形， ED的延长线交 AB于H , 求证：CF + CE=CD.A

5、H l练习已知如图， ABC为等边三角形， AE=AC, BE交AC于D, AF平分/ CAE交BE于F,求证：AF+EF =BF.AEFDCB题型四“线段和相等”与截长补短在 ABC 和 A'B'C'中，若 AB + AC=A'B'+A'C', BC= B'C', /B=/B',求证： ABC A'B'C'.练习已知 ABC, /BAC=60° , Z ABC=80° , / A, / B 的平分线交 BC, CA 于 P, Q,求证：AB+BP =AQ + BQ.PA

6、QCB模块二截长补短综合应用例7如图，在 ABC 中，/ CAB=/ CBA=45° , CA = CB,点 E 为 BC 的中点，CNXAE 交 AB 于 N,连 EN, 求证：AE=CN+EN.例8如图，等腰 RtABC中，/ BAC=90° , AB = AC, ABC的内部有一条过 B点的射线，过 A点和C点分 别作这条射线的垂线，垂足分别为M, N,写出BN-CN与AM之间的数量关系，并证明你的结论 .y yA N第4讲本讲课后作业A基础巩固1 .如图，已知/ PAB+Z ABC=180° , /PAB的平分线与/ CBA的平分线相交于点 E,连接 CE

7、并延长交 AP 于 D,求证：AD + BC = AB.DCAB2 .已知 ABC中，AC=BC, AD平分/ BAC交BC于D,点E为AB上一点，且/ EDB=/B, (1)如图，若/ C=90° ,求证：AB = AC + CD(2)如图，若/ C=100° ,求证：AB = AD + CD3 .如图，四边形 ABCD的对角线AC, BD交于点p,过点P作直线交AD于点E,交BC于点F,若PE = PF,且 AP+AE = CP+CF,求证：PA+PC.4 .如图， ABC 中，/ ACB=90° , CDAB 于 D, AO 平分/ BAC,交 CD 于 O

8、, E 为 AB 上一点，OE/ BC,求证：OD + OE=CD.5 .如图，在四边形 ABCD 中，/ A=/ B=/ C=/ D=90° , AB= BC= CD = AD,若 F 是 CD 的中点，E 是BC边上一点，且 AF平分/ DAE,求证：AE=EC+CD.6.已知 ABC与 ADE均为等边三角形，点(1)如图1,点D在BC边上，写出线段B综合训练A, E在BC的同侧AC, CD, CE之间的数量关系，并证明(2)如图2,点D在BC边上的延长线上, 证明其它条件不变，写出线段AC, CD, CE之间的数量关系，并数学故事抛硬币的概率硬币除了可以买东西，也可以用来解决各

9、种争端，据说，遇到不可调解的分岐的时候，为了作出决定， 人们的首选是猜拳，其次是抛硬币。足球场上开球方的决定，习惯上也是用硬币决定的。然而，硬币正反不一样！如果硬币两面是完全一样的，显然掷出正面或者反面的可能性是均等的。我们常说，正反面出现的概率都是0.5。那么，这里的“概率”是什么意思呢？如果我们不停地投掷硬币，并记录下每次的结果，我们会发现正面出现的数量大约是全部的一半，投 掷的次数越多，“出现正面”所占的比例就越接近0.5。这就是概率的含义：如果在许多次独立的试验中，某个特定的事件发生的比例会逐渐趋近一个特定的数值，那么这个数值就被称为这个特定事件的概率。我们可能觉得掷硬币时，正反面出现

10、的概率是一样的，其实不然，由于设计的原因，硬币正反面的花纹是不一样的，从而也导致了重心与中心的微小偏差。以人民币一元硬币来说，正面是代表面额1字，反面是菊花，重心稍微偏向反面；欧元就更麻烦了，不同的铸币厂会铸出不同的背面花纹，重心偏向也因这 些花纹而异。由于重心有偏向，所以掷硬币时，正反面出现的概率也会有些偏差。幸好花纹导致的概率偏 差非常非常小，在日常生活中往往可以忽略不计。尽管可以忽略不计，但有没有办法修正这个偏差呢？换句话说，能不能找到一个方法，让有偏差的硬币产生无偏差的结果呢？假设某枚硬币掷出正面的概率是P,我们用以下的方法产生抛硬币的结果；掷两次硬币，如果两次的结果相反的话，取后掷出

11、的为结果；否则重新掷两次。更具体地说，如果结果是"反正"的话，那就当作掷 出了正面，如果是“正反”的话，那就当作反面，如果是“正正”或者“反反”的话，那就重新再来。这 样的话，在一次尝试中，结果为正面和反面的概率都是P (1-p),结果是完全公平的。正反抵消不容易掷100次硬币，正面和反面相差多少次呢？1000次呢？ 10000次呢？现实中的硬币，掷出正反面的概率略有偏差，但差别之小可以看作相同，你可能会觉得，掷出正面和反面的数目有很大概率是相等的，但 事实如何？虽然根据概率论中的大数定律，正反面出现次数的比应该很接近1,但这不代表正反面数目刚好抵消的概率很大。打个不太恰当的比方，地铁相对来说是很准时的，但是要它一天提前或者延误的时间刚好抵消 的话，还是相当困难的。 尽管得到正面和反面的概率相同，但是要它们恰好相互抵消，这也需要一点运气。稍稍用点数学知识可以知道，抛2n次硬币，恰好有n次正面n次反面的概率大概是 1/JT。当n越来越大，这个概率越来越趋近 0。也就是说，虽然正反面出现的概率相同，但是它们恰好相等的概率会随着抛 硬币的总次数变低，最后越来越接近0.所以说，在表达数学问题时，一定要用精确的语言。意思上一点点微小的变